أعطاك الدرس السابق ثلاث آليّات — الانعكاس والانعطاف والتبديد — وانتهى مشيراً إلى النتيجة التي لم يتّسع لها. فإن كانت كل واحدةٍ من تلك الآليّات تسلّم نسخةً من إشارتك بطريقٍ مختلف، فالمستقبِل لا يتلقّى إشارةً واحدة. بل يتلقّى حُزمةً منها، أو مئةً، كلٌّ متأخّرةٌ بمقدارٍ مختلف، وموهَنةٌ بقدرٍ مختلف، وواصلةٌ بطورها الخاصّ. وهي تتجمع. فتتجمع أحياناً إلى قمّةٍ وأحياناً إلى ما يقارب العدم، والفرق بين النتيجتين قد يكون أربعين ديسيبلاً ونصف خطوةٍ من القَدَم. وهذا الدرس عن إحصاء ذلك المجموع: ما يفعله المستوى المستقبَل عبر الزمن وعبر التردّد وعبر الموضع، وأي أربعة أرقامٍ يحتاجها المهندس للتنبّؤ به.
اكتب ما يراه المستقبِل فعلاً. فالمرسِل يبعث شكل موجةٍ واحداً؛ والقناة تسلّم مجموع نسخٍ منه مقيسةً ومتأخّرة. وقد اكتسبت كل نسخةٍ سِعةً ai، وتأخيراً τi، وإزاحة طورٍ θi لأن التأخير عند تردّد الحامل هو طور. ولا فيزياء جديدة هنا — بل هو بالضبط التطابق الخطّي الذي لقيته في الدرس M2-L3، مطبَّقاً على مجموعةٍ من النسخ لا على رنّانين:
خُذ أصغر حالةٍ مثيرة: نسختان متساويتا السِعة. فإن وصلتا على الطور تضاعف المجال، ومضاعفةُ مجالٍ تُربّع قدرةً أربع مرّات، فتكون القدرة المستقبَلة 10 log₁₀(4) = +6.0 ديسيبل بالنسبة إلى نسخةٍ واحدة وحدها (الدرس M2-L4 للديسيبل، ولاحظ أن هذه نسبة سِعةٍ بـ20 log₁₀ معبَّراً عنها كنسبة قدرة). وإن وصلتا بطورٍ معاكس كان المجال 1 − 1 = 0 وكانت القدرة المستقبَلة، من حيث المبدأ، صفراً — صفراً لا نهائي العمق. والأصفار الحقيقية منتهية لأن السِعتين لا تتساويان تماماً أبداً، لكن أصفاراً بعمق 30 ديسيبل شيءٌ عاديٌّ تماماً.
والذي يقلب إحداهما إلى الأخرى هو تغيّرٌ بنصف طول موجةٍ في طول المسار الفارقي، لأن نصف طول الموجة هو 180° من طور الحامل. وعند 2 غيغاهرتز يكون طول الموجة λ = 3×10⁸/2×10⁹ = 0.15 م، فيكون λ/2 هو 7.5 سم. وهذا الرقم وحده يفسّر كثيراً من الخبرة اليومية: فهاتفٌ يُحرَّك بضعة سنتيمترات على مكتبٍ يتغيّر استقباله، لأن بضعة سنتيمترات من الحركة قد تغيّر مساراً منعكساً بالسنتيمترات المعدودة اللازمة لتأرجح ذلك المتّجه الطَوري من الجمع إلى الطرح. فنمط الخبوت مجالٌ موقوف الموجة في الغرفة، وأنت تمشي فيه.
الخبوت ليس وهناً. فآليّات الدرس M8-L2 تسحب طاقةً من المسار المباشر مرّةً واحدة إلى الأبد؛ أمّا الخبوت فيعيد توزيع الواصل، لحظةً بلحظة وقناةً بقناة، حول متوسّطٍ سبق أن حدّده فقد المسار. ولهذا هما بندان منفصلان في موازنة الوصلة: فقد المسار يضبط المتوسّط، والخبوت يُلزمك أن تحفظ هامشاً فوق المتوسّط لتبقى اللحظات العميقة قابلة لفكّ الترميز.
