الأعداد والمتجهات والمصفوفات | LA-101

اللبنات الأساسية

قبل أن نتمكن من القيام بأي شيء ذي معنى في الجبر الخطي، نحتاج إلى فهم كائناته الأساسية الثلاثة: الأعداد القياسية (Scalars) والمتجهات (Vectors) والمصفوفات (Matrices). هذه هي ذرات الموضوع — كل مفهوم وعملية وتطبيق في الجبر الخطي مبني من هذه المكونات الثلاثة.

فكّر فيها كتسلسل هرمي. العدد القياسي هو رقم واحد. المتجه هو قائمة مرتبة من الأرقام. المصفوفة هي شبكة مستطيلة من الأرقام. تعريفات بسيطة، لكنها تفتح نطاقًا استثنائيًا من القوة الرياضية. دعونا نستكشف كل واحد منها.

الأعداد القياسية: مجرد رقم

العدد القياسي (Scalar) هو أبسط كائن في الجبر الخطي — إنه مجرد رقم واحد. قد يكون عددًا صحيحًا مثل ٥، أو عددًا حقيقيًا مثل ٣٫١٤، أو حتى عددًا مركبًا. الأعداد القياسية لها مقدار فقط — تخبرك "بالكمية" لكن ليس "بالاتجاه".

رغم بساطتها، تلعب الأعداد القياسية دورًا حاسمًا. فهي تعمل كـعوامل تحجيم: عندما تضرب متجهًا بعدد قياسي، فإنك تمدده أو تقلصه. وعندما تضرب مصفوفة بعدد قياسي، فإنك تُحجّم كل عنصر فيها. كلمة "قياسي" (Scalar) مشتقة حرفيًا من "تحجيم" (Scale) — هذه الأرقام تتحكم في الحجم.

الأعداد القياسية في السياق

درجة الحرارة والكتلة والسرعة والطاقة — هذه كلها كميات قياسية. لها قيمة لكن ليس لها اتجاه متأصل. قارن هذا بالسرعة المتجهة والقوة والإزاحة، وهي كميات متجهة لأنها تحمل المقدار والاتجاه معًا.

المتجهات: الاتجاه والمقدار

المتجه (Vector) هو قائمة مرتبة من الأرقام. في بُعدين، يحتوي المتجه على مركبتين. في ثلاثة أبعاد، ثلاث. في تعلم الآلة، يمكن أن تحتوي المتجهات على آلاف أو حتى ملايين المركبات. ما يميز المتجه هو أنه يرمّز كلًا من الاتجاه والمقدار.

نكتب المتجهات عادةً كأعمدة محاطة بأقواس. تُسمى العناصر مركبات، وتصف الإزاحة على طول كل محور. متجه ثنائي الأبعاد يخبرك بالمسافة أفقيًا وعموديًا. ومتجه ثلاثي الأبعاد يضيف العمق.

ترميز المتجه

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}

متجه ثنائي الأبعاد بمركبتين x و y، وامتداده إلى n بُعد

تدعم المتجهات عمليتين أساسيتين. جمع المتجهات يجمع متجهين مركبة بمركبة — هندسيًا، هذه هي قاعدة الرأس إلى الذيل. الضرب القياسي يمدد أو يقلص المتجه بعامل ثابت. إذا ضربت بعدد قياسي سالب، ينعكس اتجاه المتجه.

جمع المتجهات

\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{bmatrix}

جمع المركبات المتناظرة

الضرب القياسي

c \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \end{bmatrix}

ضرب كل مركبة بالعدد c

المصفوفات: مصفوفات مستطيلة

المصفوفة (Matrix) هي مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة. مصفوفة m × n تحتوي على m صف و n عمود. نشير إلى العناصر الفردية باستخدام ترميز الأدلة السفلية: a_ij هو العنصر في الصف i والعمود j.

