مقايضات — عرض النطاق مقابل القدرة مقابل معدّل الخطأ | WRL-101

أعطاك كل درس في هذه الوحدة رافعةً، وكانت لكل رافعةٍ بطاقة سعر. وقد آن أن نضعها كلّها على منصّةٍ واحدة. للرابط الراديوي ثلاث عملات بالضبط — عرض النطاق، والقدرة، ومعدّل الخطأ الذي ترضى بتحمّله — والصياغة الصادقة للمسألة الهندسية هي أنك تستطيع تحسين أيّ اثنتين منها بإنفاق الثالثة. لا أحد يحصل على الثلاث مجاناً، والمصمّم الذي يزعم غير ذلك قد أخفى الكلفة في مكانٍ لم تنظر إليه بعد.

مثلّث الاتصالات

ضَع العملات الثلاث على رؤوس مثلّث. تريد معدّل بيانات عالياً، وقدرة إرسالٍ منخفضة، ومعدّل خطأ بت يقارب الصفر. اختَر هدفاً لرأسين ولن يبقى الثالث ملكك لتختاره — فقد ضبطته الفيزياء سلفاً. تريد المعدّل نفسه بنصف القدرة؟ إذاً إمّا أن تشغل نطاقاً أوسع أو تقبل أخطاءً أكثر. تريد المعدّل نفسه في نصف النطاق؟ فادفع قدرةً، لأن كوكبةً أكثف تحتاج قناةً أنقى لتنجو.

سعة شانون من الدرس 6-1 هي الحكم، وتصبح أنفع كثيراً إذا كتبنا نسبة الإشارة إلى الضوضاء بتمامها. قدرة الضوضاء هي كثافتها N₀ مضروبةً في عرض النطاق الذي تشغله، أي SNR = P/(N₀B) — فيظهر عرض النطاق مرّتين وفي اتجاهين متضادّين:

السعة بدلالة القدرة وعرض النطاق

C = B \log_2\!\left(1 + \frac{P}{N_0 B}\right) \;\xrightarrow[\;B \to \infty\;]{}\; \frac{P}{N_0 \ln 2}

توسيعُ B يضاعف العامل الأمامي لكنه يقلّص SNR داخل اللوغاريتم، لأن مستقبِلاً أوسع يُدخل ضوضاءً أكثر. الضربُ يفوز، لكن بعوائد متضائلة بحدّة: فمع نموّ B بلا حدّ، ترتفع C إلى P/(N₀ ln 2) فقط. النطاق اللانهائي لا يشتري معدّلاً لانهائياً عند قدرةٍ ثابتة.

محدود بالنطاق أم محدود بالقدرة؟

قبل أن تضبط أي شيء، اسأل أيّ قيدٍ هو الفاعل حقاً، فالنظامان يجازيان حركتين متعاكستين. الرابط المحدود بالنطاق عنده إشارة وافرة وطيفٌ قليل؛ والرابط المحدود بالقدرة عنده طيفٌ فائض وإشارةٌ غير كافية. والخطّ الفاصل المتعارف عليه هو كفاءة طيفية تقارب 2 b/s/Hz — فما دونه غالباً نقصُ قدرة، وما فوقه نقصُ هرتزات.

النظام	القيد الفاعل	η النموذجية	ما يفيد فعلاً	أمثلة
محدود بالقدرة	طاقة الإشارة المستقبَلة	< 2 b/s/Hz	تضمين أدنى رتبة، معدّل ترميز أخفض، نطاق أوسع، هوائيات أكبر	مسابر الفضاء العميق، وصلات الأقمار الصاعدة، NB-IoT
محدود بالنطاق	الطيف المرخّص والتداخل	> 2 b/s/Hz	تضمين أعلى رتبة، معدّل ترميز أعلى، انحدار أضيق، MIMO، خلايا أصغر	الخلوي الحضري، WiFi في شقّةٍ مزدحمة، الوصلات الميكروية

ويخبرك النظام أيضاً أيّ تحسينٍ يستحقّ الدفع. أضِف 6 ديسيبل من قدرة الإرسال إلى رابطٍ محدود بالنطاق فتكسب نحو بتّين إضافيّين لكل رمز — مفيد، لكنك ستستهلك الكوكبة عمّا قريب. أضِف 6 ديسيبل إلى رابطٍ محدود بالقدرة فقد تنتقل من «لا رابط إطلاقاً» إلى رابطٍ عامل. القدرُ نفسه من الديسيبلات، وقيمةٌ مختلفة اختلافاً هائلاً.

