بنوك الفلاتر والهياكل متعددة الأوجه | DSP-101

تقسيم الإشارات وإعادة تجميعها

في الدروس السابقة من الوحدة 11، تعاملنا مع الأخذ الزائد والأخذ الناقص بوصفهما أدواتٍ لتغيير معدل أخذ عينات إشارة واحدة. تمتدّ بنوك الفلاتر هذه الفكرة بتقسيم إشارة عريضة النطاق إلى نطاقات فرعية ضيقة متعددة، ومعالجة كلٍّ منها بشكل مستقل، ثم إعادة تجميعها في إشارة مُعاد بناؤها. هذه البنية موجودة في كل برنامج ضغط صوتي حديث (MP3 وAAC وOpus) وفي أنظمة الاتصالات اللاسلكية OFDM وضغط الصور بالمويجات.

يتكوّن بنك الفلاتر من جزأين: بنك التحليل الذي يُفكّك الإشارة الداخلة إلى نطاقات فرعية، وبنك التركيب الذي يُعيد تجميع هذه النطاقات في الإشارة الخارجة. عند التصميم الصحيح، يُلغي بنك التركيب عمل بنك التحليل بالكامل، مُسترجعًا الإشارة الأصلية دون تشويه — وهي خاصية تُعرف بـإعادة البناء الكاملة.

الفكرة الأساسية

يُطبّق بنك الفلاتر ذو M قناة، فلاتر M نطاقية على الإشارة الداخلة، يُقلّل كل خرج بمعامل M، ثم يُكبّر بنك التركيب كل نطاق فرعي بمعامل M ويُجمّع النتائج لإعادة بناء الإشارة.

x[n] → بنك التحليل → M نطاق فرعي → بنك التركيب → x̂[n]

بنك فلاتر التحليل

يتكوّن بنك فلاتر التحليل ذو M قناة من M فلترًا نطاقيًا H₀، H₁، …، H_M−1، يُغطّي كلٌّ منها نطاقًا تردديًا مختلفًا. في أبسط الحالات — بنك الفلاتر المُعامَل بالتحويل السريع للفورييه — تكون الفلاتر نسخًا مُزاحة تردديًا من فلتر مُمرّر للترددات المنخفضة H₀:

بنك الفلاتر المُعامَل بـ DFT

H_k(z) = H_0\!\left(z\, e^{-j2\pi k/M}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, M-1

كل فلتر تحليلي H_k هو الفلتر الأولي H₀ مُزاحًا تردديًا بمقدار k/M من معدل الأخذ. تتشارك جميع الفلاتر M نفس عرض النطاق π/M، وتُغطّي معًا المجال [0، π].

بعد التصفية، يُقلَّل كل فرع بمعامل M (أخذ عينات حرجة). يُبقي ذلك معدل البيانات الكلّي مساويًا لمعدل الدخل: مجموع M إشارة نطاق فرعي، كل منها بمعدل f_s/M، يساوي المعدل الأصلي f_s.

عدد النطاقات الفرعية

π/M

عرض النطاق لكل قناة

1:1

نسبة معدل البيانات دخلًا وخرجًا

بنك فلاتر التركيب

يعكس بنك التركيب عملية التحليل. يُكبَّر كل إشارة نطاق فرعي v_k[n] بمعامل M (إدراج M−1 صفرًا بين العينات)، ثم يُصفّى بواسطة فلتر التركيب G_k. تُجمَّع الفروع M المصفّاة لإنتاج الإشارة المُعاد بناؤها x̂[n].

إعادة بناء التركيب

\hat{x}[n] = \sum_{k=0}^{M-1} \bigl(v_k[n] \uparrow M\bigr) * g_k[n]

يجب تصميم فلاتر التركيب G_k بالتزامن مع فلاتر التحليل H_k لتحقيق إعادة البناء الكاملة. في أبسط الحالات، G_k(z) = H_k(z⁻¹)، أي الفلتر التحليلي المعكوس زمنيًا.

