مبرهنة سعة القناة لشانون

بنت الوحدة 5 سلّماً من المخطّطات لحشو مزيد من البتات في كل رمز — وكلّ درجة كلّفت هامش ضوضاء. وهذا يطرح السؤال الذي يتسلّق السلّم كلّه نحوه: لقناةٍ معطاة، كم بتّاً في الثانية يمكن إرساله، بأي مخطّط كان؟ في 1948 أجاب كلود شانون بدقّة، والجواب — معادلةٌ واحدة قصيرة — أسّس حقل نظرية المعلومات بأكمله. إنه يضع سقفاً صارماً لا يتجاوزه أي تضمين أو ترميز مهما بلغ ذكاؤه.

المعادلة

تعطي مبرهنة سعة شانون سعة القناة C — أقصى معدّل يمكن به إرسال المعلومات بخطأ صغير كما نشاء — لقناةٍ عرض نطاقها B تفسدها ضوضاء غاوسية بيضاء مضافة:

ماذا يعني كل متغيّر

• C — سقف البتات الخالية من الخطأ في الثانية. ليس معدّلاً تبلغه تلقائيّاً؛ بل معدّلٌ لا تتجاوزه.
• B — عرض القناة بالهرتز. قناةٌ أعرض، سعةٌ أكبر، بتناسبٍ مباشر.
• SNR — قدرة الإشارة مقسومةً على قدرة الضوضاء (الوحدة 9)، كنسبة خطّية. تدخل عبر لوغاريتم، فأثرها أضعف بكثير من أثر عرض النطاق.

أمثلة محلولة

المعادلة سريعة التطبيق. من الحالات الكلاسيكية خطُّ الهاتف القديم: نحو 3.1 كيلوهرتز من النطاق عند قرابة 30 ديسيبل SNR (نسبة 1000)، فتعطي C = 3100 × log₂(1001) ≈ 30.9 كيلوبت/ث — وهذا بالضبط سبب توقّف مودمات الطلب الهاتفي قرب 33.6 كيلوبت/ث. أما القنوات الحديثة فأعرض وأنظف:

لاحظ صفّ الفضاء السحيق: حتى حين تتساوى الإشارة والضوضاء (0 ديسيبل)، ما زالت القناة تحمل بتّاً واحداً في الثانية لكل هرتز. لا تهبط السعة إلى الصفر حتى تهبط الإشارة نفسها.

مقبضان، بعائدين مختلفين جدّاً

توجد طريقتان فقط لرفع C، وهما غير متساويتين:

• عرض النطاق خطّي. ضاعِف B فتضاعف C. لهذا يطارد كل جيل من اللاسلكي قنواتٍ أعرض — 20 ← 40 ← 80 ← 160 ميغاهرتز في WiFi، والقفزة إلى الموجات المليمترية في 5G لكسب غيغاهرتز من النطاق.
• SNR لوغاريتمي. داخل اللوغاريتم، فعائداته تتناقص بحدّة. فما إن تكبر SNR، حتى تضيف مضاعفةُ قدرة الإشارة (كسب 3 ديسيبل) نحو B بتّاً إضافيّاً في الثانية فقط — بتٌّ واحد إضافي لكل رمز. ولمضاعفة المعدّل بالقدرة وحدها عليك تقريباً تربيع SNR.

يعرّف هذا الانقسام نظامين. حين يشحّ النطاق وتعلو SNR، تكون محدوداً بالنطاق فتلجأ إلى QAM أعلى رتبة (الوحدة 5). وحين تشحّ القدرة ويكثر النطاق — مسبار فضاء سحيق — تكون محدوداً بالقدرة فتنشر الإشارة على نطاق أوسع بدلاً من ذلك.

لماذا لا يمكنك تجاوزه

أثبت شانون شقّين. يقول شقّ القابلية للتحقيق إن لأي معدّل أقلّ من C توجد شيفرةٌ تدفع معدّل الخطأ قريباً من الصفر كما تشاء — مع ما يكفي من الترميز والتأخير. ويقول شقّ العكسية إنه فوق C لا تستطيع أي شيفرة منع معدّل الخطأ من الارتفاع؛ فتصير الأخطاء حتميّة. ومعاً يجعلان C جداراً حقيقيّاً، لا مجرّد أفضل ما توصّل إليه أحد. أما ما لم يفعله شانون فهو إخبارنا كيف نبني الشيفرات — بل فقط أنها موجودة.

الأرضية القصوى: −1.59 ديسيبل

ادفع منطق المحدودية بالنطاق إلى أقصاه. لو كان النطاق غير محدود حقّاً، فكم من الطاقة لكل بت يستطيع الرابط أن يعيش عليها؟ أخذُ B → ∞ في المبرهنة يعطي أرضيةً صارمة لنسبة الطاقة لكل بت إلى الضوضاء:

الاقتراب من الحدّ — الشيفرات الحديثة

خمسين عاماً بقي سقف شانون فوق ما تبلغه الأنظمة الحقيقية بكثير. ثم أغلقت عائلتان من شيفرات تصحيح الأخطاء الفجوة كلّها تقريباً. تقترب شيفرات تيربو (1993) وشيفرات LDPC (اخترعها غالاغر في 1962، ثم نُسيت، ثم أُعيد اكتشافها في التسعينيات) من السعة إلى جزءٍ من الديسيبل باستعمال كتل طويلة وفكٍّ تكراري. وهي الآن في كل مكان: LDPC في WiFi وDVB-S2 وقنوات بيانات 5G؛ وتيربو في 3G و4G LTE؛ وشيفرات بولار (2009)، أول شيفرات مُثبَتٌ بلوغها السعة، في قنوات تحكّم 5G. أخبرنا شانون بوجود الجدار عام 1948؛ واستغرق بناءُ شيفراتٍ تضغط عليه حتى العقد الأول من الألفية.