مقايضة القدرة بعرض النطاق

أنقى طريقة لرؤية مقايضة القدرة–النطاق هي تثبيت معدّل البت وترك عرض النطاق حرّاً. والطاقة لكل بت E_b = P/R_b هي العملة العادلة لمقارنة روابط تعمل بمعدّلات مختلفة؛ وإعادةُ كتابة شانون بدلالة E_b/N₀ والكفاءة الطيفية η = R_b/B تعطي السعر الدقيق لكل اختيارٍ لـη:

أدنى طاقة لكل بت

\frac{E_b}{N_0} \;\ge\; \frac{2^{\eta} - 1}{\eta}, \qquad \eta = \frac{R_b}{B}

هذا هو أدنى E_b/N₀ مطلقاً للاتصال الموثوق عند أي معدّل. وهو دالةٌ متناقصة في η وحدها: وزِّع البتات نفسها على هرتزاتٍ أكثر فتحتاج كل بتّةٍ طاقةً أقلّ. وعندما η → 0 يقترب المقدار من ln 2 = 0.693، أي حدّ شانون عند −1.59 ديسيبل من الدرس 6-1.

η المستهدفة	النطاق لـ1 ميغابت/ث	أدنى E_b/N₀	أدنى SNR = η · E_b/N₀
→ 0 (نطاق لانهائي)	—	−1.59 ديسيبل	—
0.5 b/s/Hz	2 ميغاهرتز	−0.82 ديسيبل	−3.83 ديسيبل
1 b/s/Hz	1 ميغاهرتز	0.00 ديسيبل	0.00 ديسيبل
2 b/s/Hz	500 كيلوهرتز	1.76 ديسيبل	4.77 ديسيبل
4 b/s/Hz	250 كيلوهرتز	5.74 ديسيبل	11.76 ديسيبل
6 b/s/Hz	167 كيلوهرتز	10.21 ديسيبل	17.99 ديسيبل
8 b/s/Hz	125 كيلوهرتز	15.03 ديسيبل	24.07 ديسيبل

اقرأ الجدول كقائمة أسعار. تنصيفُ نطاق رابطٍ بمعدّل 1 ميغابت/ث من 500 إلى 250 كيلوهرتز — أي مضاعفة η من 2 إلى 4 — يكلّف 5.74 − 1.76 = 3.98 ديسيبل إضافية من الطاقة لكل بت، ومضاعفتها مرّةً أخرى إلى 8 b/s/Hz تكلّف 9.29 ديسيبل أخرى. عصرُ الطيف يزداد غلاءً باطّراد، ولهذا بالضبط تُحفظ قمّة سلّم التضمين للمستخدمين الواقفين قريباً من المرسِل.

مقايضة القدرة بمعدّل الخطأ

ثبّت عرض النطاق والتضمين فلا يبقى إلا مقبض القدرة الخام. ينخفض معدّل خطأ البت انخفاضاً حادّاً جدّاً مع SNR — ففي حالة الضوضاء الغاوسية تحكمه دالة Q، فقُرب نقطة التشغيل يمكن لديسيبل واحد إضافي أن يحسّن BER بنحو رتبةٍ عشرية. وهذا الانحدار خصلةٌ ذات حدّين: فرابطٌ يحقّق 10⁻⁶ بارتياح سيحقّق 10⁻⁹ بقدرةٍ إضافية زهيدة، لكن رابطاً يقصّر عن هدفه بديسيبلين ليس أسوأ قليلاً — بل هو معطّل.