تعتمد جودة إعادة البناء على مدى استيفاء بنك الفلاتر لـشروط إعادة البناء الكاملة (PR): غياب الترادف الناجم عن مراحل التقليل/التكبير، واستجابة تردديه مستوية، وطور خطي. يستلزم تحقيق الثلاثة في آنٍ واحد تصميمًا مشتركًا دقيقًا لـ H_k و G_k.

التحليل متعدد الأوجه: محرك الكفاءة

يستلزم التطبيق الساذج لبنك الفلاتر تشغيل M فلترًا طويلًا FIR بمعدل الدخل الكامل f_s قبل التقليل، وهو مُهدِر حسابيًا: تُتجاهَل معظم خرجات الفلتر فورًا بعد التقليل. يُعيد التحليل متعدد الأوجه تنظيم العملية الحسابية بحيث تجري جميع عمليات التصفية على معدل النطاق الفرعي الأدنى f_s/M.

يمكن كتابة أي فلتر FIR H(z) بطول N كـ M فلتر أقصر — تُسمّى المكونات متعددة الأوجه E_k(z) — بطول ⌈N/M⌉ لكل منها:

التحليل متعدد الأوجه

H(z) = \sum_{k=0}^{M-1} z^{-k}\, E_k(z^M), \quad E_k(z) = \sum_{n} h[nM+k]\, z^{-n}

يُحلَّل H(z) إلى M فرع متعدد الأوجه، يحتوي كل منها على كل معامل M-th في H. يعمل كل فرع E_k(z) على المعدل المُقلَّل، مما يقلل الحساب الكلي بعامل M مقارنةً بالتطبيق المباشر.

في التطبيق متعدد الأوجه لبنك التحليل، تمر الإشارة الداخلة أولًا عبر موزّع (محوّل تسلسلي-متوازٍ يوزّع عينات الدخل المتتالية على الفروع M)، ثم يُصفّى كل فرع بمكوّنه متعدد الأوجه، وأخيرًا تُحوَّل خرجات M بـ DFT ذي M نقطة لإنتاج إشارات النطاق الفرعي. النتيجة: تجري جميع العمليات الحسابية بمعدل f_s/M، ويمكن حساب DFT بكفاءة باستخدام FFT.

فلاتر المرآة التربيعية

أبسط بنوك الفلاتر وأكثرها استخدامًا هو بنك فلاتر QMF ذو قناتين (M = 2). يُقسّم الإشارة إلى نطاق فرعي منخفض (أدنى من π/2) ونطاق فرعي مرتفع (أعلى من π/2). يرتبط فلتر التحليل المنخفض H₀(z) والفلتر المرتفع H₁(z) بالعلاقة:

علاقة QMF

H_1(z) = H_0(-z) \;\Longleftrightarrow\; h_1[n] = (-1)^n h_0[n]

الفلتر المرتفع H₁ نسخة مُزاحة تردديًا من الفلتر المنخفض H₀ بإشارات معاملات متبادلة. يضمن هذا التناظر "المرآة التربيعية" إلغاء مكوّنات الترادف الناجمة عن المُقلّلين في مرحلة التركيب.

يتمثّل تحدّي تصميم QMF في جعل H₀ فلترًا منخفض التمرير جيدًا (قطع حاد قرب π/2، وتوهين عالٍ في نطاق الإيقاف) مع استيفاء شروط PR في الوقت ذاته. تُعدّ فلاتر Johnston حلًا عمليًا. بديلًا، تُحقق الفلاتر التربيعية المترافقة (CQF) — المعروفة أيضًا ببنوك الفلاتر الأحادية المتعامدة — إعادة بناء كاملة بخواص طور خطي مثالية للصوت وضغط الصور.

شروط إعادة البناء الكاملة (قناتان)

لتحقيق إعادة البناء الكاملة في بنك QMF ذي قناتين: (1) يجب أن يلغي مصطلح الترادف: H₀(z)G₀(z) + H₁(z)G₁(z) = 0؛ (2) يجب أن يُساوي مصطلح التشويه تأخيرًا بحتًا: H₀(−z)G₀(z) + H₁(−z)G₁(z) = 2z^−k. معًا يضمنان x̂[n] = x[n−k]، أي إعادة بناء مثالية مع تأخير.

