المعكوس والمحدد
كل مصفوفة تمثّل تحويلًا. لكن هل يمكن عكسه؟ المعكوس والمحدد يجيبان على هذا بطريقتين متكاملتين — أحدهما جبريًا والآخر هندسيًا.
عكس التحويل
المعكوس A⁻¹ يحقق هوية ثنائية الجانب:
تطبيق A ثم A⁻¹ — أو العكس — يُعيدك إلى نقطة البداية. ليست كل المصفوفات قابلة للعكس؛ تلك التي لا معكوس لها تُسمى شاذة.
متى يوجد المعكوس؟
هذه الشروط الثلاثة متكافئة — أي منها يستلزم الآخرين. المصفوفة الشاذة "تُبعد" الفضاء مما يجعل العكس مستحيلًا.
صيغة المعكوس
لمصفوفة 2×2، المعكوس مختصر:
الوصفة: أبدل القطر (a↔d)، اعكس خارج القطر (b, c)، اقسم على det = ad − bc.
الاختزال الصفي للعكس
لأي حجم: كوّن المصفوفة الموسّعة [A | I] ثم اختزلها.
قواعد العكس
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — يتعكس الترتيب (قاعدة الحذاء والجورب)
- (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ — المنقول والمعكوس يتبادلان
- (A⁻¹)⁻¹ = A — عكس المعكوس مرتين يُعيد الأصل
- (cA)⁻¹ = (1/c)A⁻¹ — الثوابت تُعكس
المحدد = معامل التحجيم
|det(A)| يقيس المعامل الذي يُكبّر به التحويل المساحات (ثنائيًا) أو الأحجام (ثلاثيًا). الإشارة تُخبرك ما إذا حُفظت الاتجاهية (موجبة) أو قُلبت (سالبة). det = 0 يعني الإبعاد — لا معكوس ممكن.
صيغتا 2×2 و3×3
لمصفوفة 3×3: استخدم التوسع بالمرافقات على أي صف. كل عنصر يضرب محددًا فرعيًا 2×2 مع إشارات متناوبة ±. وتتعمم الطريقة لأي بُعد.
قواعد المحدد
- det(Aᵀ) = det(A)
- det(A⁻¹) = 1/det(A)
- إبدال الصفوف ينفي المحدد؛ ضرب صف في ثابت يضربه
النقاط الرئيسية
- A⁻¹ موجود ↔ A مربعة، رتبة كاملة، det(A) ≠ 0
- معكوس 2×2: أبدل القطر، اعكس الجانب، اقسم على det
- المعكوس العام: اختزل [A | I] للحصول على [I | A⁻¹]
- المحدد يقيس تغيير الحجم؛ الإشارة تُشير إلى قلب الاتجاهية
- det(AB) = det(A)·det(B) — معاملات التحجيم تتضاعف
الوحدة 3: أنظمة المعادلات
مع وجود A⁻¹، حل Ax = b هو مفاهيميًا مجرد x = A⁻¹b. لكن حساب المعكوسات مكلف. الوحدة 3 تُريك كيف يحل الاختزال الغاوسي الأنظمة مباشرةً — أسرع، أكثر استقرارًا، ويكشف بنية الحلول حين لا تكون وحيدة.