التحويلات الخطية

المصفوفات دوال

في الدروس السابقة، تعلمنا كيفية تنظيم البيانات في مصفوفات وإجراء عمليات مثل الجمع والضرب. الآن نقفز قفزة مفاهيمية: كل مصفوفة دالة. تحديدًا، هي تحويل خطي — دالة تُعيِّن المتجهات إلى متجهات بطريقة تحفظ البنية الجبرية لفضاء المتجهات.

عندما تضرب المصفوفة A في المتجه x، لا تُجري حسابًا فحسب — بل تُطبِّق تحويلًا هندسيًا على المتجه. المصفوفة A "تحرّك" x إلى موقع جديد في الفضاء: Ax هي صورة x تحت التحويل.

التعريف: ما الذي يجعل تحويلًا ما خطيًا؟

الدالة T من ℝⁿ إلى ℝᵐ تُسمى تحويلًا خطيًا إذا استوفت خاصيتين لجميع المتجهات u, v ∈ ℝⁿ وجميع الأعداد القياسية c:

الإضافية: T(u + v) = T(u) + T(v)
التجانس: T(cu) = c · T(u)

يمكن دمج الخاصيتين في عبارة واحدة: T(αu + βv) = αT(u) + βT(v) لجميع الأعداد α, β. هذا يعني أن T تتبادل مع التراكيب الخطية.

الحدس الهندسي

التحويل الخطي هو الذي يُعيِّن الخطوط إلى خطوط (أو يُطوي بعضها إلى نقاط)، يُبقي الأصل ثابتًا، ويحفظ التوازي. الخطوط المستقيمة تبقى مستقيمة. خطوط الشبكة تبقى متوازية ومتباعدة بشكل منتظم (رغم أنها قد تكون مدارة أو مُحجَّمة). التشوهات غير الخطية — كالانحناء أو الالتواء — غير مسموحة.

كل مصفوفة تحويل خطي

المبرهنة الأساسية التي تربط المصفوفات والتحويلات الخطية:

حاصل ضرب المصفوفة-متجه

T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}

كل مصفوفة m×n تُعرِّف تحويلًا خطيًا T: ℝⁿ → ℝᵐ عبر T(x) = Ax. وبالمقابل، كل تحويل خطي من ℝⁿ إلى ℝᵐ يمكن تمثيله بمصفوفة m×n. المصفوفات والتحويلات الخطية وصفان لنفس الكيان الرياضي.

قراءة التحويل من مصفوفته

الرؤية المحورية هي: أعمدة A هي صور متجهات القاعدة القياسية. في ℝ²، متجهات القاعدة القياسية هي e₁ = [1, 0]ᵀ و e₂ = [0, 1]ᵀ. إذا كانت A = [a₁ | a₂]، فإن:

A·e₁ = a₁ (العمود الأول): e₁ تنتقل إلى العمود الأول من A.
A·e₂ = a₂ (العمود الثاني): e₂ تنتقل إلى العمود الثاني من A.

بمجرد معرفة وجهة متجهات القاعدة، تعرف وجهة كل شيء — لأن أي متجه تركيب خطي من متجهات القاعدة، وعلى T حفظ التراكيب الخطية.

تحويلات ثنائية الأبعاد الشائعة

الدوران (θ عكس ع. الساعة)

[[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]]

يدوّر كل متجه عكس عقارب الساعة بزاوية θ. det = 1.

التحجيم

[[a, 0], [0, d]]

يمد محور x بعامل a، ومحور y بعامل d. det = ad.

الانعكاس (محور x)

[[1, 0], [0, −1]]

يقلب المستوى رأسيًا. det = −1.

القص الأفقي

[[1, k], [0, 1]]

يميل المستوى يمينًا. det = 1.

الإسقاط (محور x)

[[1, 0], [0, 0]]

يُلغي مكوّن y. det = 0.

الهوية

[[1, 0], [0, 1]]

تُعيِّن كل متجه لنفسه. det = 1.

مصفوفة الدوران

مصفوفة الدوران من أجمل مصفوفات الجبر الخطي. لتدوير e₁ = [1,0]ᵀ عكس عقارب الساعة بزاوية θ، ينتقل إلى [cosθ, sinθ]ᵀ. لتدوير e₂ = [0,1]ᵀ، ينتقل إلى [−sinθ, cosθ]ᵀ. نضع هذه كأعمدة:

مصفوفة الدوران

R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

ملاحظة: det(R_θ) = cos²θ + sin²θ = 1 لجميع θ. الدوران لا يغيّر المساحة أو الحجم أبدًا. أيضًا R_θᵀ = R_θ⁻¹ = R_−θ: المنقولة لمصفوفة الدوران هي معكوسها. المصفوفات بهذه الخاصية تُسمى متعامدة.

