تصنيف أنظمة الزمن المنفصل
نظام الزمن المنفصل هو قاعدة تحوّل متتالية الإدخال x[n] إلى متتالية الخرج y[n]. قد تكون هذه القاعدة بسيطة كـ y[n] = 2x[n] (تضخيم)، أو معقدة كمرشّح عودي يمزج مئات العينات السابقة. قبل تصميم أي نظام أو تحليله، يحتاج المهندسون إلى مفردات مشتركة لوصف سلوكه بصرف النظر عن معاملاته المحددة.
تتكوّن هذه المفردات من خمس خصائص أساسية: الخطية، وثبات الزمن، والسببية، والاستقرار، والذاكرة. يمكن توصيف كل نظام من خلال هذه الأبعاد. أهم تركيبة منها — الخطية وثبات الزمن معاً — تُعرّف فئة أنظمة LTI التي يصفها تماماً متتالية واحدة تُسمّى الاستجابة النبضية.
ما هو نظام الزمن المنفصل؟
رسمياً، نظام الزمن المنفصل هو عملية T{·} تربط كل متتالية إدخال x[n] بمتتالية خرج y[n]. الرمز y[n] = T{x[n]} يلخّص هذه الفكرة. قد تمثّل العملية T معادلة فروقية واحدة، أو تسلسلاً من المرشّحات، أو خوارزمية أي كانت تعالج العينات بالتسلسل.
مثال بسيط: المتراكم y[n] = ∑k=−∞n x[k] يجمع كل الإدخالات الماضية والحالية. المتوسط المتحرك y[n] = ½(x[n] + x[n−1]) يمزج عينتين متتاليتين. التأخير المثالي y[n] = x[n−n0] يزيح الإشارة بـ n0 عينة. كل منها عملية T مختلفة بخصائص مختلفة.
الخطية: مبدأ التراكب
النظام خطي إذا أطاع مبدأ التراكب: الاستجابة لمجموع الإدخالات تساوي مجموع الاستجابات الفردية. بدقة أكبر، T خطي إذا وفقط إذا كان لأي إدخالَين x1[n] وx2[n] وأي ثوابت a وb:
الخطية ذات قوة هائلة. إذ يمكن تحليل أي إشارة إلى مجموع نبضات مُحجَّمة ومُزاحة (خاصية الغربلة من الدرس السابق)، فإن معرفة استجابة النظام الخطي لنبضة واحدة تُخبرنا باستجابته لكل إدخال ممكن. هذه الفكرة هي أساس الالتواء وكامل نظرية أنظمة LTI.
لاختبار ما إذا كان y[n] = x²[n] خطياً، نطبّق التراكب: T{ax₁+bx₂} = (ax₁[n]+bx₂[n])² = a²x₁²[n]+2abx₁[n]x₂[n]+b²x₂²[n]. هذا لا يساوي aT{x₁}+bT{x₂} = ax₁²[n]+bx₂²[n] بوجه عام. مربّع الإشارة نظام لا خطي. في المقابل، y[n] = 3x[n]−x[n−1] خطي لأن T{ax₁+bx₂} = aT{x₁}+bT{x₂}.
ثبات الزمن: النظام لا يتغير
النظام ثابت الزمن إذا أنتج إزاحة الإدخال زمنياً إزاحة مماثلة في الخرج — دون أي تغيير آخر. إذا كان y[n] هو الاستجابة لـ x[n]، فيجب أن تكون الاستجابة لـ x[n−k] هي y[n−k] لأي عدد صحيح k:
ثبات الزمن يعني أن النظام لا يحتوي ساعة داخلية أو تقويماً. معظم المرشّحات الرقمية ثابتة الزمن: نفس مجموعة المعاملات تُطبَّق في كل لحظة عينة. النظام المتغير مع الزمن، في المقابل، يمتلك معاملات تتغير بمرور الوقت — كمرشّح تتبّع تردده القطعي إشارة تحكّم، أو قناة اتصالات تتغير خصائصها ثانية بثانية.
السببية: لا نظرة إلى المستقبل
النظام سببي إذا اعتمد خرجه عند أي لحظة n فقط على الإدخال عند n وما سبقه (n−1, n−2, …). لا يجوز أن يعتمد على قيم الإدخال المستقبلية x[n+1], x[n+2], ... — القيم التي لم تصل بعد إلى معالج يعمل في الوقت الفعلي.
جميع أنظمة الأجهزة الفعلية في الوقت الحقيقي يجب أن تكون سببية — الميكروفون لا يستطيع توقع الكلام، ومستقبل الرادار لا يعرف الصدى قبل إرسال النبضة. أما المعالجة غير الآنية فهي مختلفة: عند العمل على بيانات مسجلة مسبقاً، يمكن للنظام الوصول إلى العينات المستقبلية بحرية. كثيراً ما تستخدم تطبيقات الصوت والصورة والتحليل العلمي خوارزميات غير سببية لهذا السبب.
