أنواع الحلول

ثلاثة نتائج محتملة

بعد أن يحوّل الحذف الغاوسي النظام الخطي إلى الصورة الدرجية للصفوف، تحكي الصورة الدرجية المختزلة قصة كاملة عن طبيعة مجموعة الحلول. كل نظام خطي Ax = b ينتمي بالضرورة إلى إحدى ثلاث فئات:

حل وحيد

Exactly one x

كل متغير هو متغير محوري. الصورة الدرجية المختزلة هي [I|x*]. النظام متسق والحل محدد تمامًا.

لا حل

Inconsistent

يظهر صف متناقض: جميع الأصفار على اليسار وعدد غير صفري على اليمين. المستويات التي تصفها المعادلات لا تتشارك نقطة مشتركة.

حلول لا نهائية

Parametric family

يوجد على الأقل متغير حر واحد. مجموعة الحلول عبارة عن خط أو مستوى أو فضاء جزئي ذو أبعاد أعلى مُحدَّد بالمتغيرات الحرة.

القرار بين هذه الحالات الثلاث يتحدد بمقارنة عددين: رتبة مصفوفة المعاملات ورتبة المصفوفة المعززة. فهم الرتبة — وكيفية قراءتها من الصورة الدرجية المختزلة — هو المهارة المحورية لهذا الدرس.

الرتبة: العدد الأهم

رتبة المصفوفة A، التي يُرمز إليها بـ rank(A)، هي عدد مواضع المحاور في صورتها الدرجية. وهي تحسب عدد القيود المستقلة التي يفرضها النظام فعلًا — أو بعبارة مكافئة، عدد أبعاد المعلومات التي تحتويها المصفوفة.

لنظام من m معادلة في n مجهول، تحقق الرتبة: rank(A) ≤ min(m, n). الأعمدة التي لا تحتوي مواضع محاور تقابل المتغيرات الحرة — المجاهيل التي يمكن أن تأخذ أي قيمة، وتتحدد بقية المتغيرات كدوال فيها. عدد المتغيرات الحرة هو n − rank(A).

نظرية الرتبة والعدم

\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n

لأي مصفوفة A ذات أبعاد m×n، يكون عدد المتغيرات المحورية (الرتبة) مضافًا إليه عدد المتغيرات الحرة (البُعد العدمي) يساوي دائمًا n أي إجمالي عدد الأعمدة. هذه المتطابقة ركيزة أساسية في الجبر الخطي — فهي تُحدد كميًا مقدار الحرية المتبقية بعد فرض القيود.

شرط الاتساق

المصفوفة المعززة [A|b] لها عمود إضافي — الطرف الأيمن. رتبتها إما تساوي rank(A) أو تزيد عنها بواحد. هذا الفرق يحدد ما إذا كان النظام متسقًا أم لا.

اختبار الاتساق الأساسي

النظام Ax = b متسق (له حل واحد على الأقل) إذا وفقط إذا كان rank(A) = rank([A|b]). بعبارة أخرى: يجب ألا يُضيف الطرف الأيمن b موضع محور جديدًا. إذا أضاف، فستظهر في المصفوفة المعززة صفٌّ على الشكل [0 0 … 0 | c] حيث c ≠ 0، مما يعني "0 = c" — وهذا مستحيل.

هندسيًا، صفوف A تصف مستويات تشعبية في الفضاء n الأبعاد. إذا كان النظام غير متسق، فهذه المستويات لا تتقاطع في نقطة مشتركة — أي أن b يقع خارج فضاء العمود للمصفوفة A.

نظام غير متسق — صف التناقض

\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&1&4&7\\0&0&0&5\end{array}\right]

الصف الأخير يقرأ: 0·x₁ + 0·x₂ + 0·x₃ = 5، وهو مستحيل. مهما تكن قيم x₁ وx₂ وx₃، يكون الطرف الأيسر صفرًا والطرف الأيمن 5. لا حل لهذا النظام.

