تعريف تحويل فورييه المتقطع وتفسيره | DSP-101

معادلة تحويل فورييه المتقطع

تحويل فورييه المتقطع (DFT) هو الأداة الحسابية الأساسية في تحليل الطيف. بمعلومية متتالية من N عينة x[n]، ينتج DFT قيم N مركبة X[k]، تحمل كلٌّ منها سعةَ ومرحلةَ مركّبة ترددية معينة. تعريف DFT هو:

تعريف DFT

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1

X[k] هو تحويل DFT للمتتالية ذات N نقطة x[n]. يتراوح k من 0 إلى N−1، ما يقابل N تردداً متباعداً بالتساوي حول دائرة الوحدة. كل خانة k تقابل التردد f_k = k·f_s/N هرتز أو ω_k = 2πk/N راديان/عينة.

تحويل DFT العكسي (IDFT) يستعيد x[n] بدقة من X[k]:

تحويل DFT العكسي (IDFT)

x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k]\,e^{j2\pi kn/N}, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1

معامل التطبيع 1/N يضمن استعادة x[n] بدقة تامة. معاً يشكّل DFT و IDFT زوجاً تحويلياً متماثلاً قابلاً للعكس على المتتاليات ذات N نقطة.

ماذا تحمل كل خانة؟

X[k] عدد مركب. مقداره |X[k]| يعطي سعة المركّبة الجيبية عند التردد k·f_s/N، وزاويته ∠X[k] تعطي مرحلتها. بالنسبة لـ x[n] ذي القيم الحقيقية، يتمتع DFT بالتماثل المرافق: X[N−k] = X*[k]، لذا تحمل الخانات من 0 إلى N/2 فقط معلومات مستقلة.

|X[k]| = السعة عند f = k·f_s/N — ∠X[k] = المرحلة عند ذلك التردد

تفسير خانات التردد

كل خانة k في DFT تقابل تردداً فيزيائياً معيناً. إذا جُمع الإشارة بمعدل أخذ عينات f_s وكان حجم DFT هو N، فإن الخانة k تقابل التردد f_k = k·f_s/N. والمسافة الترددية بين خانتين متجاورتين هي تباعد الخانات — ويسميه الكثيرون تجاوزاً دقة التردد — وقيمته:

دقة التردد

\Delta f = \frac{f_s}{N}

يساوي تباعد الخانات معدلَ أخذ العينات مقسوماً على طول DFT أي N. وتنصيف Δf يعني مضاعفة N — لكن جمع مزيد من العينات هو وحده ما يحسّن دقة التردد الحقيقية. أما إضافة الأصفار للوصول إلى N أكبر فتقلّص تباعد الخانات دون أن تفصل شيئاً جديداً.

الخانة 0

مركّبة التيار المستمر

X[0] = مجموع كل x[n]. هذا هو مستوى التيار المستمر — متوسط قيمة الإشارة مضروباً في N.

الخانة N/2

تردد نايكويست

للـ N الزوجي، تقابل الخانة N/2 تردد نايكويست f_s/2 — أعلى تردد لا لبس فيه.

الخانات N/2+1 … N−1

الترددات السالبة

تمثّل هذه الخانات الترددات السالبة. للإشارات الحقيقية تعكس الخانات 1 … N/2−1 بالتماثل المرافق.

الخانة k

f = k·f_s/N هرتز

التحويل العام: اضرب رقم الخانة في دقة التردد Δf = f_s/N للحصول على التردد الفيزيائي بالهرتز.

DFT كعملية مصفوفية

DFT تحويل خطي. يمكن كتابته بشكل مضغوط على هيئة ضرب مصفوفة-متجه: X = W_N x، حيث W_N هي مصفوفة DFT ذات N×N. العنصر (k, n) في W_N هو عامل التدوير W_N^kn:

عامل التدوير

W_N = e^{-j2\pi/N} \quad \Rightarrow \quad [\mathbf{W}_N]_{k,n} = W_N^{kn} = e^{-j2\pi kn/N}

W_N هو الجذر الأولي من الدرجة N للوحدة. يقع على دائرة الوحدة عند زاوية −2π/N. رفعه لأس kn يدور إلى النقطة kn المتباعدة بالتساوي على دائرة الوحدة.

مصفوفة DFT متماثلة وموحّدة (حتى عامل التطبيع 1/√N). يعني ذلك أن معكوسها هو ببساطة منقولها المرافق: W_N⁻¹ = (1/N)W_N^*. يوضح المنظور المصفوفي أن DFT مجرد تغيير أساس — من أساس عينات الزمن إلى أساس الأسس المركبة (الترددات).

