STAT 101
M06 · L03
الوحدة 6 · الدرس 3

تحليل التباين (ANOVA)

مقارنة متوسطَين أمر سهل. أما مقارنة ثلاثة متوسطات أو أكثر دفعةً واحدة — دون تضخيم معدل الخطأ — فتتطلب تحليل التباين. اختبار F واحد أنيق يحكم الجميع.

01 / 12
STAT 101
M06 · L03
لماذا لا نُجري اختبارات t فقط؟

فخ الاختبارات المتعددة

4 مجموعات → مقارنات
6 اختبارات
خطر الإيجابية الكاذبة
≈ 26%

إجراء 6 اختبارات t بمستوى α = 0.05 لكل منها يرفع معدل الخطأ العائلي إلى 1 − 0.95⁶ ≈ 26%. يُبقيه ANOVA عند 5% باختبار واحد.

02 / 12
STAT 101
M06 · L03
تقسيم التباين

تجزئة مجموع المربعات

الكلي = بين المجموعات + داخلها
SS_T = SS_B + SS_W

SS_B هو الإشارة (تباعد متوسطات المجموعات عن المتوسط الكلي). SS_W هو الضوضاء (تشتت الملاحظات داخل كل مجموعة).

03 / 12
STAT 101
M06 · L03
نسبة الإشارة إلى الضوضاء

إحصاء F

نسبة F
F = \dfrac{MS_B}{MS_W} = \dfrac{SS_B/(k-1)}{SS_W/(N-k)}

تحت H₀، F ≈ 1. تحت H₁ (بعض المتوسطات تختلف)، يكبر MS_B بينما يبقى MS_W ثابتاً → F > 1. نرفض H₀ حين يتجاوز F القيمة الحرجة F*(k−1, N−k).

04 / 12
STAT 101
M06 · L03
تنظيم الحسابات

جدول ANOVA

  • بين المجموعات: SS_B، df = k−1، MS_B = SS_B/(k−1)
  • داخل المجموعات: SS_W، df = N−k، MS_W = SS_W/(N−k)
  • الكلي: SS_T، df = N−1
  • F = MS_B / MS_W مع قيمة p من F(k−1, N−k)
05 / 12
STAT 101
M06 · L03
قبل الوثوق بالنتائج

افتراضات ANOVA

  • الاعتدالية داخل كل مجموعة (مخطط QQ، اختبار شابيرو-ويلك)
  • تساوي التباينات بين المجموعات (اختبار ليفين؛ أقصى s ≤ ضعف أدنى s)
  • الاستقلالية بين الملاحظات داخل المجموعات وبينها
البدائل
بيانات غير معتدلة → كروسكال-واليس
تباينات غير متساوية → ANOVA لـ Welch
06 / 12
STAT 101
M06 · L03
بعد اختبار F الدال

اختبارات ما بعد الفحص

HSD لـ Tukey
HSD = q^* \sqrt{\dfrac{MS_W}{n}}

HSD لـ Tukey: الأفضل لجميع المقارنات الزوجية مع حجم متساوٍ. بونفيروني: استخدم α معدَّل = 0.05/m لأي مجموعة مُخططة مسبقاً من m مقارنة.

07 / 12
STAT 101
M06 · L03
عاملان في آنٍ واحد

ANOVA ثنائي الاتجاه

تجزئة مجموع المربعات
SS_T = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_E

ثلاثة اختبارات F متزامنة: الأثر الرئيسي A، والأثر الرئيسي B، والتفاعل AB. يستخدم كل منها MS_E (البواقي) مقاماً.

08 / 12
STAT 101
M06 · L03
أهم مخرجات النموذج

أثر التفاعل

  • أثر العامل A يعتمد على مستوى العامل B الذي نحن فيه
  • التصور: خطوط غير متوازية في مخطط التفاعل
  • الخطوط المتقاطعة = تفاعل قوي (يمكنه عكس الاتجاه)
  • عند الدلالة الإحصائية، لا تُفسَّر الآثار الرئيسية بمعزل
09 / 12
STAT 101
M06 · L03
حين تفشل الاعتدالية

كروسكال-واليس

إحصاء H
H = \dfrac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \dfrac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)

رتِّب جميع N ملاحظة معاً. H ~ χ²(k−1) تحت H₀. لا يفترض الاعتدالية. للمقارنات البعدية: اختبار Dunn مع تصحيح بونفيروني.

10 / 12
STAT 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

11 / 12
STAT 101
ملخص
مراجعة

ما تعلمته

  • يُقارن ANOVA k ≥ 3 متوسطات باختبار F واحد، مع ضبط الخطأ العائلي
  • F = MS_B/MS_W — إشارة بين المجموعات على ضوضاء داخلها
  • الافتراضات: الاعتدالية، تساوي التباينات، الاستقلالية
  • ما بعد الفحص: HSD لـ Tukey أو بونفيروني لتحديد الأزواج المختلفة
  • ANOVA ثنائي الاتجاه يُضيف التفاعل — افحصه قبل الآثار الرئيسية
  • كروسكال-واليس: البديل القائم على الرتب حين تفشل الاعتدالية
التالي
الدرس 4 — الأخطاء الشائعة ←
كل الدروس اقرأ المقالة
12 / 12