لإشارات FM نظرياً عرض نطاق لانهائي — سلسلة دوال بيسل لا تصل إلى الصفر تماماً أبداً. عملياً، يحتاج المهندسون إلى قاعدة عملية لمقدار الطيف الذي تشغله إشارة FM فعلياً. قاعدة كارسون توفر ذلك بالضبط: صيغة بسيطة تلتقط 98% من طاقة الإشارة في تعبير واحد.
لأن FM يُولّد سلسلة لانهائية من أزواج الشرائح الجانبية، فإن التعريف الصارم لعرض النطاق (نطاق الترددات ذات الطاقة غير الصفرية) هو تقنياً لانهائي. للهندسة الفعلية، نحتاج إلى عرض نطاق عملي — نطاق التردد الذي يحتوي على جميع طاقة الإشارة.
الاتفاقية القياسية تشمل جميع أزواج الشرائح الجانبية التي تتجاوز سعتها (معامل بيسل) 1% من الحاملة غير المُضمَّنة. هذه القاعدة صاغها جون كارسون في مختبرات بيل عام 1922، مما يجعلها من أقدم الإرشادات العملية في هندسة الراديو.
يمكن كتابة هذا أيضاً باستخدام مؤشر التضمين β = Δf/f_m:
عندما يكون β صغيراً جداً، (β + 1) ≈ 1، إذن BW ≈ 2f_m. عرض النطاق مشابه تقريباً لـ AM ثنائي الشريط الجانبي. الانحراف الترددي أصغر بكثير من عرض نطاق الرسالة — فقط الحاملة وأول زوج هوامش يحملان طاقة كبيرة. يُستخدم NBFM في اتصالات الصوت حيث تهم كفاءة الطيف أكثر من جودة الصوت.
عندما يكون β كبيراً جداً، (β + 1) ≈ β، إذن BW ≈ 2β·f_m = 2Δf. عرض النطاق مساوٍ تقريباً لضعف الانحراف الترددي، مستقلاً عن تردد الرسالة. عرض نطاق الإشارة تهيمن عليه الانحراف، وتحسين نسبة الإشارة للضوضاء (بزيادة Δf) يكلّف عرض نطاق متناسب. هذه هي المقايضة الأساسية بين عرض النطاق والضوضاء في FM واسع النطاق.
| التطبيق | Δf | f_m | β | BW (كارسون) |
|---|---|---|---|---|
| راديو FM البث | 75 كيلوهرتز | 15 كيلوهرتز | 5 | 180 كيلوهرتز |
| راديو صوتي ثنائي الاتجاه | 5 كيلوهرتز | 3 كيلوهرتز | 1.67 | 16 كيلوهرتز |
| راديو شرطة/إطفاء أرضي متنقل (انظر الملاحظة) | 2.5 كيلوهرتز | 3 كيلوهرتز | 0.83 | 11 كيلوهرتز |
| قياس أقمار صناعية | 200 كيلوهرتز | 50 كيلوهرتز | 4 | 500 كيلوهرتز |
ملاحظة على مصطلح «ضيق النطاق». يُعرّف الدرس M4-L1 تضمين FM ضيق النطاق تعريفاً صارماً: β أصغر بكثير من 1 (نموذجياً β < 0.3)، حيث ينكمش عرض النطاق إلى نحو 2fm كما في AM. صفّ الراديو الأرضي المتنقل أعلاه له β = 0.83، فهو لا يجتاز هذا الاختبار: قاعدة كارسون تعطي 11 كيلوهرتز مقابل 2fm = 6 كيلوهرتز. تسمّي صناعة الراديو تلك القنوات «ضيقة النطاق» بسبب تباعد القنوات (12.5 كيلوهرتز بدل 25)، لا لأن β صغيرة. الاستخدامان معياريان، لكنهما يقيسان شيئين مختلفين، فتحقّق أيّهما تقصده ورقة البيانات.
