من القيم الذاتية إلى المتجهات الذاتية
في الدرس السابق تعلمنا إيجاد القيم الذاتية بحل المعادلة المميزة det(A − λI) = 0. الآن تأتي الخطوة الطبيعية التالية: لكل قيمة ذاتية λ، أوجد المتجهات الغير صفرية v التي تُحقق Av = λv. إعادة الترتيب تُعطينا (A − λI)v = 0 — نظام خطي متجانس. الحلول هي المتجهات الذاتية، وتُشكّل الفضاء الصفري لـ (A − λI).
الفضاء الصفري لـ (A − λI) يُسمى الفضاء الذاتي المقابل لـ λ، ويُرمز له بـ E_λ أو ker(A − λI). يحتوي دائمًا على المتجه الصفري (بديهيًا)، لكن المتجهات الذاتية هي العناصر الغير صفرية. الفضاء الذاتي فضاء جزئي — مغلق تحت الجمع والضرب في القياس.
الإجراء: خطوة بخطوة
لإيجاد المتجهات الذاتية لقيمة ذاتية معينة λ:
- اكوِّن المصفوفة (A − λI). اطرح القيمة الذاتية λ من كل عنصر قطري في A، مع إبقاء العناصر غير القطرية كما هي.
- حوّل (A − λI) بالاختزال الصفي. طبّق طريقة غاوس للحصول على الصورة الصفية المختزلة المُحسَّنة (RREF). لأن λ قيمة ذاتية، هذه المصفوفة شاذة — ستحصل دائمًا على متغير حر واحد على الأقل.
- عبّر عن متغيرات المحور بدلالة المتغيرات الحرة. اكتب نظام المعادلات وحلّ كل متغير محور.
- اكتب الحل العام. متجه الحل، معبرًا عنه بدلالة المتغيرات الحرة، يُعطيك المتجهات الذاتية — متجه أساسي واحد لكل متغير حر.
مثال كامل
لنعمل مع المصفوفة A = [[3, 1], [0, 2]]، التي وجدنا قيمتها الذاتية في الدرس السابق: λ₁ = 3 وλ₂ = 2.
المتجهات الذاتية لـ λ₁ = 3: اكوِّن A − 3I:
A − 3I = [[3−3, 1], [0, 2−3]] = [[0, 1], [0, −1]]
بعد الاختزال الصفي: الصف الثاني يساوي −1 أضعاف الأول، فنلغيه: [[0, 1], [0, 0]]. النظام: 0·x₁ + 1·x₂ = 0، إذن x₂ = 0. المتغير x₁ حر. نضع x₁ = 1 فنحصل على المتجه الذاتي v₁ = [1, 0]ᵀ. أي مضاعف غير صفري لهذا المتجه هو أيضًا متجه ذاتي لـ λ = 3.
المتجهات الذاتية لـ λ₂ = 2: اكوِّن A − 2I:
A − 2I = [[3−2, 1], [0, 2−2]] = [[1, 1], [0, 0]]
النظام: x₁ + x₂ = 0، إذن x₁ = −x₂. المتغير x₂ حر. نضع x₂ = 1 فيكون x₁ = −1، والمتجه الذاتي v₂ = [−1, 1]ᵀ. الفضاء الذاتي E₂ هو الخط المار بـ [−1, 1]ᵀ.
التعددية الهندسية
التعددية الهندسية لقيمة ذاتية λ هي بُعد فضائها الذاتي — بمعنى عدد المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا لتلك القيمة. هندسيًا، هي عدد "الاتجاهات الخاصة" المستقلة المرتبطة بـ λ.
تحكم العلاقة التالية العلاقة بين التعدديتين الجبرية والهندسية:
حين تكون التعددية الهندسية لقيمة ذاتية أصغر تمامًا من التعددية الجبرية، تُسمى القيمة الذاتية معيبة. مثلًا: المصفوفة [[2, 1], [0, 2]] لها قيمة ذاتية λ = 2 بتعددية جبرية 2 لكن متجهًا ذاتيًا واحدًا فقط [1, 0]ᵀ — تعددية هندسية 1. المصفوفات المعيبة لا يمكن تقطيرها، وتحتاج إلى الصورة القانونية لجوردان.
الاستقلالية الخطية للمتجهات الذاتية
من أجمل مبرهنات الجبر الخطي: المتجهات الذاتية من قيم ذاتية مختلفة مستقلة خطيًا دائمًا. إذا كانت λ₁ ≠ λ₂ ≠ … ≠ λₖ قيمًا ذاتية مختلفة بمتجهات ذاتية v₁, v₂, …, vₖ، فإن المجموعة {v₁, v₂, …, vₖ} مستقلة خطيًا.
