Wireless 101
M04 · L02
الوحدة الرابعة

عرض النطاق في FM

يأتي تفوّق FM في مناعة الضوضاء بثمن: استهلاك أكبر من الطيف. كم بالضبط؟ تجيبنا قاعدة كارسون بإجابة سريعة وعملية يستخدمها المهندسون حول العالم.

01 / 13
Wireless 101
M04 · L02
التحدي

FM تستهلك طيفاً أوسع

إشارة FM تنتج شرائح جانبية لا نهائية عبر دوال بيسل — نظرياً عرض نطاق لا نهائي. عملياً نحسب فقط الشرائح ذات الطاقة الجوهرية، وهنا تأتي قاعدة كارسون.

عرض نطاق AM
2fm
عرض نطاق FM
أوسع بكثير
02 / 13
Wireless 101
M04 · L02
القاعدة الأساسية

قاعدة كارسون

اقترحها جون كارسون عام 1922، تلتقط هذه القاعدة 98% من طاقة إشارة FM ضمن عرض النطاق المحدد. هي المعيار الصناعي لتخطيط FM.

قاعدة كارسون
BW\approx 2(\Delta f+f_m)
03 / 13
Wireless 101
M04 · L02
المتغيرات

تفسير المعادلة

  • BW — عرض النطاق المحتل الكلي
  • Δf — أقصى انحراف تردد
  • fm — أعلى تردد للرسالة
  • العامل 2 — الشرائح الجانبية العليا والسفلى معاً
04 / 13
Wireless 101
M04 · L02
صيغة بديلة

بدلالة دليل التضمين

بما أن β = Δf / fm، يمكن إعادة كتابة قاعدة كارسون باستخدام مؤشر التضمين. كلما ارتفع β، اتسع عرض النطاق — لكن تحسّنت مناعة الضوضاء.

باستخدام مؤشر التضمين
BW\approx 2f_m(1+\beta)
05 / 13
Wireless 101
M04 · L02
النظام الأول

FM ضيّق النطاق

عندما β ≪ 1، يكون الانحراف صغيراً. تتبسّط قاعدة كارسون إلى BW ≈ 2fm — مشابه لـ AM. يُستخدم في أجهزة اللاسلكي والاتصالات الجوية.

تقريب النطاق الضيق (β ≪ 1)
\beta\ll 1\implies BW\approx 2f_m
06 / 13
Wireless 101
M04 · L02
النظام الثاني

FM عريض النطاق

عندما β ≫ 1، يسيطر الانحراف. تصبح قاعدة كارسون BW ≈ 2Δf. بث FM التجاري عريض النطاق: β ≈ 5، يوفر جودة صوت فائقة.

تقريب النطاق العريض (β ≫ 1)
\beta\gg 1\implies BW\approx 2\Delta f
07 / 13
Wireless 101
M04 · L02
مثال حقيقي

راديو FM التجاري

البث القياسي: Δf = 75 كيلوهرتز، fm = 15 كيلوهرتز.

حساب قاعدة كارسون
BW = 2(75 + 15) = 180 كيلوهرتز
فاصل بين القنوات: 200 كيلوهرتز
نطاق حماية: 20 كيلوهرتز | β = 75/15 = 5
08 / 13
Wireless 101
M04 · L02
تفاعلي

حاسبة عرض النطاق

ΔfBW = —
fmβ = —
09 / 13
Wireless 101
M04 · L02
المقايضة

عرض النطاق مقابل الضوضاء

عرض النطاق الأوسع في FM يشتري أداءً أفضل ضدّ الضوضاء. فمع التضمين بنغمة واحدة يتحسّن SNR الخرج بمقدار 3β² مقارنةً بـAM — عند القدرة المستقبَلة نفسها، ومع أخذ SNR الخاص بـAM في قناته بعرض 2fm. ومضاعفة β تجعل الميزة أربعة أضعاف.

بثّ FM، β = 5
3(5)² = 75 = 18.75 dB
كل مضاعفة لـβ
×4 = +6 dB
قُل ما الذي أبقيتَه ثابتًا
أسنِد الضوضاء إلى عرض نطاق كارسون الخاص بـFM بدلًا من ذلك، فتُقرأ النتيجة نفسها 3β²(1 + β) — أوسع بمقدار (1 + β) بالضبط. وعامل جدارة FM هو (3/2)β² (Haykin, Communication Systems, ch. 2)
10 / 13
Wireless 101
M04 · L02
تطبيقات حقيقية

FM في الواقع

  • بث FM: β = 5، عرض نطاق 180 كيلوهرتز
  • الاتصالات الجوية (NBFM): β < 0.5، حوالي 16 كيلوهرتز
  • أجهزة لاسلكي الشرطة/الإطفاء: β ≈ 1.5
  • الأقمار الاصطناعية: FM ضيق لتحقيق الكفاءة
  • صوت التلفزيون (تقليدي): β ≈ 2.5
11 / 13
Wireless 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
Wireless 101
M04 · L02
ملخص

ما تعلّمته اليوم

قاعدة كارسون BW ≈ 2(Δf + fm) تلتقط 98% من طاقة FM. β صغير ← نطاق ضيق. β كبير ← نطاق عريض مع مناعة أفضل. FM التجاري: β = 5، قنوات بعرض 200 كيلوهرتز.

الدرس القادم
إزالة تضمين FM ←
كل الدروس اقرأ المقالة
13 / 13