افترض أن لا خطّ بصر إطلاقاً — هاتفٌ داخل مبنى، أو سيّارةٌ في شارعٍ من الأبراج — فتكون كل نسخةٍ واصلةٍ نسخةً مبدَّدة ولا واحدة منها أكبر من غيرها بكثير. فيكون الجزء الطَوري والجزء التربيعي من المجموع كلٌّ منهما حصيلة مساهماتٍ صغيرةٍ مستقلّةٍ كثيرة، فتنطبق نظرية الحدّ المركزي على كليهما، ويتبيّن أن غلاف المجموع يتبع توزيع رايلي. وتوزيعه التجميعي ودودٌ إلى حدٍّ غير معتاد:
عوّض واحسب. فلخبوتٍ بعمق 10 ديسيبل يكون 10−1 = 0.1، فيكون P = 1 − e−0.1 = 1 − 0.9048 = 0.0952، أي 9.5% من الوقت. ولـ20 ديسيبل يكون 10−2 = 0.01 وP = 1 − e−0.01 = 1 − 0.99005 = 0.00995، أي 1.0%. ولـ30 ديسيبل يكون 10−3 = 0.001 وP = 1 − e−0.001 = 0.0009995، أي 0.10%:
| عمق الخبوت دون متوسّط القدرة | 10−x/10 | P = 1 − exp(−10−x/10) | بالكلام |
|---|---|---|---|
| 3 ديسيبل | 0.5012 | 0.394 | 39% من الوقت — فقناة رايلي دون متوسّطها هي في معظم الوقت |
| 10 ديسيبل | 0.1 | 0.0952 | 9.5%، أي نحو لحظةٍ من كل عشر |
| 20 ديسيبل | 0.01 | 0.00995 | 1.0%، أي نحو لحظةٍ من كل مئة |
| 30 ديسيبل | 0.001 | 0.0009995 | 0.10%، أي نحو لحظةٍ من كل ألف |
انظر إلى العمود الأوسط فيسقط النمط في يدك: فللوسائط الصغيرة 1 − e−ε ≈ ε، فيكون احتمال الخبوت بعد نحو 10 ديسيبل هو ببساطة 10−x/10 — فكل 10 ديسيبل إضافية من العمق أندر عشر مرّات. وهذه هي القاعدة التقريبية التي يقتبسها المهندسون فعلاً، وقد صرت تعرف من أين جاءت وأين تكفّ عن الدقّة: فعند 3 ديسيبل يتنبّأ التقريب بـ50% والجواب الصحيح 39%.
ولاحظ أيضاً ما يقوله لك سطر الـ3 ديسيبل. فقناة رايلي تقضي معظم عمرها دون متوسّط قدرتها، لأن المتوسّط تجرّه صعوداً قممٌ بنّاءةٌ نادرة. فالتصميم على متوسّط القدرة المستقبَلة ليس خياراً متحفّظاً بل خيارٌ متفائل، وهذا اللاتناظر هو كل سبب وجود هوامش الخبوت.