الحل الوحيد: الأنظمة المربعة ذات الرتبة الكاملة

النظام المربع n×n له حل وحيد بالضبط حين تكون rank(A) = n — أي حين يكون كل عمود عمود محور ولا يوجد أي متغير حر. في هذه الحالة تكون الصورة الدرجية المختزلة للمصفوفة المعززة [I|x*]، حيث I هي مصفوفة الوحدة n×n وx* هو متجه الحل الوحيد.

يقابل هذا الوضع قابلية عكس مصفوفة المعاملات A. عندما تكون A قابلة للعكس، يكون الحل الوحيد x* = A⁻¹b. محدد A غير صفري، وأعمدة A تُشكّل أساسًا لـ Rⁿ.

الحل الوحيد — صورة الصورة الدرجية المختزلة

\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&4\end{array}\right]

تُظهر الصورة الدرجية المختزلة كل متغير محددًا: x₁ = 2، x₂ = −1، x₃ = 4. ثلاثة محاور لثلاثة متغيرات — لا متغيرات حرة، لا غموض. لهذا النظام حل واحد بالضبط.

حلول لا نهائية: المتغيرات الحرة

حين يكون rank(A) = rank([A|b]) لكن rank(A) < n، يكون النظام متسقًا لكن غير محدد. يوجد n − rank(A) متغير حر، ومجموعة الحلول هي فضاء جزئي إيني في Rⁿ بهذا العدد من الأبعاد.

يُكتب الحل في الصورة البارامترية: حل خاص واحد x_p مضافًا إليه أي عنصر من الفضاء العدمي لـ A (مجموعة جميع x التي تحقق Ax = 0). تعمل المتغيرات الحرة كمعاملات — اختر لها أي قيمة، وتتحدد المتغيرات المحورية من معادلات الصورة الدرجية المختزلة.

نظام بمتغير حر واحد

\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&5\\0&1&-3&1\end{array}\right] \Rightarrow \begin{cases}x_1 = 5 - 2t \\ x_2 = 1 + 3t \\ x_3 = t\end{cases}

مع معادلتين في ثلاثة مجاهيل، يكون x₃ حرًا (لا محور في العمود 3). بوضع x₃ = t، تتحدد المتغيرات المحورية: يصبح x₁ وx₂ دوالًا في t. مجموعة الحلول خط في R³، محدد بالمعامل t ∈ R.

قراءة الحل البارامتري

من الصورة الدرجية المختزلة، كل صف محور يُعطي متغيرًا محوريًا واحدًا بدلالة المتغيرات الحرة. الإجراء هو:

حدّد جميع أعمدة المتغيرات الحرة (الأعمدة غير المحورية).
أسنِد معاملًا (t وs و...) لكل متغير حر.
عبّر عن كل متغير محوري باستخدام الصف المقابل في الصورة الدرجية المختزلة، مع تعويض قيم المعاملات.
اكتب الحل على الشكل x = x_p + t·v₁ + s·v₂ + … حيث x_p أي حل خاص وv₁، v₂، … تمتد على الفضاء العدمي.

الحل الخاص + الفضاء العدمي

الحل الكامل لـ Ax = b (عند الاتساق) هو دائمًا x = x_p + x_h، حيث x_p أي حل خاص (اضبط جميع المتغيرات الحرة على صفر للحصول على حل مريح) وx_h هو الحل العام للنظام المتجانس Ax = 0. هذه البنية الجمعية خاصية عميقة للأنظمة الخطية — وهي تشبه الطريقة التي تحمل بها المعادلات التفاضلية حلًا خاصًا مضافًا إليه حل متجانس.

شجرة القرار لتصنيف الحلول

بعد اختزال [A|b] إلى الصورة الدرجية أو الصورة الدرجية المختزلة، يكون التصنيف فوريًا. ليكن r = rank(A) وr̃ = rank([A|b]):

r̃ > r

No solution

يوجد صف تناقض. b ∉ col(A). النظام غير متسق. المستويات لا تتشارك نقطة مشتركة.

r̃ = r = n

Unique solution

متسق، لا متغيرات حرة. كل عمود محوري. A مربعة وقابلة للعكس (إذا كانت m = n).

r̃ = r < n

Infinitely many

متسق، مع n − r متغير حر. مجموعة الحلول فضاء جزئي إيني ذو (n − r) بُعدًا.

