OFDM — أساس اللاسلكي الحديث

انتهى الدرس M8-L3 بوعد. فقد قاس الضرر الذي يُحدثه انتشار التأخير في إشارةٍ عريضة النطاق، وحدّ عرض نطاق التشاكه الذي يفصل الخبوت المستوي عن الخبوت الانتقائي في التردد، ثمّ قال إنّ الجواب تقنيّةٌ تُسمّى OFDM — وأحالها إلى ما بعد. وهذا هو ذلك الدرس. فالتعديد بتقسيم التردد المتعامد هو تضمين الواي فاي وLTE و5G والتلفاز الرقمي والراديو الرقمي وكل خطّ DSL سلكي، وقد استحقّ هذه المكانة لأنّه حوّل تعدّد المسار من الخطر الذي وصفه الدرس M8-L3 إلى شيءٍ يستطيع المستقبِل إبطاله بضربٍ عقديٍّ واحدٍ لكل حاملٍ فرعي.

المشكلة التي وُلد OFDM لحلّها

خُذ الحالة التي عمِلها الدرس M8-L3. في خليّةٍ حضريّةٍ كبرى يبلغ انتشار التأخير الجذر-تربيعي نحو σ_τ = 1 µs، لأنّ الأصداء العائدة من مبانٍ على بعد مئات الأمتار تصل بعد الشعاع المباشر بميكروثوانٍ قليلة. وأرسِل الآن إشارةً أحاديّة الحامل عبره بمعدّل رموزٍ 5 ميغاباود، فيكون طول كل رمزٍ بتعريف الدرس M6-L2 هو T_s = 1/5×10⁶ = 200 نانوثانية. وأصداء كل رمزٍ ما زالت تصل بينما تُرسَل الرموز التالية له:

يستطيع المُعادِل إبطاله. فمُعادِلٌ بخمسة معاملاتٍ يتكيّف باستمرارٍ مع تغيّر القناة هو بالضبط ما تفعله مستقبِلات GSM — وهو مكلِف، ويحتاج متتاليات تدريب، وتعقيده ينمو بحدّةٍ مع طول القناة. وارفع معدّل الرموز إلى 50 ميغاباود لتنال معدّل بياناتٍ من طبقة الواي فاي، فإنّ الميكروثانية الواحدة نفسها من انتشار التأخير تمتدّ 50 رمزاً؛ ومُعادِلٌ متكيّفٌ بخمسين معاملاً يُتابَع في الزمن الحقيقي ليس مكوّناً تضعه بلا تردّدٍ في جهازٍ يعمل ببطّاريّة. لقد ارتطم الإرسال الأحادي الحامل بحائط، ولم يكن الحائط ضوضاءً ولا قدرةً ولا عرض نطاق. كان ذاكرة القناة.

وفكرة OFDM تغييرُ متغيّراتٍ لا فيزياءٌ جديدة. فبدل تدفّقٍ واحدٍ بـ5 ميغاباود، أرسِل N تدفّقاً متوازياً بـ5/N ميغاباود لكلٍّ منها، على N حاملاً مرصوفةً جنباً إلى جنبٍ عبر عرض النطاق الكلّي نفسه. ولا يتغيّر شيءٌ في معدّل البيانات الكلّي — فأنت لا تزال تسلّم خمسة ملايين رمزٍ في الثانية — لكنّ كل رمزٍ منفردٍ صار أطول N مرّة. وعند N = 128 يطول رمز الحامل الفرعي 128 × 200 ns = 25.6 µs مقابل انتشار تأخيرٍ 1 µs، فيشغل الصدى 1/25.6 = 3.9% من رمزٍ واحدٍ بدلاً من خمسة رموزٍ كاملة. لم يُلغَ التداخل بين الرموز؛ بل صُغِّر بما يكفي لتسييجه، وذلك ما تفعله البادئة الدورية أدناه.

وهناك طريقةٌ ثانيةٌ مكافئةٌ لرؤية الفائدة نفسها، وهي رؤية مجال التردد التي هيّأها الدرس M8-L3. فقد أعطى ذلك الدرس عرض نطاق التشاكه بأنّه B_c ≈ 1/(5σ_τ)، فتكون القناة عند σ_τ = 1 µs مستويةً على نحو 1/(5 × 10⁻⁶) = 200 كيلوهرتز. وإشارةٌ أحاديّة الحامل بعرض 5 ميغاهرتز أعرض من ذلك خمساً وعشرين مرّة، فهي غارقةٌ في الخبوت الانتقائي في التردد: بعض طيفها مُضخَّمٌ وبعضه مُصفَّر، وعلى المستقبِل إصلاح طيفٍ مشوَّه. وشرِّح الخمسة ميغاهرتز نفسها إلى حواملٍ فرعيّةٍ متباعدةٍ 15 كيلوهرتز، فيصير كل حاملٍ فرعيٍّ أضيق من عرض نطاق التشاكه بـ200/15 = 13 مرّة. فيختبر كلٌّ منها إذن خبوتاً مستوياً — كسباً عقديّاً واحداً، رقماً واحداً. لقد فُكّكت المشكلة العريضة النطاق إلى بضعة آلافٍ من المشكلات الضيّقة النطاق، وكلٌّ منها تافهة.