دع المستقبِل الآن يرى المرسِل. فمُركِّبةٌ واحدة — الشعاع المباشر، أو انعكاسٌ مرآويٌّ قويٌّ واحد — صارت الآن أكبر بكثيرٍ من أي مبدِّدٍ منفرد، فيصير المجموع المتّجهي متّجهاً ثابتاً كبيراً يترجرج على طرفه متّجهٌ عشوائيٌّ صغير. فيتبع الغلاف توزيع رايس، والوسيط الوحيد المهمّ هو النسبة بين الاثنين، أي عامل K:
والحدّان هما الدرسان على جانبَي هذه الفقرة. دع القدرة المبدَّدة تذهب إلى الصفر فيصير K → ∞: فهناك مسارٌ واحد، ولا شيء يتقلّب، وقد رجعت إلى الفضاء الحرّ في الدرس M8-L1. ودع المُركِّبة المهيمنة تذهب إلى الصفر فيكون K = 0، أي −∞ ديسيبل: فيُختزل توزيع رايس بالضبط إلى توزيع رايلي في القسم السابق. فرايلي ليس نموذجاً مختلفاً؛ بل هو رايس بعد حذف الحدّ المثير. وبين الحدّين، يخبرك K كم من القدرة المستقبَلة جديرٌ بالثقة:
| K | حظّ المسار المهيمن K/(K+1) | احتمال خبوتٍ > 10 ديسيبل | نموذجي في |
|---|---|---|---|
| −∞ ديسيبل (K = 0) | 0% | 9.5% | رايلي: حضريٌّ كثيف بلا خطّ بصر، وداخل مبنى بعد منعطف |
| 0 ديسيبل (K = 1) | 50% | 7.3% | مسارٌ مباشر ضعيف أو محتجَبٌ جزئياً |
| 5 ديسيبل (K = 3.16) | 76% | 2.5% | خطّ بصرٍ داخلي، في الغرفة نفسها، مكتبٌ صغير |
| 10 ديسيبل (K = 10) | 90.9% | 0.07% | خطّ بصرٍ داخليٍّ جيّد أو خارجيٍّ قصير |
| 15–20 ديسيبل وما فوق | 97–99% | مهمَل | خطّ بصرٍ ريفيٍّ مفتوح، أو رابطٌ ميكرويٌّ ثابتٌ على سارية |
اقرأ العمود الثالث عرضاً فتظهر النتيجة التصميمية صارخة. فالانتقال من رايلي إلى K = 5 ديسيبل المتوسّط الحال يقصّ تواتر الخبوت بعمق 10 ديسيبل من 9.5% إلى 2.5% — أي نحو أربعة أمثال — وبلوغُ K = 10 ديسيبل يقصّه أكثر من مئة مرّة. ولهذا يُوجَّه الرابط الثابت إلى خطّ بصرٍ خالٍ ويُثبَّت بالبراغي، ولهذا يحتاج الراديو نفسه إلى 20 ديسيبل من الهامش على هاتفٍ متنقّل ولا يكاد يحتاج شيئاً على طبقٍ على سطح. فعامل K، لا قدرة الإرسال، هو ما يشتري الموثوقيّة.
إلى هنا لم تختلف النسخ إلا في الطور. وهي تختلف أيضاً في زمن الوصول، وذلك يفتح طريقاً ثانياً مستقلّاً لتؤذيك القناة. اجمع تأخيرات الوصول وقدراتها فتستطيع تلخيص الانتشار كلّه برقمٍ واحد: انتشار التأخير الجذر-متوسّطي στ، أي الانحراف المعياري للتأخيرات مرجَّحاً بالقدرة. وهو صغيرٌ داخل المباني حيث تكون المسارات الزائدة أمتاراً، وكبيرٌ في الخارج حيث تكون مئات الأمتار.
ولماذا يهمّ؟ لأن مُركِّبتين تردّديتين مفصولتين بما يكفي ستشهدان مجموعَي تعدّد مسارٍ مختلفين — فالتأخير τ يدوّر مُركِّبةً عند f بمقدار 2πfτ، فتغيّرُ f يغيّر الأطوار النسبية ومن ثمّ المجموع كلّه. والفصل التردّدي الذي تبقى القناة عبره على حالها تقريباً هو عرض نطاق التجانس Bc، وهو عكسيّ التناسب مع انتشار التأخير:
تُظهر قناةٌ مكتبيّةٌ داخلية عادةً στ ≈ 50 نانوثانية. فيكون 5στ = 250 نانوثانية = 2.5×10−7 ثانية، وBc = 1/(2.5×10−7) = 4×10⁶ هرتز = 4 ميغاهرتز. وتُظهر قناة خليّةٍ حضريّةٍ كبيرة عادةً στ ≈ 1 µs. فيكون 5στ = 5 µs = 5×10−6 ثانية، وBc = 1/(5×10−6) = 2×10⁵ هرتز = 200 كيلوهرتز. عشرون ضعف انتشار التأخير، وواحد على عشرين من عرض نطاق التجانس، كما يقتضي المقلوب بالضبط.
