أنواع المرشحات | DSP-101

الأشكال الأساسية الأربعة للمرشحات

كل مرشح ستصمّمه في حياتك هو نوع من أنواع أربعة أنماط أساسية لاختيار الترددات. يحدّد كل نمط أيَّ الترددات يتم تمريرها (نطاق التمرير) وأيَّها يتم حجبها (نطاق الحجب). فهم هذه الأنواع الأربعة — والمواصفات التي تقيس سلوكها — هو أساس كل تصميم عملي للمرشحات.

النوع 1

مرشح التمرير المنخفض

يمرّر الترددات دون حد القطع ω_p ويحجب الترددات فوق ω_s. النوع الأكثر شيوعاً — يُستخدم لإزالة الضوضاء وتقييد عرض النطاق ومنع التغيير (aliasing).

النوع 2

مرشح التمرير العالي

يمرّر الترددات فوق حد القطع ويحجب ما دونها. يُستخدم لإزالة إزاحة التيار المستمر، والأرتجاجات المنخفضة، أو عزل المحتوى عالي التردد.

النوع 3

مرشح التمرير النطاقي

يمرّر نطاقاً من الترددات بين حد أدنى ω_L وحد أعلى ω_H. يُستخدم في أجهزة استقبال الراديو وشرائح التعادل واكتشاف النغمات.

النوع 4

مرشح الحجب النطاقي (Notch)

يحجب نطاقاً من الترددات ويمرّر كل ما خارجه. النسخة ضيقة النطاق — مرشح الشق — تزيل تردداً واحداً مصدر تشويش مثل ضجيج التيار الكهربائي 50/60 هرتز.

مواصفات المرشح

لا تستطيع المرشحات الحقيقية تحقيق استجابة تردد مثالية حادة. عوضاً عن ذلك، نحدّد مجموعة من حدود التسامح التي يجب أن يلتزم بها المرشح العملي. هذه المواصفات تنعكس مباشرة على استجابة التردد وتوجّه كل قرار تصميمي.

لمرشح التمرير المنخفض، المعاملات الرئيسية هي:

المعامل	الرمز	المعنى
حافة نطاق التمرير	ω_p	أعلى تردد يجب تمريره مع تخفيف لا يتجاوز R_p ديسيبل.
حافة نطاق الحجب	ω_s	أدنى تردد يجب تخفيفه بمقدار A_s ديسيبل على الأقل.
تموّج نطاق التمرير	R_p (dB)	أقصى تذبذب مسموح في الكسب داخل نطاق التمرير (مثلاً ±0.1 ديسيبل).
تخفيف نطاق الحجب	A_s (dB)	الرفض الأدنى في نطاق الحجب (مثلاً 60 ديسيبل تعني كسب < 0.001).
نطاق الانتقال	Δω = ω_s − ω_p	الفجوة بين نطاق التمرير ونطاق الحجب. كلما ضاق Δω كلما ارتفع رتبة المرشح.

قيود نطاق التمرير ونطاق الحجب

1 - \delta_p \leq |H(e^{j\omega})| \leq 1 + \delta_p \;\text{ (passband)}, \quad |H(e^{j\omega})| \leq \delta_s \;\text{ (stopband)}

يجب أن تبقى قيمة الكسب |H(e^jω)| فوق الحد الأدنى لنطاق التمرير وتحت الحد الأعلى لنطاق الحجب. تُشتق كلٌّ من δ_p وδ_s من المواصفات بالديسيبل: δ_s = 10^(−A_s/20).

مرشح التمرير المنخفض

مرشح التمرير المنخفض هو التصميم المرجعي الذي تُشتق منه جميع الأنواع الأخرى. استجابته التردية المثالية هي مستطيل: كسب وحدوي من ω = 0 إلى ω = ω_c، وكسب صفري فوق ذلك. في تصميم Windowed-Sinc، يُضبط ω_c عند منتصف نطاق الانتقال: ω_c = (ω_p + ω_s) / 2.

يظهر مرشح التمرير المنخفض في كل سلسلة معالجة إشارات تقريباً. قبل تحويل ADC، يُزيل مرشح تمرير منخفض تناظري كل الترددات فوق f_s/2. بعد تحويل DAC، يُزيل مرشح تمرير منخفض الصور الطيفية. في الصوت، تقطع مرشحات الرف المنخفض الجانب العالي. في أجهزة الاستقبال اللاسلكية، تحدّ مرشحات التمرير المنخفض عرض نطاق الإشارة القاعدية لتتناسب مع القناة.