والنصف الآخر من الصورة هو كلفة الكثافة، التي قدّمها الدرس 5-3 على أنها نحو 6 ديسيبل من SNR لكل بتّين إضافيّين في الرمز. وهذا هو السلّم محسوباً بدقّة، لـQAM المربّعة غير المرمَّزة عند معدّل خطأ بت 10⁻⁶ مع ترميز غراي:

التضمين	بت/رمز	SNR لـBER 10⁻⁶	الخطوة في SNR	E_b/N₀ المطلوبة
QPSK	2	13.5 ديسيبل	—	10.5 ديسيبل
16-QAM	4	20.4 ديسيبل	+6.9 ديسيبل	14.4 ديسيبل
64-QAM	6	26.6 ديسيبل	+6.1 ديسيبل	18.8 ديسيبل
256-QAM	8	32.5 ديسيبل	+6.0 ديسيبل	23.5 ديسيبل

لاحظ أن عمود SNR يصعد بخطواتٍ من نحو 6 ديسيبل بينما يصعد عمود E_b/N₀ بخطواتٍ ألطف تقارب 4 ديسيبل. والعمودان صحيحان، والفرق ليس أثراً للتقريب: فكل درجةٍ تحمل بتّين إضافيّين في الرمز، فيُسترَدّ جزءٌ من طاقة الرمز الزائدة بفضل البتات الزائدة التي تسلّمها. ولهذا بعينه يجب أن تذكر دائماً أيّ نسبةٍ تقتبس — لكل رمز أم لكل بت.

شراء معدّل الخطأ بعرض النطاق: كسب الترميز

كانت القدرة حتى الآن العملة الوحيدة لشراء معدّل خطأ أخفض. ويمنحك الترميز عملةً ثانية. فشِفرةُ تصحيح خطأ بمعدّل R_c ترسل 1/R_c من بتات القناة لكل بتّة بيانات، فتوسّع عند معدّل بياناتٍ ثابت معدّلَ الرمز — وبالتالي عرض النطاق المشغول — بالعامل نفسه:

الفائض يكلّف نطاقاً

B_{\text{coded}} = \frac{B_{\text{uncoded}}}{R_c}

شِفرةٌ بمعدّل 1/2 تضاعف النطاق اللازم للحمولة نفسها؛ وشِفرةٌ بمعدّل 3/4 تضيف 33%. وفي المقابل تسلّم كسب الترميز: أي الديسيبلات من قدرة الإرسال التي لم تعد تحتاجها لبلوغ BER نفسه. وتُعيد شِفرات LDPC والتوربو الحديثة (الدرس 6-1) عدّة ديسيبلات — غالباً 5 إلى 8 عند BER مستهدف 10⁻⁶ — مقابل ذلك النطاق.

هذا هو مثلّث المقايضة في أصفى صوره: يحوّل الترميز عرض النطاق إلى أداءٍ في معدّل الخطأ دون أن يمسّ مكبّر القدرة. وهو يعيد صياغة مسألة التضمين والترميز كلّها، لأن الرافعتين قد تُلغي إحداهما الأخرى. فالانتقال من QPSK إلى 16-QAM يضاعف البتات لكل رمز — ثم إن إنفاق نصف ذلك الكسب على شِفرةٍ أقوى يعيد معظم SNR الذي طلبته للتوّ. فالاقتران المهمّ ليس التضمين وحده أبداً؛ إنه التضمين مع معدّل الترميز معاً، ولهذا تُصدر المعايير الحقيقية الاثنين كخيارٍ مفهرسٍ واحد.

حيث تتخفّى العملة الرابعة. للمثلّث ثلاثة رؤوس مسمّاة ورأسٌ رابع بلا اسم: التأخير. فإعادة الإرسال تشتري موثوقيةً بزمن الوصول، والمشجّر يشتري حمايةً من الرشقات بتأخير التخزين، وكلمةُ LDPC الطويلة تشتري كسب ترميزٍ بتأخير فكّ الترميز. وهذا في نقل الملفات صفقةٌ رابحة. أمّا في مكالمةٍ صوتية أو حلقة تحكّمٍ أو تحذيرٍ بين مركبتين، فالتأخير أضيق قيدٍ في القائمة — وحينها تعود إلى الدفع بالقدرة وعرض النطاق.