التعامد: أطيافٌ متراكبةٌ لا تتداخل

رصفُ N حاملاً جنباً إلى جنبٍ فكرةٌ قديمة — فهي مجرّد النفاذ المتعدّد بتقسيم التردد من الدرس M10-L1، مطبَّقاً داخل مُرسِلٍ واحدٍ بدل توزيعه على المستخدمين. وهو مُهدِرٌ إن فُعل بسذاجة، لأنّ نطاقات الحماية في الدرس M10-L1 كان عليها أن تجلس بين كل زوجٍ من الحوامل الفرعيّة، ومع ألفِ حاملٍ فرعيٍّ تنفق أكثر طيفك على نطاقات الحماية. وإسهام OFDM أنّه لا يحتاج أي نطاق حمايةٍ إطلاقاً بين الحوامل الفرعيّة. فأطيافها تتراكب تراكباً كثيفاً، وتبقى قابلةً للفصل فصلاً تامّاً. والشرط الذي يجعل ذلك صحيحاً اختيارٌ واحدٌ للتباعد:

واقرأ ذلك تجسيداً. إن كان T_u = 66.67 µs وΔf = 15 كيلوهرتز، فإنّ الحامل الفرعي الأوّل يضع 15000 × 66.67×10⁻⁶ = 1.0 دورة في الرمز، والثاني 2.0 دورة، والحامل الفرعي رقم 1200 يضع 1200.0 دورة. لا 1199.7 ولا 1200.3 — بل 1200 بالضبط. واضرب الحامل الفرعي السابع في الثاني عشر وعدِّل على الرمز، فأنت تُعدِّل خمس دوراتٍ كاملةٍ من جيبيّة، وذلك صفر. تلك هي الآليّة كلّها، ويستحقّ التوقّف عند قلّة ما تطلبه: لا مرشّحات ولا نطاقات حمايةٍ ولا فصلٍ في التردد. مجرّد فترةٍ وتباعدٍ متقابلَين بالمقلوب.

وصورة مجال التردد هي التي تجعل OFDM يبدو حيلةً سحريّة. فلأنّ كل حاملٍ فرعيٍّ جيبيّةٌ مقطوعةٌ بنافذةٍ مستطيلةٍ طولها T_u، يكون طيفه دالّة sinc — فصٌّ رئيسٌ عرضه 2Δf وفصوصٌ جانبيّةٌ تخبو ببطءٍ على الجانبين. فتتراكب الحوامل الفرعيّة تراكباً هائلاً: في مركز الحامل الفرعي الخامس يكون الرابع والسادس كلاهما حاضرَين طيفيّاً. لكنّ الـsinc له أصفارٌ عند كل مضاعفٍ لـΔf، فعند تردد مركز الحامل الفرعي الخامس بالضبط يسهم كل حاملٍ فرعيٍّ آخر بصفرٍ تماماً. فالمستقبِل لا يُرشِّح الخامس ليعزله؛ بل يعيّن الطيف عند مركزه، حيث يتلاشى كل جيرانه اتّفاقاً. متراكبٌ وقابلٌ للفصل في الوقت نفسه، واللوحة التفاعليّة أدناه ترسم هذا بالضبط.

لماذا يجب أن يكون التباعد مضبوطاً

التعامد ليس خصيصةً متينة؛ بل هو حدّ سكّين. أزِح مرجع تردد المستقبِل بكسرٍ ε من تباعد الحوامل الفرعيّة، فلا يعود يعيّن عند الأصفار. فيلتقط كل حاملٍ فرعيٍّ الآن طاقةً من الآخرين جميعاً، ولذلك التسرّب اسم: التداخل بين الحوامل. وهو أرضيّةٌ لا تزيلها أي قدرة إرسال، لأنّ التداخل يتقاس مع الإشارة. وآليّتان تُنشئان الإزاحة، وقد قدّم الدرس M8-L3 كلتيهما:

