كثافة الطيف الطاقي | DSP-101

ما هي كثافة الطيف الطاقي؟

عندما نحلّل إشارةً في نطاق التردد باستخدام تحويل فورييه المتقطع (DFT)، نرى سعة وطور كل مركّبة ترددية. لكن بالنسبة للإشارات العشوائية أو الاحتمالية — كالضوضاء والكلام والاهتزازات وقنوات الاتصال اللاسلكي — يفقد مفهوم الطيف الحتمي معناه. فهذه الإشارات لا تتكرر بنفس الشكل أبدًا، ويبدو تحويل فورييه لها مختلفًا في كل مرة.

ما يظل ثابتًا عبر مختلف التحقيقات هو التوزيع الإحصائي للطاقة عبر الترددات. وهذا ما تصفه كثافة الطيف الطاقي (PSD): دالة S(f) تبيّن مقدار طاقة الإشارة المتركّزة في المتوسط عند كل تردد. فكّر فيها على أنها "خريطة الطاقة المتوسطة" للعملية العشوائية.

تُجيب كثافة الطيف الطاقي على أسئلة لا يستطيع تحويل فورييه المنفرد الإجابة عنها: أيّ نطاق ترددي يهيمن على قاع الضوضاء؟ ما اتساع إشارة التداخل؟ أين يُخمّد القناة طاقة الإشارة؟ هذه أسئلة جوهرية في الاتصالات وهندسة الصوت والرادار ومعالجة الإشارات الطبية الحيوية.

مبرهنة وينر-خينتشين

الأساس الرياضي لكثافة الطيف الطاقي هو مبرهنة وينر-خينتشين، التي تربط PSD بدالة الارتباط الذاتي للإشارة. بالنسبة لعملية عشوائية ذات ثبات إحصائي واسع x[n]، تُعرَّف متتالية الارتباط الذاتي كالتالي:

متتالية الارتباط الذاتي

R_{xx}[k] = E\bigl[x[n]\,x^*[n-k]\bigr]

R_xx[k] يقيس مدى تشابه الإشارة مع نسخة منزاحة زمنيًا منها. عند k=0 يساوي مجموع طاقة الإشارة الكلية. E[·] تعني القيمة المتوقعة إحصائيًا.

تنص مبرهنة وينر-خينتشين على أن كثافة الطيف الطاقي هي تحويل فورييه للوقت المتقطع (DTFT) لمتتالية الارتباط الذاتي:

مبرهنة وينر-خينتشين

S_{xx}(\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} R_{xx}[k]\, e^{-j\omega k}

S_xx(ω) هي كثافة الطيف الطاقي كدالة للتردد الزاوي ω ∈ [−π, π]. وهي دالة حقيقية القيمة وغير سالبة في كل مكان — فهي تمثّل طاقة لا سعة.

هذه المبرهنة عميقة المعنى: فهي تخبرنا أن البنية الطيفية للإشارة العشوائية مُشفَّرة بالكامل في ارتباطها الذاتي. فإشارة ذات ارتباط ذاتي ضيّق (تفقد ترابطها بسرعة) تمتلك كثافة طيفية عريضة ومسطّحة — وهي بيضاء طيفيًا. أما إشارة ذات ارتباط ذاتي يتحلل ببطء فإن معظم طاقتها تتركّز عند الترددات المنخفضة.

الوحدات والتفسير

تُقاس كثافة الطيف الطاقي بوحدة الطاقة لكل وحدة تردد. في الزمن المستمر، تكون الوحدة واط/هرتز (أو V²/هرتز للإشارات الجهدية). في الزمن المتقطع، يُقيَّس محور التردد على الفترة [−π, π] (راديان/عيّنة) أو [−f_s/2, f_s/2] (هرتز). العلاقة الجوهرية هي:

الطاقة الكلية من كثافة الطيف الطاقي

P = R_{xx}[0] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} S_{xx}(\omega)\, d\omega

يؤدّي تكامل كثافة الطيف الطاقي على جميع الترددات إلى استرداد الطاقة الكلية للإشارة — أي المساحة تحت منحنى PSD تساوي R_xx[0]، الارتباط الذاتي عند إزاحة صفرية.

في التطبيق العملي، تُعرض كثافة الطيف الطاقي كثيرًا على مقياس الديسيبل (dB/Hz) لإظهار المركّبات القوية والضعيفة معًا. فقاع ضوضاء أدنى بـ 60 dB من ذروة الإشارة لن يُرى على مقياس خطي، لكنه يظهر بوضوح بالديسيبل. صيغة التحويل: S_dB(f) = 10 · log₁₀(S(f)).

كثافة الطيف الطاقي أحادية ومزدوجة الجانب

بالنسبة لإشارة حقيقية x[n]، تكون كثافة الطيف الطاقي متماثلة: S_xx(ω) = S_xx(−ω). هذا يعني أن PSD عند الترددات السالبة يحتوي على نفس المعلومات تمامًا كالترددات الموجبة. لذلك توجد اصطلاحيتان:

ثنائية الجانب (Two-Sided)

مُعرَّفة على [−π, π] أو [−f_s/2, f_s/2]
المساحة الكلية = الطاقة الكلية
تُستخدم في الاشتقاقات النظرية والإشارات المركّبة
ضرورية للإشارات المركّبة (بيانات I/Q)
الافتراضي في معظم المعالجات الرياضية

أحادية الجانب (One-Sided)

مُعرَّفة على [0, π] أو [0, f_s/2]
تُضاعَف القيم للحفاظ على الطاقة: G(f) = 2S(f)
أكثر وضوحًا للقياسات العملية
تستخدمها محللات الطيف وأدوات القياس
الافتراضي في دالة pwelch() في MATLAB

تحقّق دائمًا من الاصطلاح المستخدم

عند مقارنة قيم PSD من أدوات أو كتب مختلفة، تأكّد من الاصطلاح المستخدم: أحادي أم ثنائي الجانب. كثيرًا ما يُعزى فارق 3 dB إلى هذا الخلط. دالة pwelch() في MATLAB تُرجع PSD أحادية الجانب افتراضيًا، وكذلك دالة scipy.signal.welch() في Python.

