التقطير
اكتب A = PDP⁻¹ حيث D قطرية وP تحمل المتجهات الذاتية. هذا يفتح باب قوى المصفوفات والأسّيات والمعادلات التفاضلية دفعة واحدة.
A = PDP⁻¹
أعمدة P هي المتجهات الذاتية؛ العناصر القطرية لـ D هي القيم الذاتية. P يجب أن تكون قابلة للعكس — المتجهات الذاتية مستقلة خطيًا.
n متجه ذاتي مستقل
- قابلة للتقطير ↔ لها n متجه ذاتي مستقل خطيًا
- كافٍ: n قيمة ذاتية مختلفة → قابلة للتقطير دائمًا
- القيمة المكررة مقبولة إذا كان بُعد الفضاء الذاتي = التعددية الجبرية
- المعيبة = غير قابلة للتقطير → نحتاج صورة جوردان
خمس خطوات للتقطير
- أوجد جميع القيم الذاتية من det(A − λI) = 0
- أوجد n متجه ذاتي مستقل خطيًا
- اكوِّن P: المتجهات الذاتية كأعمدة
- اكوِّن D: القيم الذاتية على القطر، بنفس الترتيب
- تحقق: AP = PD
بناء P وD
قوى المصفوفات في خطوة واحدة
A = PDP⁻¹ يُعطي Aᵏ = PDᵏP⁻¹. حساب Dᵏ يعني فقط رفع كل عنصر قطري قياسي للأس k — لا سلاسل ضرب مصفوفات.
تضخيم بحت في أساس المتجهات الذاتية
في نظام إحداثيات المتجهات الذاتية، تُضخّم A كل محور باستقلالية. P⁻¹ تُحوّل إلى ذلك الأساس، D تُضخّم، P تُعيد التحويل. لا خلط بين الاتجاهات.
المتماثلة → P متعامدة
المصفوفات المتماثلة الحقيقية (Aᵀ = A) قابلة للتقطير دائمًا بمصفوفة متعامدة: A = QDQᵀ حيث QᵀQ = I.
- جميع القيم الذاتية حقيقية
- المتجهات الذاتية من فضاءات مختلفة متعامدة
- P يمكن اختيارها متعامدة موحَّدة الأعمدة: Qᵀ = Q⁻¹ (عكس رخيص)
الأسّيّة المصفوفية
لـ x'(t) = Ax، الحل هو x(t) = e^{At}x(0). التقطير يُعطي e^{At} = Pe^{Dt}P⁻¹ — n أسّيّة قياسية، لا متسلسلة مصفوفية.
M4-L4: التطبيقات
يمكنك الآن تقطير المصفوفات. التالي: شاهد القيم الذاتية في العمل — PageRank لجوجل وPCA وسلاسل ماركوف وتحليل الاهتزازات الهيكلية.