مرشح التمرير العالي

يمرّر مرشح التمرير العالي الترددات العالية ويحجب المنخفضة. أبسط تصميم FIR للتمرير العالي يستخدم انعكاس الطيف: طرح الاستجابة النبضية لمرشح التمرير المنخفض من نبضة وحدوية (دالة ديراك عند n = 0). إذا كان h_LP[n] مرشح تمرير منخفض متماثل، فإن:

انعكاس الطيف: LP → HP

h_{\text{HP}}[n] = \delta\!\left[n - \tfrac{N-1}{2}\right] - h_{\text{LP}}[n]

طرح الاستجابة النبضية LP من نبضة وحدوية عند المركز يعكس الطيف: يتبادل نطاق التمرير ونطاق الحجب مواضعهما. الناتج مرشح FIR تمرير عالٍ بنفس الطول وخاصية الطور الخطي.

يعمل هذا لأن طيف النبضة الوحدوية يساوي 1 لجميع الترددات، لذا H_HP(e^jω) = 1 − H_LP(e^jω). حيثما يكون كسب LP مساوياً للواحد، يكون كسب HP صفراً، والعكس صحيح. الشرط الوحيد هو أن يكون طول المرشح فردياً للحفاظ على التماثل بعد الطرح.

مرشح التمرير النطاقي

يمرّر مرشح التمرير النطاقي نطاقاً متصلاً من الترددات، محدداً بحافة نطاق تمرير أدنى ω_L وحافة أعلى ω_H. هناك طريقتان قياسيتان لبناء FIR:

الطريقة 1

فرق مرشحَي تمرير منخفض

صمّم مرشح LP واسع بحد قطع ω_H واطرح منه مرشح LP ضيق بحد قطع ω_L. النتيجة تمرّر فقط النطاق بين ω_L وω_H. يجب أن يكون للمرشحَين نفس الطول.

الطريقة 2

تضمين النموذج الأولي LP

صمّم نموذجاً أولياً LP بحد قطع (ω_H − ω_L)/2، ثم اضرب بـ 2cos(ω_0 n) حيث ω_0 = (ω_H + ω_L)/2. هذا ينقل طيف LP ليتمركز حول ω_0.

طريقة التضمين أنيقة بشكل خاص: بضرب معاملات النموذج الأولي للتمرير المنخفض بجيب تمام عند تردد المركز، يُنسخ نطاق تمرير LP إلى ±ω_0 في الطيف، مما يعطي استجابة تمرير نطاقي تتمركز حول ω_0. هذا هو المبدأ الكامن وراء مرشحات التحليل في أجهزة الراديو الرقمي.

مرشح الحجب النطاقي (Notch)

مرشح الحجب النطاقي — يُسمى مرشح الشق عندما يكون النطاق المحجوب ضيقاً — هو مكمّل مرشح التمرير النطاقي. يمرّر كل شيء عدا نطاق تردد محدد. يتبع البناء نفس مبدأ مرشح التمرير العالي: يمكن الحصول على مرشح الحجب النطاقي بطرح مرشح التمرير النطاقي من نبضة وحدوية (تمرير كلي).

الحجب النطاقي من التمرير النطاقي

h_{\text{BS}}[n] = \delta\!\left[n - \tfrac{N-1}{2}\right] - h_{\text{BP}}[n]

طرح الاستجابة النبضية BP من نبضة وحدوية مؤخَّرة يعطي مرشح حجب نطاقي. التأخير (N−1)/2 يُحاذي المرشحَين زمنياً حتى يتحدا بشكل متماسك.

التطبيق الكلاسيكي هو رفض تداخل خطوط الطاقة: يُزيل مرشح شق 50 هرتز أو 60 هرتز ضجيج التيار الكهربائي من التسجيلات الطبية الحيوية دون التأثير على الإشارة في كلا الجانبين. تتطلب الشقوق الضيقة رتباً عالية للمرشح — أو تصاميم IIR — لتحقيق تخفيف عميق عبر عرض نطاق صغير جداً.

التحويل الطيفي — الصورة الكاملة

جميع أنواع المرشحات الأربعة مرتبطة بعمليات حسابية بسيطة على النموذج الأولي للتمرير المنخفض. LP هو الحالة الأساسية؛ HP = نبضة − LP؛ BP = LP_واسع − LP_ضيق؛ BS = نبضة − BP. تصميم مرشح LP واحد جيداً يمنحك الثلاثة الأخرى مجاناً، بنفس رتبة المرشح وضمان الطور الخطي نفسه.