• خطأ المذبذب. بلّورةٌ بدقّة ±20 جزءاً في المليون عند 5 غيغاهرتز تعني ±100 كيلوهرتز إزاحة. ومقابل Δf = 312.5 كيلوهرتز في 802.11a يكون ذلك 100/312.5 = 32% من تباعد حاملٍ فرعي — كارثيٌّ إن تُرك بلا تصحيح، ولذلك تحمل كل مقدّمة OFDM حقلاً لتقدير التردد ويشغّل كل مستقبِلٍ حلقة إزاحة تردد الحامل قبل الـFFT
• إزاحة دوبلر. أعطى الدرس M8-L3 f_d = v f_c/c. فمركبةٌ بسرعة 120 كم/س = 33.33 م/ث عند 2 غيغاهرتز تعطي f_d = 33.33 × 2×10⁹ / 3×10⁸ = 222 هرتز، وهي مقابل تباعد LTE البالغ 15 كيلوهرتز 222/15000 = 1.5%. مُحتمَل. وخُذ السرعة نفسها إلى 28 غيغاهرتز فتكون f_d = 3111 هرتز، أي 21% من 15 كيلوهرتز — وذلك، لا حجم الهوائي، سبب استعمال 5G في الموجة المليمتريّة تباعداً 120 كيلوهرتز بدل 15
• ضجيج الطور يفعل الشيء نفسه بخفاءٍ أكبر: فهو يُلطِّخ كل حاملٍ فرعيٍّ على جيرانه باستمرارٍ بدل إزاحته إزاحةً نظيفة، ولا يمكن تعقّبه بتقديرٍ واحدٍ للإزاحة

فـOFDM إذن يبادل حساسيّةً بحساسيّة. فهو متسامحٌ تسامحاً لافتاً مع تعدّد المسار، وهو ما يقتل الأنظمة الأحاديّة الحامل، ومتعصّبٌ تعصّباً لافتاً على خطأ التردد، وهو ما تكاد الأنظمة الأحاديّة الحامل لا تلاحظه. وكانت تلك هي المبادلة الصائبة لأنّ تعدّد المسار خصيصة العالم وخطأ التردد خصيصة عتادك — والعتاد تحسّن.

تحويل فورييه العكسي هو المُضمِّن

وهنا الجزء الذي حوّل OFDM من طُرفةٍ إلى صناعة. اقرأ شرط التعامد مرّةً أخرى كتعليماتٍ لبناء مُرسِل، فهو يقول: وَلِّد N جيبيّةً بتباعدات 1/T_u، واضرب كلّاً منها في رمز QAM الخاصّ بها من الدرس M5-L4، واجمعها. وذلك N مذبذباً وN مضرِباً وN مرشّحاً، وعليها كلّها أن تحفظ أطوارها النسبيّة إلى كسرٍ من الدرجة. وعند N = 1200 لا يكون ذلك راديو، بل مبنى.

لكنّ مجموع N أُسّيّةً عقديّةً عند مضاعفاتٍ صحيحةٍ لأساسيّةٍ واحدة، موزوناً بـN معامِلاً، معيَّناً عند N نقطة، ليس شبيهاً بتحويل فورييه المتقطّع العكسي فحسب. بل هو ذاته، مكتوباً:

وتوفير الكلفة هو سبب وجود OFDM في المنتجات. فحساب ذلك المجموع مباشرةً، حاملاً فرعيّاً حاملاً فرعيّاً، يستلزم N ضربةً عقديّةً لكل عيّنة خرجٍ وN عيّنة، أي N² ضربةً عقديّةً لكل رمز. أمّا تحويل فورييه السريع بأساس اثنين فيستلزم (N/2) log₂N. وفي إعداد LTE عند 20 ميغاهرتز، حيث N = 2048:

• الحساب المباشر: N² = 2048² = 4,194,304 ضربةً عقديّةً لكل رمز
• تحويل فورييه السريع بأساس اثنين: (2048/2) × log₂(2048) = 1024 × 11 = 11,264 ضربةً عقديّةً لكل رمز
• النسبة: 4,194,304 / 11,264 = حسابٌ أقلّ بـ372 ضعفاً، لجوابٍ مطابقٍ بتّةً ببتّة
• وعند N = 64 في الواي فاي تكون المقارنة نفسها 64² = 4096 مقابل (64/2) × 6 = 192، أي عاملٌ يبلغ 21.3 ضعفاً — والميزة تنمو مع N، ولذلك تنتفع أكبر أنظمة OFDM أكثرها
• تحقّق من معدّل الرموز: يشغّل LTE نحو 14,000 رمز OFDM في الثانية، فيكون 11,264 × 14,000 ≈ 158 مليون ضربةٍ عقديّةٍ في الثانية — شيءٌ عاديٌّ لرقاقةٍ حديثة، ومستحيلٌ تماماً على إلكترونيّات 1970

وذلك السطر الأخير هو تاريخ هذا الموضوع. فقد نشر روبرت تشانغ فكرة تعدّد الحوامل في مختبرات بِل سنة 1966؛ وأظهر وينستاين وإيبرت سنة 1971 أنّ تحويل فورييه المتقطّع يُنجزها؛ وأضاف بيلد ورويز البادئة الدورية سنة 1980. فكل قطعةٍ نظريّةٍ من OFDM كانت في الأدبيّات قبل أوّل مكالمة هاتفٍ محمول، وبقيت بلا استعمالٍ نحو عقدَين — لا لأنّ أحداً شكّ في الرياضيّات، بل لأنّ أحداً لم يقدر على تحمّل كلفة الحساب. ولم يصل OFDM إلى المستهلكين إلّا حين وصلت معالجة الإشارات الرقميّة الرخيصة: البثّ الصوتي الرقمي الأوروبي سنة 1995، وADSL في منتصف التسعينيّات، وIEEE 802.11a سنة 1999، وLTE سنة 2009. وهو أوضح مثالٍ في هذه الدورة على تقنيّة اتصالاتٍ حدّد تاريخ تبنّيها قانون مور لا الفكرة.

