مسألة القيم الذاتية

اتجاه خاص

معظم المتجهات تتحول بطريقتين حين تعمل عليها مصفوفة: تُدوَّر وتُمدّ (أو تُضغط). لكن ثمة متجهات خاصة يحدث فيها شيء مثير — المصفوفة لا تفعل سوى مدّها أو ضغطها، مع بقاء اتجاهها تمامًا كما هو. تُسمى هذه المتجهات الذاتية، وعامل التكبير يُسمى القيمة الذاتية.

رسميًا، متجه غير صفري v هو متجه ذاتي للمصفوفة المربعة A إذا وُجد عددٌ سلمي λ (لامدا) بحيث:

تُسمى هذه المعادلة مسألة القيم الذاتية. العدد السلمي λ هو القيمة الذاتية والمتجه الغير صفري v هو المتجه الذاتي المرتبط به. معًا، (λ, v) يُشكّلان زوجًا ذاتيًا.

الحدس الهندسي

لفهم أهمية المتجهات الذاتية، فكّر فيما تفعله المصفوفة هندسيًا. مصفوفة الدوران تدوّر كل متجه بنفس الزاوية — لا يُحفظ أي اتجاه، فالدوران البحت ليس له متجهات ذاتية حقيقية. مصفوفة التكبير تمدّ كل شيء على طول محاور الإحداثيات — تلك المحاور هي متجهات ذاتية.

لأي مصفوفة 2×2 عامة، المتجهات الذاتية هي المحاور الطبيعية للتحويل. هي الاتجاهات التي يُراعيها التحويل ويحترمها. لو ضبطت منظومة إحداثياتك على المتجهات الذاتية، ستبدو المصفوفة كتكبير قطري بسيط — تُضرب كل محور في قيمته الذاتية.

مثال ملموس

لتكن المصفوفة A = [[3, 1], [0, 2]]. طبّق A على المتجه [1, 0]ᵀ: الناتج [3, 0]ᵀ — نفس الاتجاه، مضروبًا في 3. إذن [1, 0]ᵀ متجه ذاتي بقيمة ذاتية λ = 3. طبّق A على [1, −1]ᵀ: الناتج [2, −2]ᵀ = 2 · [1, −1]ᵀ — نفس الاتجاه، مضروبًا في 2. إذن [1, −1]ᵀ متجه ذاتي بقيمة ذاتية λ = 2. كل اتجاه آخر يُدوَّر ويُمدّ معًا.

المعادلة المميزة

لإيجاد القيم الذاتية لمصفوفة، نبدأ من معادلة القيم الذاتية Av = λv ونُعيد ترتيبها:

Av = λv → Av − λv = 0 → Av − λIv = 0 → (A − λI)v = 0

هذا نظام خطي متجانس في v. لوجود حل غير صفري، يجب أن تكون المصفوفة (A − λI) شاذة — غير قابلة للعكس، وإلا كان الحل الوحيد هو v = 0. المصفوفة تكون شاذة إذا وفقط إذا كان محددها صفرًا. هذا يُعطينا المعادلة المميزة:

التعبير det(A − λI) هو كثيرة حدود من الدرجة n في λ، حيث n هو حجم المصفوفة. لمصفوفة 2×2، هي تربيعية. لمصفوفة 3×3، تكعيبية. إيجاد القيم الذاتية يُختزل في حل هذه المعادلة متعددة الحدود.

إيجاد القيم الذاتية: خطوة بخطوة

لنعمل مثالًا كاملًا. لتكن المصفوفة المثلثية العليا:

A = [[3, 1], [0, 2]]

الخطوة 1: اكوِّن A − λI. اطرح λ من كل عنصر قطري:

A − λI = [[3−λ, 1], [0, 2−λ]]

الخطوة 2: اضبط det(A − λI) = 0. لمصفوفة مثلثية 2×2، المحدد هو ببساطة حاصل ضرب العناصر القطرية:

الخطوة 3: حدّد القيم الذاتية. جذور (λ−3)(λ−2) = 0 هي λ₁ = 3 وλ₂ = 2. هذان هما القيمتان الذاتيتان لـ A.

للمصفوفات 3×3

لمصفوفة n×n، كثيرة الحدود المميزة من الدرجة n. مصفوفة 3×3 لها كثيرة حدود مميزة تكعيبية، تُعطي حتى 3 قيم ذاتية. بموجب المبرهنة الأساسية للجبر، كثيرة الحدود من الدرجة n لها بالضبط n جذرًا في الأعداد المركبة (مع احتساب التعددية). إذن كل مصفوفة n×n لها بالضبط n قيمة ذاتية — بعضها قد يكون مركبًا وبعضها قد يتكرر.

التعددية الجبرية

قد يظهر جذر كثيرة الحدود أكثر من مرة. التعددية الجبرية للقيمة الذاتية λ₀ هي عدد المرات التي يظهر فيها (λ − λ₀) عاملًا في كثيرة الحدود المميزة.

مثلًا، إذا كانت كثيرة الحدود المميزة لمصفوفة 3×3 هي (λ−2)²(λ−5)، فإن λ = 2 لها تعددية جبرية 2 وλ = 5 لها تعددية جبرية 1. المجموع الكلي هو 2 + 1 = 3 = n. هذا دائمًا صحيح: مجموع جميع التعدديات الجبرية يساوي n.

خصائص رئيسية للقيم الذاتية

هويتان أنيقتان تربطان القيم الذاتية بعناصر المصفوفة مباشرة:

خصائص إضافية تستحق المعرفة:

• المصفوفات المتشابهة (B = P⁻¹AP لمصفوفة P قابلة للعكس) تتشارك نفس القيم الذاتية — القيم الذاتية هي خاصية التحويل الخطي، لا تمثيله المصفوفي بعينه.
• المصفوفات المثلثية (علوية أو سفلية) لها قيمها الذاتية على القطر — تتحلل كثيرة الحدود المميزة مباشرة.
• المصفوفات المتماثلة (Aᵀ = A) لها دائمًا قيم ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة كاملة — خاصية تُستخدم باستمرار في علم البيانات (PCA) والفيزياء (ميكانيكا الكم).
• المصفوفات الشاذة لها 0 دائمًا كقيمة ذاتية، لأن det(A) = 0 = حاصل ضرب القيم الذاتية.

تحقق سريع

لمصفوفتنا A = [[3, 1], [0, 2]] بقيمتين ذاتيتين λ₁ = 3 وλ₂ = 2: الحاصل 3 × 2 = 6 = det(A) = 3·2 − 1·0 = 6. المجموع 3 + 2 = 5 = tr(A) = 3 + 2. كلتا الهويتين محققتان تمامًا.