اصطلاحان في دورةٍ واحدة، عن قصد. اقتبس الدرس M3-L4 عرض نطاق تجانسٍ في HF يقارب 160 هرتز من انتشار تأخيرٍ مقداره 1 ملّي ثانية، مستعملاً 1/(2πστ). وهذا الدرس يستعمل 1/(5στ)، الذي كان سيعطي 200 هرتز للملّي ثانية نفسها. والاثنان غير متعارضين ولا أحدهما خاطئ: فـ5 مقابل 2π نسبةٌ مقدارها 1.257، فيختلف الاصطلاحان بنحو 20% — وهو لا شيء أمام انتشارات تأخيرٍ تتفاوت بعشرين ضعفاً بين البيئات. فاذكر أي صورةٍ استعملت فيصير الرقم غير ملتبس؛ واقتبس «عرض نطاق تجانس» مجرّداً فلا يكون كذلك.
وازِن الآن عرض نطاق إشارتك بـBc فتفرز القناة نفسها في نظامين:
وتلك الشقوق في مجال الزمن هي الحقيقة نفسها منظوراً إليها بعينٍ أخرى: فإن كان انتشار التأخير كسراً معتبراً من دور الرمز، هبطت أصداء كل رمزٍ على أعقابه. وذلك هو تداخل الرموز، المشكلة التي طرحها الدرس M6-L2 وحلّها بترشيح نايكويست ونبضات جيب الجَيب المرتفع — إلا أن الدرس M6-L2 افترض أن مصدر تداخل الرموز الوحيد هو شكل النبضة، وهو ممّا يملكه المرسِل. أمّا تداخل الرموز من تعدّد المسار فتفرضه البيئة، ولا يزيله أي اختيارٍ لمُرشِّح الإرسال. والحساب وحشيٌّ سريع: في تلك القناة الحضرية حيث στ = 1 µs، رابطٌ بـ5 ميغا رمز/ثانية دور رمزه 1/5×10⁶ = 200 نانوثانية، فتنتشر أصداء الرمز الواحد على 1 µs / 200 نانوثانية = خمسة أدوار رمز.
وثمّة مخرج، وليس مُرشِّحاً أفضل. فإن كانت إشارةٌ عريضة تعاني لأنها أعرض من Bc، فاقسمها إلى حوامل فرعيّةٍ كثيرةٍ ضيّقة كلٌّ منها أضيق من Bc، فيرى كلٌّ منها خبوتاً مستوياً يبطله عددٌ مركّبٌ واحد. وذلك هو منطق OFDM، وهو موضوع الوحدة 10 لا موضوع هذا الدرس — لكنك صرت تعرف بالضبط أي مشكلةٍ اختُرع لحلّها، والرقمين، 4 ميغاهرتز و200 كيلوهرتز، اللذين يضبطان تباعد حوامله الفرعيّة.
أخبرك انتشار التأخير كيف تتغيّر القناة عبر التردّد. والحركة تخبرك كيف تتغيّر عبر الزمن. حرّك المستقبِل، أو المرسِل، أو حتى الشاحنة التي يرتدّ عنها أحد انعكاساتك، فيتغيّر كل طول مسارٍ بمعدّله الخاصّ، فيدور كل متّجهٍ طَوريٍّ بمعدّله الخاصّ. والمسار الذي يقصر طوله بسرعة v يرتفع تردّده بمقدار انزياح دوبلر:
خُذ حاملاً عند 2 غيغاهرتز حيث λ = 0.15 م. فعند 100 كم/س تكون السرعة 100 000/3600 = 27.8 م/ث، فيكون fd = 27.8 × 2×10⁹/3×10⁸ = 27.8 × 6.667 = 185 هرتز (وبالمثل v/λ = 27.8/0.15 = 185 هرتز، وهي الطريقة الأيسر ذهنيّاً). فيكون زمن التجانس Tc = 0.423/185 = 0.00228 ثانية = 2.3 ملّي ثانية. وامشِ الآن بدلاً من ذلك: 5 كم/س هي 1.39 م/ث، فيكون fd = 1.39 × 6.667 = 9.3 هرتز، وTc = 0.423/9.3 = 0.0457 ثانية = 46 ملّي ثانية. عشرون ضعف السرعة، وواحد على عشرين من زمن التجانس — وهو الشكل العكسيّ نفسه الذي بين انتشار التأخير وعرض نطاق التجانس، لأنه الرياضيات نفسها بعد تبادل الزمن والتردّد.