البادئة الدورية

الرموز الطويلة تُصغِّر التداخل بين الرموز ولا تُزيله، وهي تفعل شيئاً آخر أيضاً: فصدىً متأخّرٌ بـτ يهدم خصيصة الدورات الصحيحة التي يعتمد عليها التعامد، لأنّ النسخة المتأخّرة لم تعد مُصطفّةً مع نافذة الـFFT. فيضيف OFDM حيلةً أخيرة، وهي أنبل فكرةٍ في الدرس. قبل إرسال رمز، انسخ آخر T_CP ثانيةً منه والصق النسخة على مقدّمته. فيصير الرمز المُرسَل طوله T_u + T_CP ويبدأ بتكرارٍ زائدٍ لذيله نفسه.

ويتبع ذلك أمران، ويستحقّان القول منفصلَين لأنّهما يُلبَسان ببعضهما عادةً. أوّلاً، البادئة فترةٌ حارسة: فصدىً يصل متأخّراً بما يبلغ T_CP ينسكب في البادئة وحدها، والمستقبِل ببساطةٍ يرمي البادئة قبل تشغيل الـFFT، فلا تصل أي طاقةٍ من الرمز السابق إلى التحويل. وذلك يقتل التداخل بين الرموز. وثانياً، وهو أقلّ بداهةً، تبدو النسخة المتأخّرة داخل النافذة المحفوظة إزاحةً دوريّةً للرمز لا إزاحةً مقطوعة — لأنّ الجزء الذي كان سينقص من المقدّمة قد لُصق هناك عمداً. والإزاحة الدوريّة في الزمن دورانُ طورٍ محضٌ في التردد. فيرى الـFFT كل حاملٍ فرعيٍّ مضروباً في عددٍ عقديٍّ واحد:

لكنّ البادئة عبءٌ محض. فهي لا تحمل معلومةً جديدة — فهي بالبناء نسخة — فكل ثانيةٍ تُنفَق في إرسالها ثانيةٌ لم تُنفَق في إرسال بيانات. ويعطي ذلك القيدَين التصميميَّين اللذين يحدّدان كل ترقيمٍ لـOFDM قُنّن يوماً، وهما يشدّان في اتجاهَين متضادَّين:

مثالٌ محلول: LTE بتباعد 15 كيلوهرتز

• تباعد الحوامل الفرعيّة مثبَّتٌ عند Δf = 15 كيلوهرتز، فتكون فترة الرمز المفيدة T_u = 1/Δf = 1/15000 = 66.67×10⁻⁶ ث = 66.67 µs
• البادئة الدورية العاديّة هي T_CP = 4.69 µs، فيكون الرمز المُرسَل 66.67 + 4.69 = 71.36 µs
• العبء: η_CP = 4.69 / (66.67 + 4.69) = 4.69 / 71.36 = 0.0657 = 6.6%
• تحقّق زمني: يضع LTE سبعة رموزٍ في شقٍّ طوله 0.5 ملّي ثانية، ببادئةٍ أطول تبلغ 5.21 µs على الأوّل. فيكون 5.21 + 6 × 4.69 + 7 × 66.67 = 5.21 + 28.14 + 466.69 = 500.04 µs ≈ 0.5 ملّي ثانية ✓ — واختير الترقيم ليخرج ذلك المجموع صحيحاً
• تحقّق من انتشار التأخير: 4.69 µs مقابل σ_τ حضريٍّ يبلغ 1 µs هو 4.7 أضعاف انتشار التأخير، وهو الهامش الذي يريده تصميمٌ حقيقيٌّ لا الحدّ الأدنى المجرّد T_CP > σ_τ
• تحقّق من استواء الخبوت: عرض نطاق التشاكه عند σ_τ = 1 µs هو 200 كيلوهرتز، و15 كيلوهرتز أضيق منه 13 مرّة ✓ فكل حاملٍ فرعيٍّ يرى خبوتاً مستوياً فعلاً (الدرس M8-L3)
• حدسٌ بالمسافة: 4.69 µs × 3×10⁸ م/ث = 1407 م، فيتحمّل LTE أصداءً يزيد مسارها على المباشر بنحو 1.4 كم

ويعرّف LTE كذلك بادئةً دوريّةً ممدَّدة طولها 16.67 µs، تُستعمَل في الخلايا الكبيرة والتضاريس الجبليّة حيث تأتي الأصداء من أبعد. ومداها 16.67 µs × 3×10⁸ = 5001 م، أي خمسة كيلومتراتٍ من المسار الزائد — وتكلّف 16.67/(66.67 + 16.67) = 16.67/83.34 = 20.0% عبئاً، أي ثلاثة أمثال البادئة العاديّة. وتلك هي المبادلة مسعَّرةً بالضبط: خُمس سعتك، مقابل النجاة في قناةٍ أطول ثلاث مرّاتٍ ونصفاً. فتشغّلها الشبكة حيث تطلبها التضاريس ولا تشغّلها في غير ذلك.