التضمين والترميز المتكيّفان

كانت كل مقايضةٍ حتى الآن قراراً يُتّخذ وقت التصميم. لكن القناة المتنقّلة ليست شيئاً ثابتاً: حرّك هاتفاً عبر غرفةٍ وقد تتأرجح نسبة الإشارة إلى الضوضاء عنده 20 ديسيبل أو أكثر. صمّم للحالة الأسوأ فيُخفَّض كل مستخدمٍ في ظروفٍ جيّدة إلى سرعات حافة الخلية؛ وصمّم للحالة الأفضل فيخسر الآخرون الرابط تماماً. ويرفض التضمين والترميز المتكيّفان (AMC) هذا الاختيار بجعل المقايضة قراراً يُتّخذ وقت التشغيل، ويُعاد تقييمه على الدوام.

للحلقة ثلاث خطوات. قِس جودة القناة؛ وابحث عن أكثف مخطّط تضمينٍ وترميزٍ تدعم القناةُ حالياً نسبةَ الإشارة إلى الضوضاء التي يطلبها، ناقصاً هامش سلامة؛ وأرسِل به حتى القياس التالي. فيتتبّع الخرج الظروف بدلاً من أن يُجمَّد عند الحالة الأسوأ، وتقترب الكفاءة الطيفية الوسطى للخلية كثيراً من قمّتها:

قاعدة اختيار AMC

m^{\star} = \max\left\{\, m \;:\; \mathrm{SNR}_{\text{req}}(m) \le \widehat{\mathrm{SNR}} - \Delta \,\right\}

اختَر المخطّط m الأعلى خرجاً الذي تدخل نسبةُ الإشارة إلى الضوضاء التي يطلبها داخل النسبة المقيسة ناقص الهامش Δ. يستوعب الهامشُ خطأ القياس وانزياحَ القناة بين القياس والإرسال — ولهذا يعمل AMC بإتقانٍ لمارٍّ على قدميه ويتعثّر عند 300 كم/س، حيث يتقادم التقدير قبل أن يُستعمل.

تكيّف الوصلة في LTE

إن LTE هو التطبيق المدرسي. يقيس الهاتف إشارات المرجع في الوصلة الهابطة ويبلّغ عن CQI (مؤشّر جودة القناة) — فهرسٌ بأربع بتات من 1 إلى 15 — بتواترٍ يبلغ مرّةً كل إطارٍ فرعي مدّته 1 ميلّي ثانية. ويجمع مجدوِل المحطّة القاعدية ذلك التقرير مع ما يعرفه عن امتلاء المخازن والعدل، ثم يختار فهرس MCS (مخطّط التضمين والترميز) للإرسال التالي. ويصعد السلّم عبر QPSK، ثم 16-QAM، ثم 64-QAM، مع إضافة 256-QAM في LTE-Advanced Pro وحملها إلى 5G NR.

فهرس CQI	التضمين	معدّل الترميز	الكفاءة (b/s/Hz)	أين أنت
1	QPSK	0.076	0.15	حافة الخلية وخبوٌّ عميق — كلّه فائضٌ تقريباً
6	QPSK	0.59	1.18	تغطيةٌ ضعيفة لكنها عاملة
9	16-QAM	0.60	2.41	وسط الخلية، عند حدّ النظامين
13	64-QAM	0.75	4.52	ظروفٌ جيّدة، قرب مركز الخلية
15	64-QAM	0.93	5.55	SNR ممتازة — لم يبقَ ترميزٌ يُذكر

وفي ذلك الجدول أمران يستحقّان الانتباه. الفارق من CQI 1 إلى CQI 15 هو عاملُ 36 تقريباً في الخرج على عرض النطاق نفسه، وهذا هو مجملُ ما يقدّمه AMC. ثم إن معدّل الترميز ورتبة التضمين يرتفعان معاً بتحسّن الظروف، فتُنفَق نسبةُ الإشارة إلى الضوضاء الزائدة على العملتين في وقتٍ واحد بدلاً من استنفاد إحداهما أولاً.

HARQ: شبكة الأمان تحت السلّم

يستهدف AMC عالياً بتقصّد. يرمي LTE إلى نحو 10% من معدّل خطأ الكتلة في الإرسال الأول، لأن مخطّطاً لا يفشل أبداً يترك خرجاً غير مُحصَّل. والذي يجعل هذه الجسارة آمنةً هو الطلب التلقائي الهجين للإعادة (HARQ): فالكتلة الفاشلة لا تُطرَح بل يُعاد إرسالها بتكافؤٍ إضافي، ويدمج المستقبِل المحاولتين، فتصل المحاولة الثانية عملياً بمعدّل ترميزٍ أخفض. فـAMC هو التخمين السريع المتفائل، وHARQ هو التصحيح الرخيص عندما يخيب التخمين — وثمن ذلك التصحيح تأخيرٌ، أي العملة الرابعة من جديد.

