المعكوس والمحدد

عكس التحويل

في الدرس السابق رأينا أن كل مصفوفة تمثّل تحويلًا خطيًا. سؤال طبيعي يطرح نفسه: هل يمكن عكس ذلك التحويل؟ إذا كانت A تحوّل المتجه x إلى Ax، فهل توجد مصفوفة تُعيد Ax إلى x؟

هذه العملية العكسية — إن وُجدت — هي معكوس المصفوفة، ويُكتب A⁻¹. وهو يحقق A⁻¹A = AA⁻¹ = I، حيث I هي مصفوفة الهوية (التحويل الذي يُبقي كل متجه في مكانه). تطبيق A ثم A⁻¹ (أو العكس) يُعيدك إلى نقطة البداية.

تعريف المعكوس

A^{-1}A = AA^{-1} = I

تُقال المصفوفة A قابلةً للعكس (أو غير شاذة) إذا وُجدت مصفوفة A⁻¹ يُحقق كلا الضربَين مصفوفة الهوية. ليست كل المصفوفات المربعة لديها معكوس — فقط تلك التي لا "تُبعثر" الفضاء.

متى يوجد المعكوس؟

يوجد المعكوس بالضبط حين تمثّل المصفوفة تحويلًا قابلًا للعكس — تحويلًا يُرسل مدخلات مختلفة إلى مخرجات مختلفة دون فقدان أي معلومة. ثلاثة شروط متكافئة يجب أن تتحقق جميعها:

مربعة: يجب أن تكون المصفوفة من الشكل n × n. فقط المصفوفات المربعة يمكن أن تكون قابلة للعكس.
رتبة كاملة: يجب أن تساوي رتبة A القيمة n (جميع الأعمدة والصفوف مستقلة خطيًا).
محدد لا يساوي صفرًا: det(A) ≠ 0. المحدد يساوي صفرًا إذا وفقط إذا أبعد التحويل الفضاء إلى فضاء فرعي أقل بُعدًا.

هذه الشروط الثلاثة متكافئة: أي شرط منها يستلزم الشرطين الآخرين. المصفوفة التي لا تحقق هذه الشروط تُسمى شاذة — ولا معكوس لها.

الحدس الهندسي

تخيّل التحويل الخطي كآلة. إذا وضعت صندوقًا فيها وسحقته إلى صفحة مسطحة، لا يمكنك استعادة الصندوق الأصلي من تلك الصفحة. المصفوفة الشاذة هي بالضبط تلك الآلة التي تُرسل مدخلات متعددة إلى مخرج واحد، فلا يمكن معرفة أي مدخل أنتج أي مخرج.

حساب معكوس مصفوفة 2×2

لمصفوفة 2×2، صيغة المعكوس مختصرة وسهلة الحفظ. إذا كانت A مصفوفة بـ det(A) ≠ 0:

صيغة معكوس 2×2

A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

الوصفة: أبدل العنصرين القطريين (a و d)، اعكس إشارة العنصرين خارج القطر (b و c)، ثم اقسم كل شيء على المحدد ad − bc. تنهار هذه الصيغة حين يكون ad − bc = 0، مما يؤكد أن المصفوفات الشاذة لا معكوس لها.

حساب المعكوس بالاختزال الصفي

للمصفوفات الأكبر، تُستخدم طريقة الاختزال الصفي. كوّن المصفوفة الموسّعة [A | I] بوضع مصفوفة الهوية I بجانب A. ثم طبّق طريقة غاوس لتحويل A إلى I. كل عملية تجريها على A تُطبّقها في آنٍ واحد على I — وتتحول I إلى A⁻¹.

الخطوات:

اكتب المصفوفة الموسّعة [A | I_n]
استخدم عمليات الصفوف الأولية لاختزال النصف الأيسر إلى الصورة المختزلة
إذا أصبح النصف الأيسر I، فالنصف الأيمن هو A⁻¹
إذا ظهر صف من الأصفار في النصف الأيسر، فـ A شاذة (لا معكوس لها)

خصائص المعكوس

يخضع معكوس المصفوفة لعدة قواعد جبرية مهمة:

قاعدة الضرب

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

يتعكس الترتيب — اعكس B أولًا ثم A (كخلع الحذاء: تخلع الجوارب أولًا ثم الحذاء).

قاعدة المنقول

(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ

المعكوس والمنقول يتبادلان. منقول مصفوفة قابلة للعكس هو مصفوفة قابلة للعكس بدوره.

المعكوس المضاعف

(A⁻¹)⁻¹ = A

عكس المعكوس مرتين يُعيد المصفوفة الأصلية.

قاعدة الثابت

(cA)⁻¹ = (1/c)A⁻¹

ضرب المصفوفة في c يضرب معكوسها في 1/c (بشرط c ≠ 0).

المحدد: المعنى الهندسي

المحدد عدد قياسي يُحسب من مصفوفة مربعة ويُرمز إليه بـ det(A) أو |A|. يُخبرنا بمقدار تغيير المساحات (ثنائيًا) أو الأحجام (ثلاثيًا) تحت التحويل الخطي.