مثالٌ محلول: واي فاي 802.11a/g بتباعد 312.5 كيلوهرتز

• قناةٌ بعرض 20 ميغاهرتز تُعالَج بتحويل فورييه من 64 نقطة، فيكون Δf = 20×10⁶/64 = 312500 هرتز = 312.5 كيلوهرتز
• فترة الرمز المفيدة T_u = 1/Δf = 1/312500 = 3.2 µs — أقصر من فترة LTE إحدى وعشرين مرّة، لأنّ التباعد أعرض إحدى وعشرين مرّة
• الفترة الحارسة هي T_CP = 0.8 µs، فيكون الرمز 3.2 + 0.8 = 4.0 µs
• العبء: η_CP = 0.8 / 4.0 = 0.20 = 20% — ثلاثة أمثال عبء LTE، وهو ثمن الرمز القصير
• تحقّق من انتشار التأخير: في مكتبٍ يكون σ_τ ≈ 50–100 نانوثانية (الدرس M8-L3)، فتكون 0.8 µs من 8 إلى 16 ضعف انتشار التأخير ✓. ومداها 0.8 µs × 3×10⁸ = 240 م من المسار الزائد، وهو وفيرٌ داخل المباني وسبب كون الواي فاي تقنيّةً داخليّةً بصورةٍ مكتوبةٍ في ترقيمه
• تحقّق من استواء الخبوت: عند σ_τ = 100 ns يكون B_c ≈ 1/(5 × 100×10⁻⁹) = 2 ميغاهرتز، و312.5 كيلوهرتز أضيق منه 6.4 مرّة ✓

وفي تلك القناة عبءٌ ثانٍ لا صلة له بالبادئة. فمن الحوامل الفرعيّة الأربعة والستّين 52 مستعمَلةٌ فقط: 48 تحمل بيانات و4 استدلاليّةٌ لتقدير H_k. والاثنتا عشرة الباقية تُترَك فارغة — 11 عند حواف النطاق حمايةً من القنوات المجاورة، مع خانة التردد الصفري، التي تُطرَح لأنّ إزاحة المستقبِل المستمرّة تحلّ هناك بالضبط. فيكون 52 × 312.5 كيلوهرتز = 16.25 ميغاهرتز من قناة العشرين ميغاهرتز مشغولاً فعلاً، وكسر الحوامل الفرعيّة التي تحمل حِملاً نافعاً هو 48/64 = 75%. واضرب العبأَين فيكون الرقم الصادق 0.75 × 0.80 = 60% من جُداء القناة في الزمن في عرض النطاق يسلّم حِملاً نافعاً. وقد سمّى الدرس M6-L3 نسبة 20–30% عبئاً نظاميّاً معتاداً؛ و802.11a ينفق 40%، وتلك المقارنة نقدٌ منصفٌ لتصميم 1999 لا دفاعٌ عنه.

والمردود، والتحقّق من أنّ هذا كلّه صحيح: 48 حاملاً فرعيّاً للبيانات، ورمزٌ كل 4.0 µs، يعني 48/4.0×10⁻⁶ = 12×10⁶ = 12 مليون رمز بياناتٍ في الثانية. وعند 64-QAM يحمل كلٌّ منها 6 بتّات (الدرس M5-L4)، فيعطي 72 ميغابت/ث خامّاً، ومع شيفرة المعدّل 3/4 التي يستعملها ذلك النمط يكون 72 × 3/4 = 54 ميغابت/ث ✓ — أعلى معدّلٍ في ورقة مواصفات 802.11a، مُعاد بناؤه من الترقيم وحده.

حين يتجاوز انتشار التأخير البادئة الدورية

كان للمثالَين المحلولَين هامشٌ مريح، فيستحقّ القول صراحةً ما يحدث حين لا يكون كذلك، لأنّ الفشل أسوأ من تدهورٍ لطيف. فإن وصل صدىً متأخّراً أكثر من T_CP انكسر أمران في وقتٍ واحد. يمتدّ ذيل الرمز السابق إلى داخل النافذة المحفوظة، وذلك عودةٌ للتداخل بين الرموز بالضبط كما كان في الحالة الأحاديّة الحامل. وتكون النسخة المتأخّرة داخل النافذة قد فقدت كونها إزاحةً دوريّةً نظيفة، فلا يعود الـFFT يُقطِّر القناة — فيتوقّف H_k عن كونه عدداً عقديّاً واحداً لكل حاملٍ فرعيٍّ وتبدأ الحوامل الفرعيّة بالتسرّب إلى بعضها، وذلك التداخل بين الحوامل مرّةً أخرى. فيكون مُعادِل الضربة الواحدة في المعادلة أعلاه يحلّ المشكلة الخطأ، ولا تنفع أي قدرة إرسال، لأنّ الإفسادَين كليهما يتقاسان مع الإشارة. فوصلة واي فاي أُخذت إلى الخارج في ساحةٍ فيها ميكروثانيةٌ من انتشار التأخير لا تصير أبطأ وأكثر ضوضاءً؛ بل تصطدم بأرضيّة خطأٍ وتتوقّف. وهذا ما يقوله لك مؤشّر الحكم في اللوحة أدناه.