التحقق من FM التجاري: البث FM يستخدم Δf = 75 كيلوهرتز و f_m = 15 كيلوهرتز (عرض نطاق الصوت الكامل). قاعدة كارسون تعطي BW = 2(75 + 15) = 180 كيلوهرتز. تخصص هيئة الاتصالات الفيدرالية قنوات 200 كيلوهرتز، تاركة 10 كيلوهرتز نطاقاً واقياً على كل جانب. الرياضيات تنجح بشكل مثالي.
الرؤية الجوهرية لـ FM واسع النطاق هي أنك تستطيع مقايضة عرض النطاق بأداء الضوضاء. ومع رسالة من نغمة واحدة، النتيجة القياسية هي أن نسبة الإشارة إلى الضوضاء في خرج مستقبِل FM واسع النطاق تتفوّق على AM بعامل 3β²:
قُل ما الذي أبقيتَه ثابتًا، وإلّا فلا معنى للصيغة. نسبة الضوضاء لا تُعرَّف إلا بعد أن تقول بأي شيء قِيست، ولهذه النسبة ثلاثة أركان. (1) يستقبل النظامان القدرة نفسها — فتفوّق FM مشترى بعرض النطاق لا بالواطات. (2) يحمل النظامان عرض الرسالة نفسه W = fm، والضوضاء مُسنَدة إلى نطاق الرسالة لا إلى قناة الترددات الراديوية. (3) ويُؤخذ AM حالةً مثالية لا تكسب ولا تخسر عند الكشف، فيكون خرجه هو نسبة الحاملة إلى الضوضاء في قناته بعرض 2fm، أي SR/(2N0W).
وعلى هذا الأساس يكون عامل الجدارة المعروف في الكتب لـ FM المُضمَّن بنغمة واحدة — نسبة الإشارة إلى الضوضاء في الخرج مقسومةً على نسبة القياس في النطاق الأساسي γ = SR/(N0W) — هو (3/2)β²، بينما مرجع AM أعلاه هو γ/2. وقسمة الأول على الثاني تعطي (3/2)β² ÷ (1/2) = 3β². انظر Haykin, Communication Systems, 4th ed., ch. 2 («Noise in CW modulation systems»)، أو Proakis & Salehi, Communication Systems Engineering, 2nd ed., ch. 6، لاشتقاق عامل الجدارة.
ولماذا ترى أيضًا 3β²(1 + β)؟ لأنها النتيجة نفسها مع إسناد الضوضاء إلى عرض نطاق كارسون الخاص بـ FM، أي 2fm(1 + β)، بدلًا من نطاق الرسالة — وهو أوسع بمقدار العامل (1 + β) بالضبط، أي بمقدار توسّع النطاق. فلا الصيغة الأولى خطأ ولا الثانية؛ الخطأ هو ذكر إحداهما بلا أساس المقارنة. وهذه الدورة تُسنِد الضوضاء دائمًا إلى نطاق الرسالة، فـ3β² هي الصيغة المستخدمة في كل الوحدة الرابعة. ولاحظ أن 3β² هي القول المتحفّظ: فمقابل AM حقيقي بغلاف مُضمَّن بنسبة 100%، وعامل جدارته m²/(2 + m²) = 1/3 (المحور الثالث في M4-L4)، تكون النسبة 4.5β²، أي 20.5 ديسيبل عند β = 5.
عامل التحسين 3β² هذا هو السبب وراء صوت راديو FM الأنظف بكثير من AM، رغم استخدامه لعرض نطاق أكبر. لبث FM مع β = 5: تحسين SNR = 3 × 25 = 75 (≈ 18.75 ديسيبل أفضل من AM).
عملياً، ضوضاء FM ليست مستوية — تزيد مع التردد (طيف ضوضاء FM له شكل مكافئ). الترددات الصوتية العالية تعاني ضوضاء أكثر من المنخفضة. للتعويض: