الأنظمة
قبل تصميم أي مرشّح، تحتاج إلى مفردات مشتركة. خمس خصائص — الخطية، وثبات الزمن، والسببية، والاستقرار، والذاكرة — تُحدّد سلوك كل نظام زمن منفصل.
نظام الزمن المنفصل هو عملية T تربط الإدخال x[n] بالخرج y[n]. قد تكون القاعدة T معادلة فروقية، أو تسلسلاً من المرشّحات، أو أي خوارزمية تعالج العينات.
ينطبق مبدأ التراكب: الاستجابة لمجموع إدخالات محجَّمة تساوي مجموع الاستجابات المحجَّمة. هذا يفتح إطار الاستجابة النبضية — اعرف الاستجابة النبضية، تعرف كل شيء.
إزاحة الإدخال بـ k عينة تزيح الخرج بـ k عينة — لا يتغير شيء آخر. النظام لا يمتلك ساعة داخلية؛ يتصرف اليوم كما يتصرف الغد.
الخرج عند n يعتمد فقط على الإدخالات الحالية والماضية. القيم المستقبلية غير متاحة في النظام الفعلي الآني. المرشّحات غير السببية تُشغَّل غير آنياً للحصول على أداء أفضل.
إدخال محدود ← خرج محدود. النظام المستقر لا يتفجّر أبداً من إدخال ذي طاقة منتهية. لنظام LTI، الاستقرار يعني أن الاستجابة النبضية قابلة للجمع المطلق.
المتراكم y[n]=Σx[k] غير مستقر. المرشّح y[n]=αy[n−1]+x[n] مع |α|<1 مستقر.
النظام ذو ذاكرة إذا أثّرت العينات الماضية على الخرج. الأنظمة عديمة الذاكرة لا تستطيع التصفية. نظام LTI يُوصَّف كلياً باستجابته النبضية h[n]:
اعرف h[n] ← اعرف خرج النظام لأي إدخال.
- الخطية: التراكب T{ax₁+bx₂} = aT{x₁}+bT{x₂}
- ثبات الزمن: إزاحة الإدخال ← إزاحة الخرج؛ لا ساعة داخلية
- السببية: الخرج يستخدم الحاضر والماضي فقط؛ ضروري للعمل الآني
- استقرار BIBO: الإدخال المحدود ← الخرج المحدود دائماً
- الذاكرة: العينات الماضية تؤثر على الخرج الحالي
- LTI = خطي + ثابت الزمن → يُوصَّف كلياً بـ h[n]