ما يكلّفه OFDM

تقنيّةٌ بهذه الهيمنة تجتذب وصفاً بلا نقد، فهذه هي الفاتورة. ثلاثة بنود، وأوّلها جادٌّ إلى حدّ أنّه غيّر معياراً.

• النسبة، بصدق. أسوأ حالةٍ نظريّةٍ عند N = 2048 هي 10 log₁₀(2048) = 33.1 ديسيبل، وعند N = 64 هي 10 log₁₀(64) = 18.1 ديسيبل. ولا يخطّط المصمّمون لأيٍّ من الرقمَين، لأنّ ذلك الاصطفاف يقتضي تواطؤ الرموز الـ2048 كلّها وهو مستبعَدٌ استبعاداً فلكيّاً. وإشارات OFDM الحقيقيّة تجلس حول 8–12 ديسيبل عند مستويات الاحتمال المهمّة، وتُروَّض أكثر بالقطع وحجز النغمات والتخطيط الانتقائي. واقتباس حدّ الـ33 ديسيبل رقماً تشغيليّاً خطأٌ شائع — لكنّ إهمال النسبة خطأٌ أيضاً، لأنّ عشرة ديسيبل تعني مُكبِّراً مسحوباً 10 ديسيبل عن التشبّع، وذلك فقدٌ كبيرٌ في الكفاءة (وتشعر به موازنة الدرس M9-L1 قدرة إرسالٍ ضائعة)
• ولذلك وصلة LTE الصاعدة ليست OFDMA. فمحطّةٌ قاعديّةٌ على الشبكة الكهربائيّة تحتمل مُكبِّراً مسحوباً؛ وهاتفٌ على بطّاريّةٍ لا يحتمل. فيستعمل LTE الـOFDMA نزولاً وSC-FDMA صعوداً — وهو صنفٌ مُسبَق الترميز ينشر كل رمزٍ على الحوامل الفرعيّة المخصَّصة قبل التحويل العكسي، فيستعيد نحو 2–3 ديسيبل من النسبة بثمن بعض تعقيد المعادلة في المحطّة القاعديّة، وهو بالضبط حيث تريد أن يسكن التعقيد. وهذه أوضح حالةٍ في الدورة على خيارٍ في الطبقة الفيزيائيّة اتُّخذ بدافع البطّاريّة وحدها
• الحساسيّة لإزاحة التردد وضجيج الطور، كما استُنتج أعلاه: كلّما ضاق التباعد ضاقت مواصفة المذبذب، وأرضيّة التداخل بين الحوامل لا تُشترى بالقدرة
• العبء. البادئة (من 6.6% إلى 20%)، والحوامل الفرعيّة الاستدلاليّة، والحوامل الفرعيّة غير المستعمَلة عند الحواف وعند التردد الصفري. اجمعها فيسلّم 802.11a حِملاً نافعاً في 60% من جُداء قناته في الزمن. فOFDM ليس مجّانيّاً طيفيّاً؛ بل هو متوقَّعٌ طيفيّاً، وذلك أمرٌ مختلفٌ وأنفع

OFDMA — النفاذ المتعدّد على شبكةٍ ثنائيّة الأبعاد

كل ما سبق يخصّ وصلةً واحدة. وقد أعطى الدرس M10-L1 ثلاث طرقٍ لتقاسم قناةٍ بين مستخدمين، ولكلٍّ منها ضعفٌ مميّز: فالنفاذ بتقسيم التردد يهدر طيفاً على نطاقات الحماية ويعطي كل مستخدمٍ شريحةً ثابتةً احتاجها أو لم يحتجها؛ والنفاذ بتقسيم الزمن يعطي كل مستخدمٍ القناة كلّها لكن أحياناً فقط، ويحتاج أزمنة حماية؛ والنفاذ بتقسيم الشيفرة يدع الجميع يُرسِلون معاً لكنّه يدفع ثمن ذلك ضبطَ قدرةٍ في مسألة القريب والبعيد وتداخلَ نفاذٍ متعدّد. وOFDMA — النفاذ المتعدّد بتقسيم التردد المتعامد — هو ملاحظة أنّ مُرسِل OFDM قد بنى أصلاً شبكةً تحلّ الثلاثة كلّها.

