h[n]: الصورة الكاملة لنظام LTI
في الدرس السابق اشتققنا مجموع الالتواء وأثبتنا أن خرج أي نظام LTI هو y[n] = x[n] * h[n]. إن h[n] هذه — الاستجابة النبضية — رائعة: متتالية وحيدة تُميّز سلوك النظام بالكامل وبشكل فريد. مرّر أي إشارة دخل عبر نظام LTI، والتوِها مع h[n]، وستحصل على الخرج الدقيق. لا توجد معاملات أخرى مطلوبة.
تُقاس الاستجابة النبضية بتطبيق النبضة الوحدوية δ[n] دخلاً. ولأن δ[n] هي عنصر الهوية في الالتواء — x[n] * δ[n] = x[n] لأي x[n] — فإن الخرج عندما x[n] = δ[n] هو بالضبط h[n] نفسها. يمنح ذلك المهندسين أسلوباً عملياً للقياس: أثِر النظام بنبضة قصيرة واسعة النطاق ورصد الاستجابة.
لماذا تُعدّ h[n] توصيفاً كاملاً؟ لأن الخطية والثبات الزمني معاً يضمنان أن الاستجابة لأي دخل يمكن حسابها بوصفها تراكباً من نسخ مُقيَّسة ومُزاحة من h[n]. إن عرفت كيف يستجيب النظام لنبضة واحدة، تعرف كيف يستجيب لكل شيء.
أنظمة FIR: الاستجابة النبضية المنتهية
يُسمّى نظام LTI بنظام FIR (Finite Impulse Response) عندما تكون h[n] غير صفرية لعدد منتهٍ فقط من العينات — مثلاً، من n = 0, 1, …, M−1 وصفرية في كل مكان آخر. يتقلص مجموع الالتواء عندئذٍ إلى مجموع مرجّح منتهٍ من M عينة ماضية وحالية من الدخل:
تتمتع أنظمة FIR بخاصيتين بارزتين. أولاً، إنها مستقرة دائماً: إذا كان الدخل محدوداً (|x[n]| ≤ B لكل n)، فالخرج محدود بـ B مضروبةً في مجموع |h[k]| على الدعم المنتهي، وهو دائماً منتهٍ. ثانياً، يمكن لأنظمة FIR تحقيق طور خطي بالضبط — تُؤخَّر جميع الترددات بالعدد نفسه من العينات — ببساطة بجعل h[n] متماثلة. الطور الخطي يعني عدم تشويه الطور، وهو شرط في تطبيقات الصوت والقياس وتسوية الاتصالات.
أنظمة IIR: الاستجابة النبضية اللامنتهية
نظام LTI هو نظام IIR (Infinite Impulse Response) عندما تمتد h[n] بلا نهاية — لا تبلغ الصفر في وقت منتهٍ. المتتالية الأسية h[n] = α^n u[n] مثال كلاسيكي: لـ |α| < 1 تتلاشى نحو الصفر لكن نظرياً لا تختفي أبداً.
حساب مجموع التواء لا نهائي مباشرةً غير عملي. بدلاً من ذلك، تُنفَّذ أنظمة IIR عبر معادلات فروقية تُعبّر عن الخرج الحالي بوصفه تركيباً خطياً من مخرجات ماضية ومدخلات حالية وماضية. التغذية الراجعة عبر المخرجات الماضية هي ما يولّد الاستجابة النبضية اللانهائية:
ميزة الكفاءة لمرشحات IIR كبيرة: يمكن لمرشح IIR تحقيق نفس الانتقائية الترددية لمرشح FIR بمعاملات أقل بكثير. مرشح Butterworth IIR من الرتبة الرابعة، على سبيل المثال، يمكنه مطابقة ما قد يتطلب 50–200 مرحلة FIR. المقايضة هي أن أنظمة IIR تستلزم تحليل استقرار صريحاً (جميع الأقطاب داخل دائرة الوحدة في مجال Z)، ولا يمكنها تحقيق طور خطي بالضبط بشكل عام.
ضع في اعتبارك أبسط مرشح IIR: y[n] = α·y[n−1] + x[n]. عندما x[n] = δ[n]، الخرج هو:
y[0] = α·y[−1] + δ[0] = 0 + 1 = 1
y[1] = α·y[0] + δ[1] = α + 0 = α
y[2] = α·y[1] = α²، وهكذا.
h[n] = αⁿu[n] — الاستجابة النبضية لا نهائية لكنها تتلاشى عندما |α| < 1.معادلات الفروق كأوصاف للأنظمة
معادلة الفروق الخطية ذات المعاملات الثابتة (LCCDE) هي الوصف في المجال الزمني لنظام LTI، تماماً كما تصف المعادلة التفاضلية النظامَ في الزمن المستمر. كل مرشح رقمي مُصمَّم عملياً — من المُعادِلات الصوتية إلى مُعوِّضات أنظمة التحكم — يُوصف في نهاية المطاف بمعادلة LCCDE من رتبة ما.