المصفوفات أكثر بكثير من مجرد جداول بيانات. إنها تمثّل تحويلات خطية وأنظمة معادلات ومجموعات بيانات واتصالات شبكية. عندما تضرب مصفوفة بمتجه، فإنك تحوّل ذلك المتجه. وعندما تضرب مصفوفتين معًا، فإنك تركّب تحويلين في واحد.

ترميز المصفوفة

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

مصفوفة m × n بعناصر a_ij — الصف i والعمود j

مصفوفات خاصة

بعض المصفوفات تظهر بشكل متكرر لدرجة أن لها أسماء خاصة. مصفوفة الوحدة (Identity Matrix) I هي مصفوفة مربعة بها واحدات على القطر وأصفار في كل مكان آخر. ضرب أي متجه أو مصفوفة بـ I يتركه دون تغيير — إنها تحويل "لا تفعل شيئًا".

المصفوفة الصفرية جميع عناصرها تساوي صفرًا — تُحوّل كل متجه إلى المتجه الصفري. المصفوفة القُطرية لها عناصر غير صفرية فقط على القطر الرئيسي، تُحجّم كل محور بشكل مستقل. المصفوفة المتماثلة تساوي منقولتها: A = A^T، أي أنها منعكسة عبر القطر.

مصفوفة الوحدة

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad I\mathbf{v} = \mathbf{v}

مصفوفة الوحدة — واحدات على القطر، أصفار في كل مكان آخر. I·v = v لأي متجه v.

عمليات المصفوفات

تدعم المصفوفات عدة عمليات أساسية. الجمع يعمل عنصرًا بعنصر، تمامًا مثل جمع المتجهات — لكن يجب أن يكون للمصفوفتين نفس الأبعاد. الضرب القياسي يُحجّم كل عنصر بثابت.

منقولة (Transpose) المصفوفة، المكتوبة A^T، تقلب المصفوفة عبر قطرها — الصفوف تصبح أعمدة والأعمدة تصبح صفوفًا. إذا كانت A بأبعاد m × n، فإن A^T بأبعاد n × m. المنقولة أساسية في الإحصاء والتحسين وحيثما تنشأ علاقات متماثلة.

المنقولة

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \;\Rightarrow\; A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

نقل المصفوفة يبدّل الصفوف والأعمدة — (A^T)_ij = A_ji

لماذا هذه اللبنات مهمة

الأعداد القياسية والمتجهات والمصفوفات ليست مجرد كائنات مجردة — إنها اللغة الأساسية للهندسة والعلوم. في معالجة الإشارات، الإشارة هي متجه. في تعلم الآلة، مجموعة البيانات هي مصفوفة. في الفيزياء، القوى هي متجهات والتحويلات هي مصفوفات.

فهم هذه اللبنات بعمق أمر ضروري لأن كل موضوع متقدم في الجبر الخطي — القيم الذاتية والتحليلات وطريقة المربعات الصغرى وتحليل القيم المفردة — يُعبَّر عنه بلغة الأعداد القياسية والمتجهات والمصفوفات. أتقنها الآن، وكل مفهوم مستقبلي سيبدو طبيعيًا.

في الدرس التالي، سنستكشف فضاءات المتجهات والاستقلال الخطي — القواعد التي تحكم كيف تتجمع المتجهات ومفهوم البُعد الذي ينشأ من تلك القواعد.

النقاط الرئيسية

العدد القياسي هو رقم واحد له مقدار فقط — يُحجّم المتجهات والمصفوفات.
المتجه هو قائمة مرتبة من الأرقام تُرمّز الاتجاه والمقدار — الكائن الأساسي في الجبر الخطي.
المصفوفة هي مصفوفة مستطيلة من الأرقام تمثّل التحويلات والأنظمة والبيانات.
المصفوفات الخاصة كمصفوفة الوحدة والصفرية والقُطرية والمتماثلة تظهر في كل مكان في العلوم والهندسة.
المنقولة تقلب المصفوفة عبر قطرها، محوّلة الصفوف إلى أعمدة — عملية أساسية في التحسين والإحصاء.