DSP 101
M9 · L1
الوحدة 9 — التحليل الطيفي
كثافة الطيف الطاقي
الأداة الأساسية لتوصيف الإشارات العشوائية — تصف كيفية توزيع الطاقة على الترددات.
1 / 9
DSP 101
M9 · L1
الفكرة الجوهرية
الطاقة مقابل التردد
الإشارات العشوائية لا تمتلك DFT واحدًا — تبدو مختلفة في كل مرة. تلتقط PSD متوسط الطاقة عند كل تردد عبر جميع التحقيقات.
- DFT يعطي السعة والطور للإشارات الحتمية
- PSD يعطي توزيع الطاقة المتوسط للإشارات العشوائية
- دائمًا حقيقية القيمة وغير سالبة
- الوحدات: واط/هرتز أو V²/هرتز (أو dBm/Hz عمليًا)
2 / 9
DSP 101
M9 · L1
مبرهنة وينر-خينتشين
PSD = DTFT للارتباط الذاتي
كثافة الطيف الطاقي هي تحويل فورييه للارتباط الذاتي — رابط عميق بين الترابط الزمني والبنية الطيفية.
Wiener-Khinchin
S_{xx}(\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} R_{xx}[k]\, e^{-j\omega k}
الحدس
ارتباط ذاتي قصير → PSD عريض ومسطّح. ارتباط ذاتي يتحلل ببطء → تركّز عند الترددات المنخفضة
3 / 9
DSP 101
M9 · L1
علاقة الطاقة
المساحة تحت PSD = الطاقة الكلية
تكامل PSD على جميع الترددات يُعطي الطاقة الكلية للإشارة.
R[0]
الطاقة الكلية
∫S(ω)
تكامل PSD
=
متساويان دائمًا
- مقياس dB: 10·log₁₀(S(f)) — يُظهر المركّبات القوية والضعيفة
- PSD مسطّح → ضوضاء بيضاء (طاقة متساوية عند كل تردد)
- PSD ذو ذروة → ضوضاء ملوّنة أو إشارة نغمية
4 / 9
DSP 101
M9 · L1
اصطلاحان
أحادي الجانب مقابل ثنائي الجانب
الإشارات الحقيقية لها PSD متماثل (S(ω) = S(−ω))، لذا يحمل كلا الاصطلاحين نفس المعلومات — لكن القيم تختلف.
- ثنائي الجانب: يغطّي [−π, π] — المساحة = الطاقة الكلية
- أحادي الجانب: يغطّي [0, π] — القيم مضاعَفة (G = 2S)
- محللات الطيف ودالة pwelch() تُرجع أحادي الجانب افتراضيًا
- الإشارات المركّبة (I/Q) تستلزم PSD ثنائي الجانب
- فارق 3 dB عند الخلط بين الاصطلاحين!
5 / 9
DSP 101
M9 · L1
تقدير PSD
الدورية (Periodogram)
أبسط تقدير لـ PSD من بيانات محدودة: مربع سعة DFT مقسومًا على N. بسيط لكن به عيب جوهري.
Periodogram
\hat{S}(\omega) = \frac{1}{N}\left|\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j\omega n}\right|^2
نقطة الضعف الجوهرية
التباين يظل ~١٠٠٪ بغض النظر عن حجم البيانات. المزيد من البيانات = دقة ترددية أعلى، لا ضوضاء أقل
6 / 9
DSP 101
M9 · L1
الاستخدامات العملية
أين تُهمّ PSD
- قاع الضوضاء: الضوضاء الحرارية عند −174 dBm/Hz على 290 K
- كشف الإشارات: ذرى طيفية فوق قاع الضوضاء
- القناة اللاسلكية: ملف التلاشي الانتقائي بالتردد
- الصوتيات: رنين الغرف، توافقيات الآلات
- الاهتزازات: رنين ميكانيكي، كشف الاختلال
- EEG: نطاقات إيقاع الدماغ (δ، θ، α، β، γ)
7 / 9
DSP 101
M9 · L1
أبرز النقاط
ما تعلّمته
- PSD = متوسط توزيع الطاقة عبر الترددات للإشارات العشوائية
- وينر-خينتشين: PSD هو DTFT لمتتالية الارتباط الذاتي
- تكامل PSD = الطاقة الكلية (المساحة = R_xx[0])
- أحادي الجانب يُضاعف قيم ثنائي الجانب؛ خطأ 3 dB عند الخلط
- الدورية بسيطة لكن ذات تباين مرتفع — الدرس القادم: طريقة ويلش
- الضوضاء البيضاء PSD مسطّح؛ الحدّ الحراري ≈ −174 dBm/Hz على 290 K
9 / 9
1 / 8
صامت