ولكلا الرقمين قراءةٌ ماديّة أيسرُ تصديقاً من الصيغة. فعند 2 غيغاهرتز يتكرّر نمط الخبوت في الفضاء كل نصف طول موجةٍ تقريباً، أي 7.5 سم، فماشٍ بسرعة 1.39 م/ث يعبر نحو 18 خبوتاً في الثانية وسيّارةٌ بسرعة 27.8 م/ث تعبر نحو 370. ولهذا يتدهور الاستقبال مشياً تدهوراً لطيفاً وينكسر في سيّارةٍ متحرّكةٍ نُوَباً.
وبوجود Tc في يدك يصير الفرق بين السريع والبطيء موازنةً واحدةً بدور الرمز Ts. فإن كان Ts > Tc تغيّرت القناة خلال الرمز: وذلك هو الخبوت السريع، وهو خبيثٌ حقّاً، لأن لا مستقبِل يستطيع تقدير قناةٍ لا تثبت ما يكفي لتُقاس. وإن كان Ts < Tc فالقناة ثابتةٌ فعليّاً عبر كل رمزٍ ولا تنزاح إلا بينها: وذاك هو الخبوت البطيء، وهو الذي تُصمَّم فيه كل الأنظمة العمليّة تقريباً لتعيش.
أدخِل رقم القيادة. فمع Tc = 2.28 ملّي ثانية يستلزم الخبوت السريع Ts > 2.28 ملّي ثانية، أي معدّل رمزٍ دون 1/0.00228 = 440 رمزاً في الثانية. ورابطٌ بميغا رمز/ثانية دور رمزه Ts = 1 µs، أي أقصر 2280 مرّةً من Tc، فهو راسخٌ في الخبوت البطيء حتى على سرعة الطريق السريع. فالخبوت السريع مشكلةُ الروابط بالغة انخفاض المعدّل، وتردّدات الحمل العالية جدّاً حيث يتضخّم fd مع fc، والطائرات والأقمار — لا مشكلة هاتفٍ في سيّارة.
وثمّة تمييزٌ أخير يهمّ أكثر ممّا يتوقّع الطلبة، لأن الأمرين كليهما يُسمّى «خبوتاً» في الغالب:
وهما يتراكبان: فالتظليل اللوغاريتمي الطبيعي يضبط المتوسّط الذي يتقلّب حوله بعد ذلك غلاف رايلي أو رايس. وإحصاء التظليل، وانحرافه المعياري بالديسيبل، ونموذج فقد المسار اللوغاريتمي مع المسافة الذي يتّصل به، كلّها شغل الدرس M8-L4، فيتوقّف هذا الدرس عند تسميته عن قصد.
لا يمكن إزالة الخبوت، بل المكر به فقط، وكل تقنيةٍ لذلك تستغلّ أن الخبوت العميق مصادفة — مجموعٌ بعينه، في مكانٍ بعينه، عند تردّدٍ بعينه، في لحظةٍ بعينها. غيّر أيّاً من هذه فمن غير المرجّح أن تتكرّر المصادفة. وهذه الفكرة وحدها تولّد صندوق الأدوات كلّه:
وحين لا يكفي شيءٌ من ذلك، تدفع الباقي قدرةً. فلا بدّ لموازنة الوصلة أن تضمّ هامش الخبوت: ديسيبلاتٌ محفوظةٌ احتياطاً، فوق المستوى الذي كان سيكفي وسَطاً، ليبقى الرابط حيّاً في الخبوتات التي سيلقاها إحصائيّاً يقيناً. وجدول رايلي أعلاه هو كيف يُختار ذلك الرقم — فإن احتملت انقطاعاً 1% من الوقت احتجت نحو 20 ديسيبل من الهامش على قناة رايلي، وإن احتملت 0.1% احتجت نحو 30. وما يفعله ذلك الهامش بمعدّل خطأ البتّ موضوع الوحدة 9، وكيف يُدخَل في الميزانية هو الدرس M9-L4.