تحديدًا: إذا أخذت مربعًا وحدويًا (أو مكعبًا وحدويًا)، وطبّقت عليه التحويل، فإن المساحة (أو الحجم) الناتجة تساوي |det(A)|. إشارة det(A) تُخبرك ما إذا كانت الاتجاهية محفوظة (موجبة) أو مقلوبة (سالبة).

محدد 2×2

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

محدد 2×2 وهو ad − bc يساوي المساحة المُوجَّهة لمتوازي الأضلاع الذي يشكّله عمودا A. إذا كان det > 0، الاتجاهية محفوظة. إذا كان det < 0، يتضمن التحويل انعكاسًا. إذا كان det = 0، يتدهور متوازي الأضلاع — العمودان متوازيان (غير مستقلَّين خطيًا).

حساب محدد 3×3

يُحسب محدد 3×3 بـ التوسع وفق المُرافقات على أي صف أو عمود. التوسع على الصف الأول:

التوسع بالمرافقات 3×3

\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})

كل حد هو عنصر من الصف الأول مضروبًا في محدد 2×2 للمصفوفة الفرعية الناتجة عن حذف صف وعمود ذلك العنصر. تتناوب الإشارات: +، −، + للصف الأول، وتتبع نمط رقعة الشطرنج عبر المصفوفة بأكملها.

خصائص المحدد الرئيسية

للمحدد خصائص جبرية قوية تجعله أكثر من مجرد صيغة حسابية:

det(AB) = det(A) · det(B): محدد الضرب يساوي حاصل ضرب المحددات. تفسيره الهندسي: إذا كانت A تُكبّر المساحات بـ det(A) وكانت B تُكبّرها بـ det(B)، فإن تركيبهما يُكبّرها بـ det(A) · det(B).
det(Aᵀ) = det(A): نقل المصفوفة لا يغير محددها.
det(A⁻¹) = 1/det(A): لأن A·A⁻¹ = I وdet(I) = 1، نحصل على det(A)·det(A⁻¹) = 1.
إبدال الصفوف ينفي المحدد: إبدال أي صفين يضرب المحدد في −1.
ضرب صف في ثابت: ضرب صف في ثابت c يضرب المحدد في c.
إضافة مضاعف صف: إضافة مضاعف أحد الصفوف إلى صف آخر لا يغير المحدد.

خاصية الضرب

\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)

هذه أهم خاصية للمحدد. تُخبرنا أن "معامل تحجيم الحجم" لتركيب التحويلات هو حاصل ضرب المعاملات الفردية. كما تستلزم أن det(A) ≠ 0 ↔ A قابلة للعكس، لأن det(A)·det(A⁻¹) = 1 يستوجب أن يكونا غير صفريين.

الشذوذ: حين يفشل المعكوس

المصفوفة شاذة (غير قابلة للعكس) إذا وفقط إذا كان det(A) = 0. وهذا يقابل تحويلًا خطيًا يُبعد الفضاء إلى فضاء فرعي أقل بُعدًا — كل ℝ² يُرسَل إلى خط، أو كل ℝ³ يُرسَل إلى مستوى.

تظهر المصفوفات الشاذة في سياقات عديدة:

أحد الأعمدة مضاعف لآخر (أعمدة غير مستقلة خطيًا)
أحد الصفوف تركيب خطي من الصفوف الأخرى
مصفوفة الإسقاط (مثل [[1,0],[0,0]]) — تُلغي المركبة y كليًا
مصفوفة تمثّل نظامًا ماديًا بلا حل وحيد

التطبيقات

يظهر معكوس المصفوفة والمحدد في كل مجالات الهندسة والعلوم:

حل Ax = b: إذا كانت A قابلة للعكس، فالحل الوحيد هو x = A⁻¹b. لكن عمليًا تُستخدم طرق تحليل المصفوفات بدلًا من حساب A⁻¹ صراحةً.
قاعدة كرامر: تُعبّر عن كل مركبة من الحل كنسبة محددَين — أنيقة لكن مكلفة حسابيًا للأنظمة الكبيرة.
تغيير القاعدة: تحويلات الإحداثيات بين قواعد مختلفة تستخدم معكوس مصفوفة تغيير القاعدة.
الرسومات الحاسوبية: تحويلات الكاميرا ومصفوفات الإسقاط كثيرًا ما تُعكس لإرجاع إحداثيات الشاشة إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد.
الإحصاء: تظهر مصفوفة التباين-التغاير Σ وعكسها Σ⁻¹ في التوزيعات متعددة المتغيرات ومسافة ماهالانوبيس.

النقاط الرئيسية

تملك المصفوفة A معكوسًا A⁻¹ إذا وفقط إذا كانت مربعة وذات رتبة كاملة ومحددها لا يساوي صفرًا. لمصفوفات 2×2: A⁻¹ = (1/det)[d، −b؛ −c، a]. للمصفوفات الأكبر: اختزل [A|I]. المحدد يقيس مقدار تغيير المساحات/الأحجام: det = 0 يعني الشذوذ (إبعاد الفضاء)، |det| > 1 يعني التمدد، |det| < 1 يعني الانكماش. إشارة المحدد تُشير إلى الحفاظ على الاتجاهية أو عكسها. الخاصية الأساسية: det(AB) = det(A)·det(B).