الأنظمة المتجانسة دائمًا لها حل

النظام المتجانس Ax = 0 (الطرف الأيمن = 0) متسق دائمًا — إذ يُعدّ x = 0 حلًا دائمًا، ويُسمى الحل التافه. السؤال هو: هل توجد حلول إضافية غير تافهة؟ الجواب: تنشأ حلول غير تافهة إذا وفقط إذا كانت rank(A) < n، أي إذا وجد متغير حر واحد على الأقل.

تُشكّل مجموعة حلول Ax = 0 بالكامل فضاءً جزئيًا من Rⁿ — يُسمى الفضاء العدمي (أو النواة) لـ A. بُعده هو n − rank(A)، وهو عدد يُسمى البُعد العدمي لـ A. يلتقط الفضاء العدمي بالضبط الاتجاهات التي "تُطوي" فيها A المعلومات — المتجهات التي تصبح صفرًا بعد الضرب في A.

تعريف الفضاء العدمي

\text{null}(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}

الفضاء العدمي لـ A هو مجموعة جميع المتجهات x التي تُحوّلها A إلى الصفر. إنه دائمًا فضاء جزئي — مغلق بالنسبة للجمع والضرب القياسي. بُعده (البُعد العدمي) يساوي عدد المتغيرات الحرة في النظام المتجانس Ax = 0.

مثال محلول: الحالات الثلاث

الحالة 1 — حل وحيد

النظام: x₁ + 2x₂ = 5، 3x₁ − x₂ = 1. تختزل المصفوفة المعززة إلى [I|x*] بمحاور في كلا العمودين. rank(A) = 2 = n، فالحل الوحيد هو x₁ = 1، x₂ = 2.

الحالة 2 — لا حل

النظام: x₁ + x₂ = 3، 2x₁ + 2x₂ = 7. المعادلة الثانية ضعف الأولى — لكن الطرف الأيمن 7 وليس 6. بعد الاختزال: R₂ ← R₂ − 2R₁ تُعطي [0 0 | 1]، وهو تناقض. النظام غير متسق: الخطان في المستوى متوازيان ولا يتقاطعان.

الحالة 3 — حلول لا نهائية

النظام: x₁ + x₂ + x₃ = 3، 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6. المعادلة الثانية تمامًا ضعف الأولى. بعد الاختزال، يتبقى صف غير صفري واحد فقط: [1 1 1 | 3]. rank(A) = 1، n = 3، إذن يوجد متغيران حران. بوضع x₂ = s وx₃ = t، يكون الحل x₁ = 3 − s − t — مستوى ثنائي الأبعاد في R³.

الحدس الهندسي

في R³، كل معادلة خطية تصف مستوى. مجموعة الحلول هي تقاطع هذه المستويات: نقطة (حل وحيد)، أو المجموعة الخالية (لا حل)، أو خط (متغير حر واحد)، أو مستوى (متغيران حران، أي المستويات كلها متطابقة). الرتبة تُخبرك بأبعاد "المعلومات" التي توفرها المعادلات مجتمعةً — وهندسة التقاطع تتبع مباشرةً.

الخلاصة الرئيسية

لكل نظام خطي واحدة بالضبط من ثلاثة أنواع للحلول. يحدث عدم الاتساق حين يقع b خارج فضاء العمود لـ A — وهو مكتشَف كصف تناقض في الصورة الدرجية المختزلة. الحل الوحيد يستلزم rank(A) = n أي كل متغير مثبّت بمحور. حين يكون rank(A) < n والنظام متسقًا، تُشكّل الحلول اللانهائية فضاءً جزئيًا إينيًا بمعاملات n − rank(A) متغيرًا حرًا. الحل الكامل دائمًا هو خاص مضاف إلى متجانس: x = x_p + x_h. الفضاء العدمي لـ A — مجموعة جميع حلول Ax = 0 — يُشفّر بالضبط مقدار الحرية التي يتركها النظام، وبُعده هو n − rank(A).