رتبة النظام تساوي أقصى تأخير في التكرار: نظام يستخدم y[n−1] وy[n−2] من الرتبة الثانية. الرتبة الأعلى تعني أقطاباً أكثر، مما يتيح انتقالات ترددية أحد لكنه يستلزم مراقبة استقرار أدق. المعاملات {aₖ, bₖ} هي معاملات التصميم؛ تغييرها يُغيّر الاستجابة الترددية للمرشح.
حتى مرشح FIR له معادلة LCCDE — لكن دون حدود تغذية راجعة (جميع aₖ = 0 ماعدا a₀ = 1). تتقلص معادلة الفروق عندئذٍ إلى مجموع الالتواء المنتهي. لذا فإن معادلات LCCDE وصف موحّد: اجعل جميع معاملات التغذية الراجعة صفراً تحصل على FIR؛ أضف التغذية الراجعة تحصل على IIR.
التركيبات المتسلسلة
عندما يُوصَل نظامان LTI على التسلسل (خرج الأول يُغذّي دخل الثاني)، يكون النظام المُدمج نفسه LTI. بخاصية الترابط في الالتواء، الاستجابة النبضية الكلية هي التواء الاستجابات النبضية الفردية:
ثلاث نتائج مهمة تترتب على ذلك. أولاً، ترتيب التسلسل لا يهم: تطبيق h₁ ثم h₂ يُنتج نفس نتيجة h₂ ثم h₁، لأن الالتواء تبادلي. ثانياً، يمكن دمج بنك المرشحات المتسلسلة مسبقاً في استجابة نبضية واحدة، مما يُقلّل الحساب في الزمن الحقيقي. ثالثاً، تسلسل أنظمة LTI المستقرة يكون مستقراً طالما كل نظام فردي مستقر.
التركيبات المتوازية
عندما يتلقى نظامان LTI نفس الدخل وتُجمع مخرجاتهما بالجمع، يُشكّلان تركيباً متوازياً. بالخاصية التوزيعية للالتواء، تكون الاستجابة النبضية الكلية هي ببساطة مجموع الاستجابات النبضية الفردية:
الهياكل المتوازية في كل مكان عملياً. المُعادِل الجرافيكي هو بنك من مرشحات النطاق الترددي (كل منها نظام LTI) تُجمع مخرجاتها بعد ضبط ربح مستقل. يُعالج مُستقبِل OFDM حاملات فرعية متعددة في وقت واحد، كل منها عبر مرشحه المطابق الخاص. في جميع هذه الحالات، النظام المُدمَج لا يزال LTI واستجابته النبضية الكلية هي مجموع الفروع.
نظام IIR الموصوف بمعادلة LCCDE يكون مستقراً BIBO إذا وفقط إذا كانت استجابته النبضية مُطلقة الجمع (Absolutely Summable):
Σ_{n=−∞}^{∞} |h[n]| < ∞في مجال التحويل Z، يُكافئ هذا الشرط اشتراط أن تقع جميع أقطاب دالة النقل H(z) بدقة داخل دائرة الوحدة. لنظام IIR من الدرجة الأولى y[n] = αy[n−1] + x[n]، يستلزم الاستقرار |α| < 1.
- الاستجابة النبضية h[n] تُميّز نظام LTI بالكامل: معرفة h[n] كافية لحساب الخرج لأي دخل عبر الالتواء y[n] = x[n] * h[n].
- أنظمة FIR لها h[n] منتهية الطول، مستقرة دائماً، ويمكنها تحقيق طور خطي بالضبط باستخدام معاملات متماثلة.
- أنظمة IIR لها h[n] لا نهائية الطول تُنفَّذ عبر معادلات فروق تكرارية؛ تحقق انتقائية حادة بمعاملات قليلة لكنها تستلزم تحليل استقرار.
- معادلة LCCDE العامة y[n] = Σbₖ·x[n−k] − Σaₖ·y[n−k] تصف أي مرشح LTI؛ القسم من الدرجة الثانية (biquad) هو وحدة البناء القياسية لتصاميم IIR.
- الأنظمة المتسلسلة في LTI لها استجابة نبضية مُدمجة h₁[n] * h₂[n]؛ ترتيب التسلسل قابل للتبادل.
- الأنظمة المتوازية في LTI لها استجابة نبضية مُدمجة h₁[n] + h₂[n].
- نظام IIR مستقر BIBO إذا وفقط إذا كان Σ|h[n]| < ∞، وبالتكافؤ، جميع أقطاب H(z) داخل دائرة الوحدة.