المتوسط المتحرك السببي y[n] = ½(x[n]+x[n−1]) يستخدم عينات الماضي والحاضر فقط. أما المتوسط المتمركز y[n] = ⅓(x[n+1]+x[n]+x[n−1]) فيستخدم عينة مستقبلية وهو غير سببي. النسخة المتمركزة تحقق تحولاً في الطور يساوي صفراً — مرغوب فيه لتحليل تخطيط القلب أو الصوت — لكنها لا تعمل في الوقت الفعلي.
السببي ← يعمل في الوقت الفعلي | غير السببي ← غير آني فقط، أداء أفضل غالباًالاستقرار: إدخال محدود، خرج محدود
النظام مستقر BIBO (استقرار الإدخال المحدود والخرج المحدود) إذا أنتج كل إدخال محدود خرجاً محدوداً. رسمياً: إذا وُجد ثابت محدود Bx بحيث |x[n]| ≤ Bx لكل n، فيجب أن يوجد ثابت محدود By بحيث |y[n]| ≤ By لكل n:
النظام غير المستقر خطير عملياً: إدخال ذو طاقة منتهية (صفقة، ذبذبة كهربائية) يمكن أن يُثير نمواً جامحاً يُشبع الأجهزة، ويُحرق السماعات، أو يُوقف المعالجات. المتراكم y[n] = ∑k=−∞n x[k] غير مستقر: طبّق عليه إدخال خطوة وحدة (كل القيم = 1) وسيتزايد الخرج بلا حدود. المرشّح العودي من الدرجة الأولى y[n] = αy[n−1]+x[n] مع |α|<1 مستقر: استجابته النبضية αnu[n] قابلة للجمع المطلق.
الذاكرة: هل يهمّ الماضي؟
النظام ذو ذاكرة إذا اعتمد خرجه عند n على أكثر من العينة الحالية x[n]. بعبارة أخرى، تؤثر قيم الإدخال الماضية (أو قيم الخرج الماضية في النظام العودي) على الخرج الحالي. النظام عديم الذاكرة إذا كان y[n] = f(x[n]) لدالة f ما — الخرج يعتمد فقط على الإدخال اللحظي.
الذاكرة هي ما يجعل التصفية ممكنة. النظام عديم الذاكرة لا يستطيع تنعيم الضوضاء، ولا إزالة مكونات ترددية، ولا كشف أنماط عبر الزمن — تلك المهام تتطلب دمج عينات متعددة. يرتبط طول ذاكرة النظام (المدى الزمني الذي يؤثر في الخرج الحالي) بدرجة معادلة الفروقات ومدة الاستجابة النبضية.
أنظمة LTI: الفئة الأكثر أهمية
حين يكون النظام خطياً وثابت الزمن في آنٍ واحد، فهو ينتمي إلى فئة أنظمة LTI (الأنظمة الخطية الثابتة الزمن). يفتح هذا التوافق إطاراً تحليلياً كاملاً: يتّسم نظام LTI توصيفاً تاماً باستجابته النبضية h[n]، وخرجه هو التواء الإدخال مع h[n]:
لماذا هذا قوي جداً؟ لأن الخطية وثبات الزمن معاً يسمحان بتطبيق التحليل النبضي من الدرس السابق على الخرج أيضاً. الخطية تضمن إمكانية جمع الاستجابات المحجَّمة؛ وثبات الزمن يضمن أن كل نبضة مُزاحة في x[n] تُنتج نسخة مُزاحة من h[n]. النتيجة هي مجموع الالتواء.
عملياً، كل كتلة معالجة رقمية مفيدة — المرشّحات التمريرية، والمعادّلات، ومُلغيات الصدى، ومقدّرات القنوات، والمترابطات — إما أنظمة LTI تماماً أو تُقرَّب بها في نطاق التشغيل. تحويل Z والتحويل المنفصل لفورييه كلاهما أدوات لتحليل أنظمة LTI في المجال الترددي. كامل آلية معالجة الإشارات الرقمية الكلاسيكية مبنية على هذا الأساس.
- نظام الزمن المنفصل T يربط متتاليات الإدخال x[n] بمتتاليات الخرج y[n]؛ خصائصه تحدد أسلوب تحليله وتنفيذه.
- الخطية تعني T{ax₁+bx₂} = aT{x₁}+bT{x₂}: ينطبق مبدأ التراكب.
- ثبات الزمن يعني أن إدخالاً مُزاحاً زمنياً يُنتج خرجاً مُزاحاً زمنياً؛ سلوك النظام ثابت في الزمن.
- النظام السببي لا يعتمد خرجه إلا على الإدخالات الحالية والماضية — ضروري للمعالجة في الوقت الفعلي؛ الأنظمة غير السببية تُستخدم في المعالجة غير الآنية لأداء أفضل.
- استقرار BIBO يضمن أن الإدخالات المحدودة تُنتج دائماً خرجات محدودة؛ لأنظمة LTI يعادل ذلك إمكانية الجمع المطلق للاستجابة النبضية.
- الذاكرة تعني أن العينات الماضية تؤثر على الخرج الحالي؛ الأنظمة عديمة الذاكرة تعالج كل عينة بمعزل ولا تستطيع التصفية.
- LTI = خطي + ثابت الزمن → يُوصَّف كلياً بـ h[n]؛ الخرج هو الالتواء y[n] = x[n] * h[n].