تطبيقات بنوك الفلاتر

ضغط الصوت (MP3 وAAC وOpus): يعمل نموذج السمع النفسي MPEG في نطاق التردد. يستخدم MP3 بنك فلاتر متعدد الأوجه ذا 32 قناة لتقسيم الصوت إلى 32 نطاقًا فرعيًا، ثم يُطبّق تحويل جيب التمام المنفصل المُعدَّل (MDCT) داخل كل نطاق. في جميع الحالات، يتيح بنك الفلاتر تخصيص بتات أكثر للنطاقات الفرعية ذات المحتوى السمعي المهم وبتات أقل للنطاقات المحجوبة أو الأقل إسماعًا.

ضغط الصور (JPEG 2000 والمويجات): تحويل المويجة المنفصل (DWT) هو بنك فلاتر QMF ذو قناتين مُطبَّق بشكل متكرر. يُقسَّم النطاق الفرعي المنخفض مرارًا إلى نطاقات فرعية أدنى، مُنشئًا تمثيلًا متعدد الدقة. يستخدم JPEG 2000 المويجة الثنائية الاتجاه 9/7 للترميز مع فقد، ومويجة LeGall 5/3 للترميز دون فقد.

اتصالات OFDM: يمكن النظر إلى جهاز إرسال OFDM باعتباره بنك فلاتر تركيبية، إذ تمثّل كل نغمة حاملة قناةً مستقلة. تحويل IFFT هو بنيةُ التركيب متعددة الأوجه بعينها: تجمع M تدفقات بيانات مستقلة في إشارة زمنية عريضة النطاق. جهاز الاستقبال بتحويل FFT هو بنك التحليل متعدد الأوجه.

أجهزة السمع ومعالجة الكلام: تتيح بنوك الفلاتر معالجة مستقلة لنطاقات ترددية مختلفة، محاكيةً التحليل الترددي للقوقعة. يمكن لجهاز السمع تطبيق تضخيمات مختلفة للترددات المنخفضة والمتوسطة والمرتفعة بناءً على مخطط سمع المريض، ضمن بنك فلاتر واحد متعدد الأوجه على شريحة DSP منخفضة الطاقة.

هكذا تكتمل الوحدة 11. تتناول الوحدة التالية DSP في العالم الحقيقي: قيود الأنظمة المدمجة، وخطوط أنابيب التأثيرات الصوتية، وكيفية ارتباط بنوك الفلاتر بالتعلم الآلي.

النقاط الرئيسية

يُقسّم بنك الفلاتر الإشارة إلى M نطاق فرعي (بنك التحليل) ويُعيد تجميعها (بنك التركيب)؛ وتُسترجَع الإشارة الأصلية دون تشويه عند إعادة البناء الكاملة.
تستخدم بنوك فلاتر DFT المنتظمة نسخًا مُعامَلة من فلتر مُمرّر للترددات المنخفضة واحد؛ وتُغطّي جميع الفلاتر M الطيفَ بالكامل بعرض نطاق π/M لكل منها.
يُقلّل التحليل متعدد الأوجه تكلفة بنك الفلاتر بمعامل M: كل فرع متعدد الأوجه يعمل على المعدل المُقلَّل f_s/M، وتُجمَّع الفروع عبر FFT/IFFT سريع.
يستخدم بنك فلاتر QMF ذو القناتين زوجًا من الفلاتر المنخفض والمرتفع مُصمَّمًا لإلغاء الترادف في مرحلة التركيب، مما يُمكّن إعادة بناء كاملة أو شبه كاملة.
بنوك الفلاتر هي الأساس البنيوي لترميز الصوت MP3/AAC، وضغط الصور JPEG 2000، وأنظمة OFDM اللاسلكية، وأجهزة السمع والمويجات.
تحويل المويجة المنفصل هو بنك فلاتر QMF متكرر: يُقسَّم النطاق الفرعي المنخفض مرارًا، مُنشئًا تمثيلًا متعدد الدقة مستخدَمًا في ضغط الصور والفيديو.