فالحوامل الفرعيّة الـN مُفهرَسةٌ في التردد والرموز مُفهرَسةٌ في الزمن، فتكون إشارة OFDM شبكة مواردٍ ثنائيّة الأبعاد: حوامل فرعيّة في رموز. ولا شيء يقتضي أن تعود كل خلايا تلك الشبكة إلى المستخدم نفسه. فأعطِ كل مستخدمٍ مستطيلاً منها — بعض الحوامل الفرعيّة، لبعض الرموز — وقد نلت نفاذاً متعدّداً بلا نطاقات حماية (فالتعامد يفصل الحوامل الفرعيّة أصلاً)، وبلا أزمنة حماية (فالبادئة الدورية تمتصّ خطأ التوقيت أصلاً)، وبلا حبل مشدودٍ لضبط القدرة (فالمستخدمون متعامدون لا غير مترابطين فحسب). فهو نفاذٌ بتقسيم التردد وبتقسيم الزمن في الوقت نفسه، على شبكةٍ فصلها مضبوطٌ بالبناء، ومُجدوِلٌ يختار المستطيلات.

والمُجدوِل هو مكان الكسب الحقيقي، ويستحقّ الدقّة في بيان سبب تغلّب OFDMA على مخطّطات الدرس M10-L1 الثلاثة بدل مجرّد التعادل معها. فلأنّ كل حاملٍ فرعيٍّ يخبو مستقلّاً على عرض نطاقٍ يبلغ B_c (الدرس M8-L3)، تكون قناة مستخدمٍ معيّنٍ في أي لحظةٍ جيّدةً على بعض الحوامل الفرعيّة ورديئةً على غيرها — ولمستخدمين مختلفين حواملٌ فرعيّةٌ جيّدة مختلفة. ومُجدوِلٌ يعرف ذلك يستطيع أن يعطي كل مستخدمٍ الجزء من الطيف الذي هو فيه قويّ، في كل ملّي ثانية. ولا يستطيع النفاذ بتقسيم التردد ذلك: فشرائحه ثابتة. ولا يستطيعه النفاذ بتقسيم الزمن: فهو يسلّم النطاق كلّه أو لا شيء. ولا يستطيعه النفاذ بتقسيم الشيفرة: فهو ينشر كل مستخدمٍ على كل شيءٍ بالتصميم. ويُسمّى هذا كسب الجدولة الانتقائيّة في التردد أو الجدولة متعدّدة المستخدمين، وهو يحوّل الخبوت الانتقائي في التردد من الدرس M8-L3 من عيبٍ إلى موردٍ — وهو الانقلاب نفسه الذي وعدت به الفقرة الختاميّة للدرس M9-L4.

كتلة موارد LTE، متحقَّقاً منها

تحتاج الشبكة وحدة تخصيص، لأنّ جدولة حواملٍ فرعيّةٍ منفردةٍ ستُغرِق النظام في الإشارات التحكّميّة. ووحدة LTE هي كتلة الموارد: 12 حاملاً فرعيّاً متتالياً، لشقٍّ واحدٍ طوله 0.5 ملّي ثانية.

• عرض النطاق: 12 × 15 كيلوهرتز = 180 كيلوهرتز ✓ — وهو الرقم المقتبَس في كل مكان، وليس أكثر من اثني عشر حاملاً فرعيّاً بالتباعد المعياري
• الطول: شقٌّ واحدٌ = 0.5 ملّي ثانية = 7 رموز OFDM بالبادئة العاديّة، كما أكّد تحقّق الـ500.04 µs أعلاه
• الحجم: 12 × 7 = 84 عنصر موارد، منها نحو 4 تحمل إشاراتٍ مرجعيّةً لمنفذ هوائيٍّ واحد — أي 4/84 = 4.8% عبئاً إضافيّاً، فوق البادئة
• تحقّقٌ بمقارنة 180 كيلوهرتز بـB_c: عرض كتلة الموارد 180 كيلوهرتز مقابل عرض نطاق تشاكه 200 كيلوهرتز، فتخبو الكتلة كلّها تقريباً كوحدةٍ واحدة — وذلك بالضبط سبب كون 180 كيلوهرتز الحبيبيّة الصحيحة للجدولة. فالأصغر لن يكسب شيئاً، والأكبر سيُعدِّل الحوامل الفرعيّة الجيّدة حتى تزول
• حاملٌ LTE بعرض 20 ميغاهرتز يضمّ 100 كتلة موارد: 100 × 12 = 1200 حاملاً فرعيّاً، و1200 × 15 كيلوهرتز = 18 ميغاهرتز مشغولاً من العشرين الاسميّة، أي 90%، والميغاهرتزان الباقيان نطاق حمايةٍ عند الحواف. والتحويل من 2048 نقطةٍ عند معدّل تعيينٍ 30.72 ميغاهرتز، و2048 × 15 كيلوهرتز = 30.72 ميغاهرتز ✓