التركيب: ضرب المصفوفات هو تركيب الدوال

لنفرض أنك تريد تطبيق التحويل A أولًا ثم B. في رمز الدوال: B(A(x)) = (B∘A)(x). في رمز المصفوفات: (BA)x فحسب. ضرب المصفوفات يُشفِّر تركيب التحويلات.

هذا يعطي معنًى هندسيًا لضرب المصفوفات. مثلًا:

الدوران بـ 90° ثم الانعكاس تحويل مختلف عن الانعكاس ثم الدوران بـ 90°.
التحجيم ثم الدوران مختلف عن الدوران ثم التحجيم (إذا اختلفت عوامل التحجيم).

المصفوفة الأيمن في الجداء تُطبَّق أولًا. في BA، تُطبَّق A أولًا ثم B. لهذا ضرب المصفوفات غير تبادلي بشكل عام: AB ≠ BA لأن "افعل A ثم B" مختلف عمومًا عن "افعل B ثم A".

التحويلات القابلة للعكس والمحدد

التحويل الخطي T قابل للعكس إذا وُجد تحويل T⁻¹ بحيث T⁻¹(T(x)) = x لجميع x. هندسيًا: T قابل للعكس إذا وفقط إذا لم "يُطوِ" الفضاء — يُعيِّن مدخلات مختلفة إلى مخرجات مختلفة دون فقدان معلومات.

المعيار الجبري هو المحدد:

محدد 2×2

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

|det(A)| يقيس العامل الذي به تُحجِّم A المساحات (في 2D) أو الأحجام (3D). إذا كان det(A) > 0، تُحفَظ الاتجاهية. إذا كان det(A) < 0، تعكس الاتجاهية. إذا كان det(A) = 0، ينهار الفضاء في بُعد أدنى — التحويل غير قابل للعكس.

أمثلة للمحددات في التحويلات الشائعة:

الدوران: det = 1 (المساحات محفوظة، الاتجاهية محفوظة)
الانعكاس: det = −1 (المساحات محفوظة، الاتجاهية معكوسة)
التحجيم بـ (a, d): det = ad (المساحات تُضرب في ad)
الإسقاط على محور x: det = 0 (ينهار ℝ² على خط — غير قابل للعكس)

تطبيقات التحويلات الخطية

تظهر التحويلات الخطية في كل مكان في الرياضيات التطبيقية:

رسومات الكمبيوتر: مصفوفات الدوران والتحجيم والإسقاط ثلاثية الأبعاد تحوّل الأجسام 3D إلى شاشات 2D. كل إطار تُعرضه GPU يتضمن ملايين من عمليات ضرب المصفوفات-المتجهات.
معالجة الإشارات: تحويل فورييه المنفصل (DFT) تحويل خطي من العينات الزمنية إلى معاملات الترددات. المرشحات مؤثرات خطية.
التعلم الآلي: كل طبقة في الشبكة العصبية تُطبِّق تحويلًا خطيًا (مصفوفة الأوزان) تعقبه دالة تفعيل غير خطية.
الروبوتات: الكينماتيكا الأمامية تستخدم مصفوفات الدوران والترجمة لحساب موضع الذراع الآلي من زوايا المفاصل.
ميكانيكا الكم: الحالات الكمومية متجهات في فضاء هيلبرت، والمؤثرات الكمومية تحويلات خطية. القياس إسقاط.

أهم النقاط

كل مصفوفة تمثل تحويلًا خطيًا: دالة على المتجهات تحفظ الجمع والضرب القياسي. أعمدة المصفوفة تكشف وجهة متجهات القاعدة القياسية تحت التحويل. الدوران والتحجيم والانعكاس والقص والإسقاط كلها تحويلات خطية بصيغ مصفوفات محددة. ضرب المصفوفات هو تركيب التحويلات — المصفوفة الأيمن تعمل أولًا. المحدد يقيس تغيير المساحات: det = 0 يعني الانهيار (غير قابل للعكس)، |det| = 1 يعني الحفاظ على المساحة.