التقطير

ما هو التقطير؟

تُقال المصفوفة المربعة A إنها قابلة للتقطير إذا أمكن كتابتها كـ A = PDP⁻¹، حيث D مصفوفة قطرية وP مصفوفة قابلة للعكس. أعمدة P هي المتجهات الذاتية لـ A، والعناصر القطرية لـ D هي القيم الذاتية المقابلة. يُسمى هذا التحليل تحليل القيم الذاتية (Eigendecomposition).

لماذا يهمنا هذا؟ لأن المصفوفات القطرية سهلة الحساب بشكل لا يُصدق. إذا كانت A = PDP⁻¹، فإن A² = PD²P⁻¹، وA³ = PD³P⁻¹، وبوجه عام Aᵏ = PDᵏP⁻¹. حساب Dᵏ يعني فقط رفع كل عنصر قطري للأس k. لا سلاسل ضرب مصفوفات — مجرد عمليات قياسية.

متى تكون المصفوفة قابلة للتقطير؟

المصفوفة A ذات الأبعاد n×n قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كانت لها n متجه ذاتي مستقل خطيًا. بمعنى مكافئ، يجب أن تساوي التعددية الهندسية التعددية الجبرية لكل قيمة ذاتية.

أبسط شرط كافٍ: إذا كان لـ A قيم ذاتية مختلفة عددها n، فهي تلقائيًا قابلة للتقطير — لأن المتجهات الذاتية من قيم ذاتية مختلفة مستقلة خطيًا دائمًا. لكن القيم الذاتية المختلفة ليست ضرورية: بعض المصفوفات ذات القيم الذاتية المكررة أيضًا قابلة للتقطير (حين تكون القيمة الذاتية المكررة لها فضاء ذاتي كامل البعد).

إجراء التقطير

لتقطير مصفوفة A ذات أبعاد n×n:

1. أوجد جميع القيم الذاتية. حلّ det(A − λI) = 0. إذا كان لـ A قيم ذاتية مختلفة عددها n، تابع مباشرة. إذا كانت هناك قيم ذاتية مكررة، تحقق أن كل منها له متجهات ذاتية مستقلة كافية.
2. أوجد n متجه ذاتي مستقل خطيًا. لكل قيمة ذاتية، أوجد أساس فضائها الذاتي. اجمع جميع متجهات الأساس — إذا بلغ المجموع n، فلديك مجموعتك.
3. اكوِّن P. ضع المتجهات الذاتية كأعمدة لـ P، بأي ترتيب (مع مراعاة أي قيمة ذاتية تقابل أي عمود).
4. اكوِّن D. ضع القيم الذاتية المقابلة على قطر D، بنفس ترتيب أعمدة P.
5. تحقق (اختياري). تأكد أن AP = PD، أو بمعنى مكافئ A = PDP⁻¹.

مثال كامل

لتكن A = [[4, 1], [2, 3]]. كثيرة الحدود المميزة هي det(A − λI) = (4−λ)(3−λ) − 2 = λ² − 7λ + 10 = (λ−5)(λ−2). إذن القيم الذاتية هي λ₁ = 5 وλ₂ = 2.

المتجه الذاتي لـ λ₁ = 5: حلّ (A − 5I)v = 0:

A − 5I = [[−1, 1], [2, −2]] → اختزال → [[1, −1], [0, 0]]. إذن x₁ = x₂. المتجه الذاتي: v₁ = [1, 1]ᵀ.

المتجه الذاتي لـ λ₂ = 2: حلّ (A − 2I)v = 0:

A − 2I = [[2, 1], [2, 1]] → اختزال → [[2, 1], [0, 0]]. إذن x₁ = −x₂/2. بوضع x₂ = 2: v₂ = [−1, 2]ᵀ.

قوى المصفوفات عبر التقطير

العائد الرئيسي للتقطير هو حساب قوى المصفوفات بكفاءة. بما أن A = PDP⁻¹:

Aᵏ = (PDP⁻¹)ᵏ = PDP⁻¹ · PDP⁻¹ · … · PDP⁻¹ = PDᵏP⁻¹

تتلاغى P⁻¹ وP في الوسط، ولا يبقى إلا P وP⁻¹ الخارجيتان. وحساب Dᵏ بسيط: diag(λ₁, λ₂, …, λₙ)ᵏ = diag(λ₁ᵏ, λ₂ᵏ, …, λₙᵏ).

مثال: A¹⁰

باستخدام المصفوفة A = [[4, 1], [2, 3]] من أعلاه، A¹⁰ = PD¹⁰P⁻¹. بما أن D = diag(5, 2)، فإن D¹⁰ = diag(5¹⁰, 2¹⁰) = diag(9765625, 1024). تُعطي الصيغة نتائج دقيقة دون تكرار 10 مرات.

التفسير الهندسي

التقطير يكشف ما تفعله A حقًا في أساس المتجهات الذاتية. اكتب أي متجه x بدلالة المتجهات الذاتية: x = c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₙvₙ. عندئذٍ:

Ax = c₁(Av₁) + c₂(Av₂) + … + cₙ(Avₙ) = c₁λ₁v₁ + c₂λ₂v₂ + … + cₙλₙvₙ

في أساس المتجهات الذاتية، تُضخّم A كل مركبة بالقيمة الذاتية المقابلة فقط. التحويل "قطري" — لا خلط بين الاتجاهات. هذا المنظور لتغيير الأساس هو بالضبط ما تحققه P وP⁻¹: P⁻¹ تُحوّل من الأساس القياسي إلى أساس المتجهات الذاتية، D تُضخّم، وP تُعيد التحويل.

المصفوفات المتماثلة: دائمًا قابلة للتقطير

المصفوفات المتماثلة الحقيقية (Aᵀ = A) قابلة للتقطير دائمًا — ضمانة قوية. أكثر من ذلك، يمكن تقطيرها بمصفوفة متعامدة: A = QDQᵀ، حيث Q لها أعمدة متعامدة موحَّدة الأعمدة (Qᵀ = Q⁻¹). هذه هي مبرهنة الطيف.

مبرهنة الطيف تعني أن المصفوفات المتماثلة تمتلك ثلاث خصائص خاصة في آنٍ واحد: جميع القيم الذاتية حقيقية، وجميع المتجهات الذاتية يمكن اختيارها متعامدة، والمصفوفة قابلة للتقطير دائمًا. لهذا تظهر المصفوفات المتماثلة في كل مكان في التطبيقات — مصفوفات التباين المشترك، لابلاسيانز، هيسيانز — فهي تتصرف بشكل جميل.

التقطير والمعادلات التفاضلية

التقطير هو المفتاح لحل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية. اعتبر x'(t) = Ax حيث x متجه من الدوال المجهولة. إذا كانت A = PDP⁻¹، استبدل u = P⁻¹x للحصول على u'(t) = Du(t) — نظام منفصل من المعادلات القياسية: uᵢ'(t) = λᵢuᵢ(t)، بحل uᵢ(t) = uᵢ(0)e^{λᵢt}.

هذا يعني أن حل x'(t) = Ax هو x(t) = e^{At}x(0)، حيث الأسّيّة المصفوفية e^{At} = Pe^{Dt}P⁻¹ وe^{Dt} = diag(e^{λ₁t}, …, e^{λₙt}). يُحوّل التقطير نظامًا n-أبعادًا إلى n معادلة قياسية مستقلة.