PSD أحادية الجانب = 2 × PSD ثنائية الجانب (عند كل تردد موجب)

تقدير كثافة الطيف الطاقي من بيانات محدودة

كثافة الطيف الطاقي الحقيقية كمية نظرية مُعرَّفة بقيمة منتظرة على جميع تحقيقات العملية العشوائية. في الممارسة، لدينا فقط سجل بيانات محدود x[0], x[1], …, x[N−1]. أبسط مُقدِّر هو الدورية (Periodogram):

الدورية (Periodogram)

\hat{S}(\omega) = \frac{1}{N}\left|\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j\omega n}\right|^2

X_N(ω) هو DFT للإطار ذي N عيّنة. القسمة على N تُقيّس حسب طول البيانات. يُعطي مُقدِّرًا غير متحيّز بصورة مقاربة لكن بتباين مرتفع.

يعاني مُقدِّر الدورية من نقطة ضعف جوهرية: تباينه لا يتناقص مع زيادة N. بغض النظر عن كمية البيانات التي تجمعها، تظل الدورية صاخبة — فكل تقدير طيفي يتذبذب بحوالي ١٠٠٪ حول قيمته المتوقعة. للحصول على تقديرات PSD موثوقة، نحتاج إلى طرق أكثر تطورًا.

التطبيقات العملية

كثافة الطيف الطاقي ليست مجرد نظرية — فهي الأداة الأساسية لتوصيف الطيف في كل مجالات معالجة الإشارات تقريبًا:

التطبيق	ما تكشفه PSD	المعامل الرئيسي
توصيف الضوضاء	قاع الضوضاء الحرارية، شكل الضوضاء الملوّنة	كثافة طاقة الضوضاء (dBm/Hz)
كشف الإشارات	ذرى طيفية فوق قاع الضوضاء	نسبة SNR لكل خانة ترددية
قناة لاسلكية	ملف التلاشي الانتقائي بالتردد	عرض نطاق التماسك
صوتيات	رنين الغرف، نغمات الآلات	مركز الثقل الطيفي، عرض النطاق
تحليل الاهتزازات	رنين ميكانيكي، عدم توازن	الترددات الذروية، RMS لكل نطاق
طبي (EEG)	نطاقات إيقاع الدماغ (δ، θ، α، β، γ)	نسب طاقة النطاقات

مثال كلاسيكي هو الضوضاء البيضاء: إشارة عشوائية عيّناتها غير مترابطة. ارتباطها الذاتي هو نبضة مقيسة (R_xx[k] = σ² δ[k])، وكثافة طيفها مسطّحة: S_xx(ω) = σ² لجميع ω. هذا هو سبب تسميتها "بيضاء" — قياسًا بالضوء الأبيض الذي يحتوي على جميع ترددات الطيف المرئي بالتساوي.

الضوضاء البيضاء وقاع الضوضاء

في تصميم أجهزة استقبال الاتصالات، تبلغ كثافة طاقة الضوضاء الحرارية N₀/2 واط/هرتز (ثنائية الجانب)، حيث N₀ = kT (ثابت بولتزمان × درجة الحرارة). عند درجة حرارة الغرفة (T = 290 K)، N₀ ≈ −174 dBm/Hz — وهو حدّ قاع الضوضاء العالمي. يجب أن تكون أي مركّبة إشارة فوق هذا القاع لتكون قابلة للكشف دون تكثيف استثنائي.

قاع الضوضاء الحرارية: N₀ = kT ≈ −174 dBm/Hz عند 290 K

أبرز النقاط

كثافة الطيف الطاقي (PSD) تصف كيفية توزيع طاقة الإشارة على الترددات — الأداة الأساسية لتوصيف الإشارات العشوائية.
مبرهنة وينر-خينتشين تربط PSD بالارتباط الذاتي: S_xx(ω) = DTFT{R_xx[k]}. وهي دالة حقيقية وغير سالبة دائمًا.
تكامل PSD على جميع الترددات يعطي الطاقة الكلية: P = R_xx[0].
للإشارات الحقيقية، PSD متماثلة حول التردد الصفري. نسخة أحادية الجانب تُضاعف قيم PSD ثنائية الجانب لتغطية الترددات الموجبة فقط.
الدورية (|DFT|²/N) أبسط مُقدِّر لـ PSD لكنه ذو تباين مرتفع لا يتناقص بزيادة البيانات.
الضوضاء البيضاء لها PSD مسطّحة — طاقة متساوية عند كل تردد. الحدّ الحراري ≈ −174 dBm/Hz عند 290 K.
تُستخدَم PSD في تحليل الضوضاء وكشف الإشارات والقنوات اللاسلكية والصوتيات والاهتزازات والتطبيقات الطبية الحيوية.