لماذا يهم هذا؟ لمصفوفة n×n بـ n قيمة ذاتية مختلفة، نحصل تلقائيًا على n متجه ذاتي مستقل خطيًا، تُشكّل أساسًا لـ ℝⁿ. هذه الحالة المثالية للتقطير (يُغطى في الدرس التالي).
مخطط البرهان
افترض أن c₁v₁ + c₂v₂ = 0 لمتجهين ذاتيين v₁, v₂ بقيمتين ذاتيتين مختلفتين λ₁, λ₂. طبّق A على الطرفين: c₁λ₁v₁ + c₂λ₂v₂ = 0. اطرح λ₂ أضعاف المعادلة الأصلية: c₁(λ₁ − λ₂)v₁ = 0. لأن λ₁ ≠ λ₂ وv₁ ≠ 0، نحصل على c₁ = 0. بالمثل c₂ = 0. تُعمَّم الحجة بالاستقراء على أي عدد من القيم الذاتية المختلفة.
القيم الذاتية والمتجهات الذاتية المركبة
يمكن للمصفوفات الحقيقية أن تمتلك قيمًا ذاتية مركبة. حين تحدث، تأتي دائمًا في أزواج مترافقة: إذا كانت λ = a + bi قيمة ذاتية، فكذلك λ̄ = a − bi. متجهاتها الذاتية أيضًا مترافقات مركبة لبعضها.
هندسيًا، تقابل القيم الذاتية المركبة تحويلات الدوران والتكبير. مصفوفة دوران المستوي (2×2) بزاوية θ لها قيم ذاتية e^{iθ} وe^{−iθ} — لا توجد متجهات ذاتية حقيقية لأن دوران المستوي لا يُبقي أي اتجاه حقيقي على حاله (إلا إذا كان θ = 0 أو π).
وهذا حكم على المستوي وحده، لا على الدوران عمومًا. فدوران ℝ³ بزاوية θ حول محور u له القيم الذاتية 1, e^{iθ}, e^{−iθ}: فالمحور نفسه يحقّق Ru = u، فلكل مصفوفة دوران حقيقية 3×3 متجه ذاتي حقيقي، وهو الذي عند λ = 1. وفي المستوي وحده لا يبقى محور يثبت على حاله.
المصفوفة R = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] لها كثيرة حدود مميزة λ² − 2cos(θ)λ + 1 = 0، بجذرين e^{±iθ}. المتجهات الذاتية المركبة هي [1, ∓i]ᵀ — هذه اتجاهات مركبة في ℂ² تُحوّلها R إلى نسخ مدوّرة منها.
حين تكون الفضاءات الذاتية أعلى بعدًا
بالنسبة للمصفوفات المتماثلة (والمصفوفات الطبيعية بوجه عام)، يمكن للفضاءات الذاتية أن تمتلك بعدًا أكبر من 1. المصفوفة المحايدة I هي حالة متطرفة: كل متجه غير صفري هو متجه ذاتي بقيمة ذاتية 1، فـ E₁ = ℝⁿ — البعد n.
مثال عملي أكثر: مصفوفة متماثلة 3×3 قد تمتلك القيمة الذاتية λ₁ = 5 (بفضاء ذاتي أحادي البعد) وλ₂ = 2 (بفضاء ذاتي ثنائي البعد، أي متجهان ذاتيان مستقلان). الفضاء الذاتي ثنائي البعد هو مستوٍ في ℝ³ — كل متجه في ذلك المستوى يُضاعَف في 2 حين تعمل عليه A.
حقيقة رئيسية للمصفوفات المتماثلة
للمصفوفات المتماثلة الحقيقية (Aᵀ = A) خاصية رائعة: ليس فقط أن كل القيم الذاتية حقيقية، بل المتجهات الذاتية من فضاءات ذاتية مختلفة دائمًا متعامدة. هذا يعني أن الفضاءات الذاتية تُقسّم ℝⁿ إلى فضاءات جزئية متعامدة — تحليل متعامد كامل. هذه هي مبرهنة الطيف، وتقوم عليها PCA وميكانيكا الكم وتطبيقات كثيرة.
لإيجاد المتجهات الذاتية للقيمة الذاتية λ، حوّل (A − λI) صفيًا وأوجد الفضاء الصفري — الفضاء الذاتي E_λ. كل متغير حر يُعطي متجهًا ذاتيًا أساسيًا. التعددية الهندسية (بُعد E_λ) دائمًا بين 1 والتعددية الجبرية. المتجهات الذاتية من قيم ذاتية مختلفة مستقلة خطيًا دائمًا. القيم الذاتية المركبة تأتي في أزواج مترافقة وتقابل سلوك الدوران والتكبير. للمصفوفات المتماثلة، الفضاءات الذاتية من قيم مختلفة متعامدة — مبرهنة الطيف.