LA 101
M04 · L02
الوحدة 4: القيم الذاتية
إيجاد المتجهات الذاتية
وجدت القيم الذاتية. الآن لكل منها، حلّ (A − λI)v = 0 لإيجاد الاتجاهات الخاصة — المتجهات الذاتية التي تُولّد الفضاء الذاتي.
01 / 11
LA 101
M04 · L02
الفضاء الذاتي
الفضاء الصفري لـ (A − λI)
الفضاء الذاتي E_λ هو جميع حلول (A − λI)v = 0. هو فضاء جزئي — يتضمن الصفر دائمًا، لكن المتجهات الذاتية هي العناصر الغير صفرية.
Eigenspace
E_{\lambda}=\ker(A-\lambda I)
02 / 11
LA 101
M04 · L02
الإجراء
أربع خطوات للمتجهات الذاتية
- اكوِّن (A − λI): اطرح λ من القطر
- حوّل صفيًا إلى RREF — ستحصل دائمًا على متغير حر واحد على الأقل
- عبّر عن متغيرات المحور بدلالة المتغيرات الحرة
- كل متغير حر ← متجه ذاتي أساسي واحد
03 / 11
LA 101
M04 · L02
مثال: A = [[3,1],[0,2]]
المتجهات الذاتية لـ λ = 3
A − 3I
[[0, 1], [0, −1]] → اختزال → [[0, 1], [0, 0]]
الحل
x₂ = 0, x₁ حر → v₁ = [1, 0]ᵀ
Eigenspace E₃
E_3=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right\}
04 / 11
LA 101
M04 · L02
مثال: A = [[3,1],[0,2]]
المتجهات الذاتية لـ λ = 2
A − 2I
[[1, 1], [0, 0]] → x₁ = −x₂
الحل
x₂ حر → v₂ = [−1, 1]ᵀ
Eigenspace E₂
E_2=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\right\}
05 / 11
LA 101
M04 · L02
التعددية الهندسية
كم عدد الاتجاهات؟
التعددية الهندسية لـ λ هي dim(E_λ) — عدد المتجهات الذاتية المستقلة. دائمًا بين 1 والتعددية الجبرية.
≥ 1
أدنى هندسية
≤ جبرية
أقصى هندسية
= جبرية
قابل للتقطير
06 / 11
LA 101
M04 · L02
المصفوفات المعيبة
حين الهندسية < الجبرية
إذا كانت الهندسية أصغر من الجبرية، القيمة الذاتية معيبة. مثال: [[2, 1], [0, 2]] لها λ = 2 بجبرية 2 لكن متجه ذاتي واحد فقط [1, 0]ᵀ.
النتيجة
لا يمكن التقطير — نحتاج صورة جوردان
07 / 11
LA 101
M04 · L02
مبرهنة رئيسية
قيم مختلفة ← استقلالية
المتجهات الذاتية من قيم ذاتية مختلفة مستقلة خطيًا دائمًا. مصفوفة n×n بـ n قيمة ذاتية مختلفة لها n متجه ذاتي مستقل.
- البرهان: طبّق A واطرح، استخدم الاختلاف
- تُعمَّم على أي عدد من القيم الذاتية
- أساس نظرية التقطير
08 / 11
LA 101
M04 · L02
القيم الذاتية المركبة
دوران في الخفاء
- المصفوفات الحقيقية قد تمتلك قيمًا ذاتية مركبة
- تأتي دائمًا في أزواج مترافقة: λ وλ̄
- تقابل سلوك الدوران والتكبير
- قيم دوران المستوي (2×2): e^{±iθ}
- لا متجهات ذاتية حقيقية لدوران المستوي حين θ ≠ 0, π
- أما الدوران في ثلاثة أبعاد فيثبّت محوره — متجه ذاتي حقيقي عند λ = 1
10 / 11
LA 101
ما يلي
اكتمل الدرس 2
M4-L3: التقطير
يمكنك الآن إيجاد القيم والمتجهات الذاتية. التالي: استخدمها لتقطير A = PDP⁻¹، مما يفتح بابًا لقوى المصفوفات السريعة وفهم البنية العميقة.
القادم
11 / 11