LA 101
M02 · L01
الوحدة 2

ما هي المصفوفة؟

كانت المتجهات أسهمًا. الآن نرتب الأرقام في مستطيلات ونكتشف القدرة على وصف أنظمة كاملة دفعة واحدة. مرحبًا بك في عالم المصفوفات.

01 / 13
LA 101
M02 · L01
التعريف

شبكة من الأرقام

المصفوفة هي مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة. فكر فيها كجدول بيانات: كل خلية تحتوي على رقم واحد، والموضع مهم.

مصفوفة 2×3
A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{bmatrix}
02 / 13
LA 101
M02 · L01
الشكل

أبعاد المصفوفة

المصفوفة m × n لها m صف و n عمود. دائمًا الصفوف أولًا ثم الأعمدة. مصفوفة 3×2 لها 3 صفوف وعمودان — أي 6 عناصر إجمالًا.

الصفوف
m
الأعمدة
n
الإجمالي
m×n
03 / 13
LA 101
M02 · L01
الاصطلاح

ترميز المصفوفة

نسمي المصفوفات بأحرف كبيرة عريضة: A، B، M. العناصر الفردية تُكتب بأحرف صغيرة مع أرقام سفلية: aij هو العنصر في الصف i والعمود j.

ترميز العناصر
A = [a_{ij}] \quad \text{where } 1 \le i \le m,; 1 \le j \le n
04 / 13
LA 101
M02 · L01
المنظور 1

الأعمدة كمتجهات

كل مصفوفة هي مجموعة من متجهات الأعمدة متراصة جنبًا إلى جنب. مصفوفة 3×2 تحتوي على متجهي عمود، كل منهما بثلاثة مكونات. هذا المنظور أساسي لفهم ضرب المصفوفة بمتجه.

عرض الأعمدة
A = \begin{bmatrix} \mid & \mid \\ \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 \\ \mid & \mid \end{bmatrix}
05 / 13
LA 101
M02 · L01
المنظور 2

الصفوف كمتجهات

اقلب المنظور: المصفوفة أيضًا رزمة من متجهات الصفوف. كل صف يمثل معادلة واحدة، أو نقطة بيانات، أو قيدًا. الصفوف والأعمدة تقدم منظورين مزدوجين لنفس البيانات.

عرض الأعمدة
التحويل
عرض الصفوف
القيود
06 / 13
LA 101
M02 · L01
مصفوفات خاصة

مصفوفة الوحدة

مصفوفة الوحدة I تحتوي على 1 على القطر و0 في كل مكان آخر. هي مصفوفة “لا تفعل شيئًا”: اضرب أي مصفوفة في I ولن يتغير شيء. هي المكافئ المصفوفي للضرب في 1.

مصفوفة وحدة 3×3
I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
07 / 13
LA 101
M02 · L01
مصفوفات خاصة

الصفرية والقطرية

المصفوفة الصفرية جميع عناصرها أصفار — المكافئ المصفوفي للعدد صفر. المصفوفة القطرية لها عناصر غير صفرية فقط على القطر الرئيسي. المصفوفات القطرية بسيطة لكنها قوية: تقوم بتحجيم كل إحداثي بشكل مستقل.

  • الصفرية: A + 0 = A
  • القطرية: تحجيم كل محور
  • الوحدة: قطرية خاصة (كلها 1)
08 / 13
LA 101
M02 · L01
مصفوفات خاصة

المصفوفات المتماثلة

المصفوفة متماثلة إذا كانت تساوي منقولتها: A = AT. العنصر في الصف i والعمود j يساوي العنصر في الصف j والعمود i. تظهر المصفوفات المتماثلة في كل مكان: جداول المسافات، مصفوفات التغاير، الرسوم البيانية.

شرط التماثل
A = A^T ;\Longleftrightarrow; a_{ij} = a_{ji} ;\forall\, i,j
09 / 13
LA 101
M02 · L01
عملية

المنقولة

منقولة المصفوفة AT تقلب المصفوفة على قطرها: الصفوف تصبح أعمدة والأعمدة تصبح صفوفًا. مصفوفة m×n تصبح مصفوفة n×m. كأنك تدير الشبكة 90° وتعكسها.

المنقولة
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}
10 / 13
LA 101
M02 · L01
العالم الحقيقي

المصفوفات في كل مكان

كل صورة رقمية هي مصفوفة من قيم البكسل. كل طبقة في شبكة عصبية هي عملية ضرب مصفوفات. كل جدول بيانات هو مصفوفة. حين تراها، لن تستطيع تجاهلها.

  • الصور: شبكات بكسل (ارتفاع × عرض)
  • تعلم الآلة: مصفوفات الأوزان
  • الرسوميات: مصفوفات التحويل
  • الفيزياء: موتر الإجهاد، القصور الذاتي
  • البيانات: صفوف = عينات، أعمدة = سمات
11 / 13
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
LA 101
M02 · L01
قادم

التالي: عمليات المصفوفات

الآن بعد أن عرفنا ما هي المصفوفة، سنتعلم ما يمكننا فعله بها — الجمع، الضرب بعدد، وحاصل ضرب المصفوفة بمتجه الأهم على الإطلاق.

الدرس التالي
← عمليات المصفوفات
كل الدروس اقرأ المقالة
13 / 13