القيد المسيطر هو ما يحدّد التصميم

لا توجد نقطةٌ أفضل عالمياً في المثلّث، ولهذا ليست هندسة اللاسلكي مسألةً محلولةً بجدول بحث. ما يفعله التصميم الجيّد هو أن يعيّن القيد الفاعل بصدق ثم ينفق العملتين الأخريين بسخاءٍ في مواجهته:

الأقمار والفضاء العميق — محدودة بالقدرة. عرض النطاق رخيصٌ نسبياً والإشارة المستقبَلة تُقاس بأجزاءٍ من البيكوواط، فتعمل هذه الروابط بتضمينٍ منخفض الرتبة ومعدّلات ترميزٍ شديدة الانخفاض وهوائيات ضخمة وكل ديسيبلٍ من كسب الترميز موجود.
الخلوي الحضري — محدود بالنطاق والتداخل. الطيف بيع بالمزاد بمليارات والخلايا المجاورة هي أرضية الضوضاء الحقيقية، فيذهب المال إلى التضمين عالي الرتبة وAMC وMIMO وخلايا أصغر تعيد استخدام الهرتزات نفسها مرّاتٍ أكثر.
حسّاسات إنترنت الأشياء — محدودة بالقدرة والكلفة. عقدٌ من العمل على خليّةٍ قرصية واحدة يمنع المكبّر الكبير والمستقبِل الغالي معاً، فتستعمل هذه الروابط قنواتٍ ضيّقة وتضميناً متيناً منخفض المعدّل والتكرار بدلاً من المعادلة الذكية.
الروابط الداخلية قصيرة المدى — لا هذا ولا ذاك، مؤقّتاً. مع جيغاهرتزات من الطيف غير المرخّص وأمتارٍ من المدى، تكون القدرة والنطاق وافرين، ويصبح القيدان الفاعلان تداخلَ الجيران وكلفةَ الراديو نفسه.

أبرز النقاط

مثلّث الاتصالات هو عرض النطاق والقدرة ومعدّل الخطأ: حسّن أيّ اثنين بإنفاق الثالث. وشانون هو من يضع سعر الصرف.
كتابةُ SNR على صورة P/(N₀B) تُظهر عرض النطاق يقطع في الاتجاهين — وتُظهر السعة تتشبّع عند P/(N₀ ln 2) مع نموّ B.
E_b/N₀ ≥ (2^η − 1)/η: عصرُ النطاق يكلّف طاقةً لكل بت — 3.98 ديسيبل للانتقال من 2 إلى 4 b/s/Hz، و9.29 ديسيبل أخرى لبلوغ 8.
اسأل أولاً هل الرابط محدود بالقدرة (η < 2 b/s/Hz) أم محدود بالنطاق (η > 2)؛ فالنظامان يجازيان حركتين متعاكستين.
كسب الترميز يشتري أداء معدّل الخطأ بعرض النطاق لا بالقدرة — ولهذا يُختار التضمين ومعدّل الترميز دائماً كزوج.
AMC يجعل المقايضة قراراً وقت التشغيل: يبلّغ LTE عن CQI كل 1 ميلّي ثانية ويصعد QPSK → 16-QAM → 64-QAM → 256-QAM، بمدى خرجٍ يقارب 36 ضعفاً، مع إعادة الإرسال بـHARQ كشبكة أمان.

اكتملت الوحدة 6. بهذا تُغلَق الوحدة 6: عرض النطاق ومعدّل البيانات — سقف شانون، ومعدّل الرمز لنايكويست، والكفاءة الطيفية، والمقايضة الثلاثية التي عملتَ عليها للتوّ. وتالياً تنتقل الوحدة 7 إلى العتاد الذي يطلق الإشارة فعلاً: الهوائيات.

السابق: الكفاءة الطيفية نظرة عامة التالي: كيف تُشعّ الهوائيات وتستقبل