DFT المباشر يكلّف O(N²)

حساب X = W_N x مباشرةً يتطلب N ضرباً لكل خانة إخراج و N خانة — مجموعه N² ضرباً مركباً. للـ N = 1024 يتجاوز ذلك مليون عملية. تحويل FFT السريع يختزل ذلك إلى O(N log N) بالاستفادة من تماثلات عوامل التدوير.

الطابع الدوري لتحويل DFT

خاصية دقيقة لكنها بالغة الأهمية: يعامل DFT ضمنياً x[n] على أنه إشارة دورية لا نهائية بفترة N. من منظور DFT، العينة التالية لـ x[N−1] تلتف عائدةً إلى x[0]. الحسابات على مؤشرات DFT تُجرى دائماً بالتقسيم على N.

لهذه الدورية انعكاسات مباشرة على الالتواء. ضرب طيفَي DFT وهما X[k] وH[k] ثم أخذ IDFT لا يعطي الالتواء الخطي x[n] ∗ h[n] — بل يعطي الالتواء الدائري x[n] ⊛ h[n]، محسوباً بالتقسيم على N. لاستخدام DFT في الالتواء الخطي كما في الترشيح، يجب إطالة المتتالية بالأصفار لتجنب التضمين الزمني.

الالتواء الدائري

y[n] = \mathrm{IDFT}\{X[k]\cdot H[k]\} = \sum_{m=0}^{N-1} x[m]\,h[(n-m)_{\bmod N}]

IDFT{X[k]·H[k]} يعطي الالتواء الدائري لا الخطي. للحصول على الالتواء الخطي من DFT، أضف أصفاراً لكلتا المتتاليتين حتى تبلغ الطول ≥ L_x + L_h − 1 قبل حساب DFT.

قاعدة إضافة الأصفار للالتواء الخطي

إذا كان x[n] بطول L_x وh[n] بطول L_h، اختر حجم DFT بحيث N ≥ L_x + L_h − 1. أضف أصفاراً لكلتيهما حتى الطول N، احسب DFT لكل منهما، اضربهما نقطةً بنقطة، ثم خذ IDFT. النتيجة هي الالتواء الخطي الدقيق.

دقة التردد وإضافة الأصفار

تباعد خانات DFT هو Δf = f_s/N، وهناك طريقتان لتقليصه — لكن واحدة منهما فقط تحسّن دقة التردد الحقيقية. جمع مزيد من العينات يحسّنها: النافذة الزمنية الأطول تزيد فعلاً حاصل الضرب الزمني-الحيزي. أما إلحاق أصفار بالمتتالية الموجودة فلا يحسّنها. إضافة الأصفار تستكمل الطيف — أي تحسب DTFT عند نقاط أكثر فتنتج منحنىً أكثر نعومة — لكنها لا تضيف معلومات طيفية جديدة. جيبيتان متقاربتان لا يمكن تمييزهما بـ L عينة لا يمكن فصلهما بإضافة الأصفار؛ لفصلهما يجب تسجيل بيانات أكثر.

قاعدة عملية: لتمييز جيبيتين تفصلهما Δf هرتز، تحتاج على الأقل T = 1/Δf ثانية من البيانات (L ≥ f_s/Δf عينة). إضافة الأصفار بعد ذلك تجعل الطيف أكثر نعومة لكنها لا تكشف قمماً جديدة.

الدرس التالي يستكشف دقة التردد والتنميذ — كيف يؤثر شكل نافذة الرصد في التسرب الطيفي وما تفعله دوال النوافذ للتخفيف منه.

أبرز ما تعلمته

يحوّل DFT متتالية x[n] ذات N نقطة إلى N قيمة طيفية مركبة X[k] = Σ x[n] e^−j2πkn/N؛ IDFT يعكسه بمعامل 1/N.
الخانة k تقابل التردد f_k = k·f_s/N هرتز؛ تباعد الخانات Δf = f_s/N.
|X[k]| سعة و∠X[k]| مرحلة عند التردد k·f_s/N؛ للإشارات الحقيقية النصف العلوي يعكس الأسفل بالتماثل المرافق.
DFT ضرب مصفوفي X = W_N x، حيث W_N له عناصر W_N^{kn} = e^{−j2πkn/N}؛ الحساب المباشر O(N²).
DFT يفترض ضمنياً دورية x[n] بفترة N — الحسابات على المؤشرات كلها بالتقسيم على N.
ضرب طيفَي DFT ثم العكس يعطي التواء دائري؛ أضف أصفاراً حتى N ≥ L_x + L_h − 1 للحصول على التواء خطي.
إضافة الأصفار تنعّم الطيف لكن لا تحسّن الدقة الفعلية — ذلك يتطلب عينات إضافية.