DSP 101
M5 · L2
الوحدة 5 — تحويل فورييه المتقطع
تعريف DFT
وتفسيره
وتفسيره
معادلة DFT، وخانات التردد، وDFT بوصفه عملية مصفوفية، والطابع الدوري الذي يستلزم إضافة الأصفار وترشيح overlap-add.
1 / 9
DSP 101
M5 · L2
المعادلة
تعريف DFT
N عينة زمنية تدخل. N قيمة ترددية مركبة X[k] تخرج. كل خانة تحمل سعة ومرحلة التردد المقابل لها.
DFT
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j2\pi kn/N}
2 / 9
DSP 101
M5 · L2
التحويل العكسي
IDFT — استعادة
مثالية
مثالية
يستعيد IDFT x[n] بدقة تامة. الفارق الوحيد: إشارة الأس تنعكس إلى +j ويظهر عامل تطبيع 1/N.
IDFT
x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k]\,e^{j2\pi kn/N}
3 / 9
DSP 101
M5 · L2
ربط التردد
ماذا تعني كل خانة
الخانة k ← التردد f = k · fs/N هرتز. دقة التردد Δf = fs/N.
k = 0
تيار مستمر (0 هرتز)
k = N/2
تردد نايكويست fs/2
السعة والمرحلة
|X[k]| = السعة، ∠X[k] = المرحلة عند f = k·fs/N
4 / 9
DSP 101
M5 · L2
المنظور الجبري
DFT كـمصفوفة
X = WN x — DFT هو تغيير أساس. كل صف في WN جيب تمام مركب. الحساب المباشر: O(N²). FFT يستغل التماثل ليصل إلى O(N log N).
عامل التدوير
W_N = e^{-j2\pi/N}, \quad [\mathbf{W}_N]_{k,n} = W_N^{kn}
5 / 9
DSP 101
M5 · L2
خاصية جوهرية
DFT دوري
يعامل DFT x[n] على أنه دوري بفترة N. الحساب بالتقسيم على N. نتيجة لذلك: ضرب الأطياف يعطي التواء دائري لا خطي.
الحل
أضف أصفاراً حتى N ≥ Lx + Lh − 1 قبل ضرب الأطياف للحصول على التواء خطي.
6 / 9
DSP 101
M5 · L2
الدقة مقابل النعومة
إضافة الأصفار: نعومة
لا حدة
لا حدة
إضافة الأصفار تستكمل الطيف فيبدو أكثر نعومة. لكن الدقة الفعلية تستلزم مزيداً من البيانات، لا مزيداً من الأصفار. لتمييز تردديْن يفصل بينهما Δf هرتز تحتاج T ≥ 1/Δf ثانية.
- أصفار أكثر ← أخذ عينات أدق من DTFT ← منحنى أكثر نعومة
- عينات أكثر ← معلومات ترددية حقيقية إضافية
- جيبيتان تفصلهما Δf هرتز تتطلبان T ≥ 1/Δf ثانية من البيانات
7 / 9
DSP 101
M5 · L2
أبرز ما تعلمته
ما تعلمته
- DFT: X[k] = Σ x[n] e−j2πkn/N؛ IDFT له +j وعامل 1/N
- الخانة k ↔ تردد k·f_s/N هرتز؛ الدقة Δf = f_s/N
- |X[k]| سعة، ∠X[k] مرحلة؛ الإشارات الحقيقية لها تماثل مرافق
- DFT = ضرب مصفوفي X = WNx؛ O(N²) مباشرة، O(N log N) بـ FFT
- DFT دوري — الحساب بالتقسيم على N دائماً
- ضرب الأطياف ← التواء دائري؛ أضف أصفاراً للتواء خطي
- إضافة الأصفار تنعّم الطيف لكن لا تحسّن الدقة الفعلية
9 / 9
1 / 8
كتم