ويُبقي 5G NR كتلة الموارد على 12 حاملاً فرعيّاً لكنّه يجعل التباعد قابلاً للضبط، بقوى الاثنين: Δf = 15 أو 30 أو 60 أو 120 أو 240 كيلوهرتز. فتكون كتلة الموارد 180 كيلوهرتز عند تباعد 15 كيلوهرتز و12 × 30 = 360 كيلوهرتز عند تباعد 30 كيلوهرتز. ولأنّ البادئة تتقلّص مع T_u، لا يتغيّر العبء — فعند تباعد 30 كيلوهرتز يكون T_u = 33.33 µs والبادئة العاديّة 4.69/2 = 2.34 µs، و2.34/(33.33 + 2.34) = 6.6%، الكسر نفسه. أمّا ما يتغيّر فهو زوج الحدود الفيزيائيّة: فالتباعد الأعرض يتحمّل دوبلر أكثر، ولذلك تستعمل الموجة المليمتريّة 120 كيلوهرتز، والتباعد الأضيق يتحمّل انتشار تأخيرٍ أكثر، ولذلك تبقى النطاقات المنخفضة عند 15 أو 30 كيلوهرتز. والترقيم القابل للتوسيع ليس فكرةً جديدةً في هذا الدرس؛ بل هو المحاجّة الثلاثيّة نفسها، جُعلت قابلةً للتعديل.

ويفعل واي فاي 6 الشيء نفسه باسمٍ مختلف. فقد ضاعف 802.11ax طول الرمز أربع مرّات: صارت قناة العشرين ميغاهرتز تأخذ تحويلاً من 256 نقطة، فيكون Δf = 20×10⁶/256 = 78.125 كيلوهرتز وT_u = 1/78125 = 12.8 µs. ومع بادئةٍ 0.8 µs يكون الرمز 13.6 µs والعبء 0.8/13.6 = 5.9%، هبوطاً من عشرين بالمئة في 802.11a. وفيه 234 حاملاً فرعيّاً للبيانات و8 استدلاليّة، فيكون 234/256 = 91.4% من الخانات حاملةً حِملاً نافعاً مقابل 75% في 802.11a، ويصعد الكسر النافع المُجتمَع إلى 0.914 × (12.8/13.6) = 0.914 × 0.941 = 86% مقابل ستّين بالمئة. عقدان من هندسة OFDM، وآليّة التحسّن محتواةٌ بالكامل في القاعدة التصميميّة أعلاه: الرموز الأطول تُرخِّص الفترة الحارسة. وأضاف 802.11ax كذلك الـOFDMA بحقّه، في وحداتٍ تُسمّى وحدات الموارد — أصغرها 26 نغمة، و26 × 78.125 كيلوهرتز = 2.03 ميغاهرتز، وتسعٌ منها تملأ الحوامل الفرعيّة الـ234 للبيانات في قناة عشرين ميغاهرتز (9 × 26 = 234 ✓).

أين يوجد OFDM، وإلى أين يمضي هذا

من الأسهل تعداد ما لا يستعمل OFDM. فالبثّ الصوتي الرقمي، والتلفاز الأرضي الرقمي، وADSL وVDSL، وشبكات خطوط الكهرباء، وكل جيل واي فاي من 802.11a وما بعده، وLTE، و5G NR في مجالَي التردد كليهما، ومعظم وصلات العودة الساتليّة: كلّها OFDM أو قريبٌ منه. والاستثناءات مُلقِنةٌ لا مُحرِجة — فوصلة LTE الصاعدة اختارت SC-FDMA لأسبابٍ تتعلّق بالبطّاريّة، وبقي البلوتوث أحاديّ الحامل لأنّ قناته قصيرةٌ وموازنة قدرته ضئيلة، ويستعمل GPS الطيف المنتشر لأنّ مشكلته ليست تعدّد المسار بل إخفاء إشارةٍ تحت أرضيّة الضوضاء (الدرس M10-L1).

وثلاثة أمورٍ لم يفعلها هذا الدرس عمداً. فقد عامل قناة تعدّد المسار شيئاً يُبطَل، مع أنّ هوائيّاتٍ عدّةً في الطرفين تستطيع استعمال تعدّد المسار نفسه لإرسال تدفّقات بياناتٍ متوازية — وذلك MIMO في الدرس M10-L3، وهو يتركّب مع OFDM لا ينافسه: فالأنظمة الحقيقيّة تشغّل MIMO لكل حاملٍ فرعي، وذلك لا يُطاق إلّا لأنّ البادئة الدورية جعلت كل حاملٍ فرعيٍّ كسباً عقديّاً واحداً. ولم يقل شيئاً عن كيف يتقاسم اتّجاها الوصلة الوسط في الزمن أو التردد، وذلك الإرسال المزدوج في الدرس M10-L4. وسمّى ترقيمات الواي فاي وLTE و5G دون وصف المعايير التي تحتويها، وذلك الوحدة 11. وكلٌّ من هذه الثلاثة يُبنى على الشبكة التي أنشأها هذا الدرس.