LA 101
M01 · L02
مقدمة

الأعداد والمتجهات والمصفوفات

الكائنات الأساسية الثلاثة في الجبر الخطي. كل معادلة وكل تحويل وكل خوارزمية في هذا الموضوع مبنية من الأعداد القياسية والمتجهات والمصفوفات. دعونا نتعرف عليها واحدة تلو الأخرى.

01 / 13
LA 101
M01 · L02
اللبنة الأولى

الأعداد القياسية

العدد القياسي هو مجرد رقم واحد. له مقدار فقط — لا اتجاه. درجة الحرارة والكتلة والسرعة: كلها أعداد قياسية. الاسم مشتق من "تحجيم" لأن الأعداد القياسية تُحجّم الكائنات الأخرى صعودًا أو هبوطًا.

لها
مقدار
بدون
اتجاه
02 / 13
LA 101
M01 · L02
اللبنة الثانية

المتجهات

قائمة مرتبة من الأرقام — مركبات تصف الاتجاه والمقدار. في بُعدين، المتجه له عنصران. في ثلاثة أبعاد، ثلاثة. في تعلم الآلة، يمكن أن تحتوي المتجهات على ملايين العناصر.

ترميز المتجه
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}
03 / 13
LA 101
M01 · L02
العمليات

عمليات المتجهات

عمليتان أساسيتان تُعرّفان جبر المتجهات: الجمع (مركبة بمركبة) والضرب القياسي (تمديد أو تقليص بعدد).

الفكرة الرئيسية
هاتان العمليتان هما أساس كل الجبر الخطي. كل متجه في الفضاء يمكن بناؤه منهما.
04 / 13
LA 101
M01 · L02
اللبنة الثالثة

المصفوفات

مصفوفة مستطيلة من الأرقام بها m صف وn عمود. أكثر بكثير من مجرد جدول — المصفوفات تمثّل التحويلات وأنظمة المعادلات ومجموعات البيانات.

مصفوفة m × n
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}
05 / 13
LA 101
M01 · L02
الترميز

عناصر المصفوفة

نحدد كل عنصر بـصفه وعموده. العنصر a_ij يقع في الصف i والعمود j. الأبعاد تُكتب دائمًا كـصفوف × أعمدة.

العنصر
aij
الأبعاد
m × n
06 / 13
LA 101
M01 · L02
مصفوفة خاصة

مصفوفة الوحدة

واحدات على القطر، أصفار في كل مكان آخر. الضرب بمصفوفة الوحدة لا يغيّر شيئًا — مثل ضرب عدد في واحد.

مصفوفة الوحدة
I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
07 / 13
LA 101
M01 · L02
معرض

مصفوفات خاصة

عدة أنواع من المصفوفات تظهر باستمرار في العلوم والهندسة.

  • المصفوفة الصفرية — جميع العناصر أصفار
  • القُطرية — عناصر غير صفرية فقط على القطر الرئيسي
  • المتماثلة — تساوي منقولتها
  • مصفوفة الوحدة — تحويل "لا تفعل شيئًا"
08 / 13
LA 101
M01 · L02
العمليات

عمليات المصفوفات

يمكن جمع المصفوفات عنصرًا بعنصر (يجب تطابق الأبعاد) وضربها قياسيًا بثابت. تعكس هذه العمليات ما رأيناه للمتجهات.

القاعدة
جمع المصفوفات: (A+B)_ij = A_ij + B_ij. الضرب القياسي: (cA)_ij = c · A_ij.
09 / 13
LA 101
M01 · L02
عملية أساسية

المنقولة

اقلب المصفوفة عبر قطرها — الصفوف تصبح أعمدة، والأعمدة تصبح صفوفًا. إذا كانت A بأبعاد m×n، فإن A^T بأبعاد n×m.

مثال على المنقولة
A^T_{ij} = A_{ji}
10 / 13
LA 101
M01 · L02
التأثير

لماذا هذا مهم

الأعداد القياسية والمتجهات والمصفوفات هي لغة الهندسة. كل موضوع متقدم مبني منها.

  • الإشارات هي متجهات
  • مجموعات البيانات هي مصفوفات
  • القوى هي متجهات
  • التحويلات هي مصفوفات
  • الأوزان في الشبكات العصبية هي أعداد قياسية في مصفوفات
11 / 13
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

ثلاثة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
LA 101
الخلاصة
ملخص

ماذا تعلمت

الأعداد القياسية هي أرقام مفردة. المتجهات هي قوائم مرتبة لها اتجاه ومقدار. المصفوفات هي مصفوفات مستطيلة تُرمّز التحويلات والبيانات. معًا، تشكّل أبجدية الجبر الخطي.

الدرس التالي
التفسير الهندسي ←
كل الدروس اقرأ المقالة
13 / 13