LP → HP → BP → BS: نموذج أولي واحد، أربعة أنواع من المرشحات.

المواصفات لكل نوع

بينما تشترك الأنواع الأربعة في نفس مفردات المواصفات (نطاق التمرير، نطاق الحجب، التموّج، التخفيف)، يتباين كل نوع قليلاً في معاملاته:

نوع المرشح	نطاق التمرير	نطاق الحجب	المعامل الرئيسي
تمرير منخفض	0 … ω_p	ω_s … π	حد القطع ω_c، الانتقال Δω
تمرير عالٍ	ω_p … π	0 … ω_s	حد القطع ω_c، الانتقال Δω
تمرير نطاقي	ω_L … ω_H	0…ω_s1، ω_s2…π	المركز ω_0، عرض النطاق BW
حجب نطاقي	0…ω_p1، ω_p2…π	ω_s1 … ω_s2	مركز الشق، عرض الشق

التحويل بين الأنواع عبر التحويل الطيفي

إلى جانب الجمع الحسابي لمرشحات LP، هناك نظرية رسمية للـتحويلات الطيفية تربط نموذج LP الأولي بأي نوع آخر عن طريق استبدال دالة جديدة من z محل z^(−1) في دالة النقل. لمرشحات IIR بشكل خاص، يسمح هذا النهج بتحويل تصميم LP معروف (مثل Butterworth) إلى تصميم HP أو BP أو BS تحليلياً، مع الحفاظ على شكل استجابة المرشح الحجمية مع تحويل محور التردد وتحجيمه.

لمرشحات FIR، يُفضَّل عادةً نهج الجمع الحسابي (فرق مرشحات LP، التضمين) لأنه يبقي التصميم بسيطاً ويحافظ على خاصية الطور الخطي. أما لمرشحات IIR، فالتحويل الطيفي في مجال z هو المسار القياسي.

تطبيقات عملية

تمرير منخفض

مكافحة التغيير والتمهيد

تقييد النطاق قبل أخذ عينات ADC؛ مرشح إعادة بناء ما بعد DAC؛ حساسات متوسطة؛ إزالة الضوضاء عالية التردد من القياسات.

تمرير عالٍ

إزالة التيار المستمر والارتجاجات

إزالة إزاحة التيار المستمر من الصوت؛ التخلص من الاهتزاز الميكانيكي المنخفض من أجهزة قياس الزلازل؛ ما يعادل التزويج التناظري بالتيار المتردد في معالجة الإشارات الرقمية.

تمرير نطاقي

اختيار القناة والتعادل

مرشح قناة الراديو في SDR؛ نطاقات معادل التوازي؛ كشف نغمات DTMF؛ عزل نطاقات موجات الدماغ في EEG (ألفا، بيتا، ثيتا).

حجب نطاقي

رفض التداخل

إزالة ضجيج 50/60 هرتز من ECG والصوت؛ رفض التداخل ضيق النطاق في الرادار؛ قمع تداخل CW في الاتصالات.

النقاط الرئيسية

الأنواع الأساسية الأربعة للمرشحات هي: التمرير المنخفض، والتمرير العالي، والتمرير النطاقي، والحجب النطاقي (الشق).
تستخدم مواصفات المرشح حافة نطاق التمرير ω_p، وحافة نطاق الحجب ω_s، والتموّج R_p (ديسيبل)، والتخفيف A_s (ديسيبل).
نطاق الانتقال Δω = ω_s − ω_p يحدد رتبة المرشح: كلما ضاق الانتقال كلما طال المرشح.
مرشحات FIR للتمرير العالي تُشتق بانعكاس الطيف: h_HP[n] = δ[n − (N−1)/2] − h_LP[n].
مرشحات التمرير النطاقي تُصمَّم بطرح مرشحَي تمرير منخفض (LP_واسع − LP_ضيق) أو بتضمين نموذج LP الأولي إلى تردد المركز.
مرشحات الحجب النطاقي تُشتق بطرح مرشح التمرير النطاقي من تمرير كلي (نبضة وحدوية).
جميع الأنواع ترث خاصية الطور الخطي من نموذج LP الأولي عند بنائها باستخدام الجمع الحسابي FIR.
لمرشحات IIR، يربط التحويل الطيفي الرسمي في مجال z النماذج الأولية LP (Butterworth، Chebyshev) بتصاميم HP أو BP أو BS.