المتجهات المتعامدة والإسقاطات

حين تكون المتجهات عمودية

في الهندسة اليومية، يكون الخطان عموديَّين حين يلتقيان بزاوية 90°. في الجبر الخطي، تتعمم الفكرة ذاتها إلى أي عدد من الأبعاد باستخدام الضرب النقطي. يكون المتجهان v وw متعامدَين إذا كان ضربهما النقطي يساوي الصفر:

شرط التعامد

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{v}^T\mathbf{w} = 0

يكون المتجهان متعامدَين إذا وفقط إذا كان ضربهما النقطي صفراً. هندسياً، يعني هذا التقاءهما بزاوية قائمة. لاحظ أن المتجه الصفري متعامد مع كل متجه.

لماذا يقيس الضرب النقطي الزوايا؟ لأن الضرب النقطي لـv وw يساوي ||v|| ||w|| cos θ، حيث θ هي الزاوية بينهما. عندما تكون θ = 90°، يكون cos θ = 0 فيصير الضرب النقطي صفراً. التعامد هو الشهادة الجبرية على الانتصاب الهندسي.

مثال ملموس

متجها الأساس القياسي في ℝ² متعامدان: e₁ = [1, 0]ᵀ وe₂ = [0, 1]ᵀ. ضربهما النقطي: 1·0 + 0·1 = 0. والأجمل من ذلك، [3, −4]ᵀ و[4, 3]ᵀ متعامدان: 3·4 + (−4)·3 = 12 − 12 = 0. يمكنك التحقق دون رسم صورة — الجبر يكشف الهندسة.

فيثاغورس في أبعاد أعلى

إذا كان v وw متعامدَين، فإن ||v + w||² = ||v||² + ||w||². هذه نظرية فيثاغورس للمتجهات — تصح في أي بُعد، ليس فقط في 2D أو 3D. التعامد يعمّم المثلثات القائمة إلى الفضاء n الأبعاد.

المتمم المتعامد

المتمم المتعامد للفضاء الجزئي W، المكتوب W⊥ (يُنطق "W عمود")، هو مجموعة كل المتجهات المتعامدة مع كل متجه في W:

المتمم المتعامد

W^\perp = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \cdot \mathbf{w} = 0 \text{ for all } \mathbf{w} \in W\}

W⊥ هو نفسه فضاء جزئي. معاً يغطيان كل ℝⁿ دون تداخل: dim(W) + dim(W⊥) = n.

تخيل مستوياً عبر الأصل في ℝ³. متممه المتعامد هو الخط العمودي على ذلك المستوى — خط العادي. كل متجه في ℝ³ يمكن تجزئته بشكل فريد إلى جزء يقع في المستوى وجزء على الخط العمودي. هذا التجزئة هو جوهر الإسقاط.

الفضاءات الجزئية الأربعة الأساسية

يرتبط المتمم المتعامد مباشرة ببنية أي مصفوفة A. فضاء الحل لـA وفضاء الصفوف لـA متممان متعامدان في ℝⁿ. فضاء الحل الأيسر وفضاء الأعمدة متممان متعامدان في ℝᵐ. هذه الفضاءات الأربعة تشكّل "الصورة الكاملة" للجبر الخطي، والتعامد هو الرابط الذي يجمعها.

الإسقاط على خط

بإعطاء متجه b ومتجه اتجاه a، فإن إسقاط b على الخط المار بـa هو أقرب نقطة على ذلك الخط إلى b. وهو ظل b المُلقَى عمودياً على الخط.

لإيجاده، نريد ثابتاً c بحيث ca أقرب ما يكون إلى b. يجب أن يكون متجه الخطأ b − ca عمودياً على a:

aᵀ(b − ca) = 0 ← c = aᵀb / aᵀa

إذن متجه الإسقاط هو:

الإسقاط على خط

\text{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a}^T\mathbf{b}}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}}\,\mathbf{a}

العامل القياسي (aᵀb / aᵀa) هو مدى بُعد الإسقاط على الخط. مصفوفة الإسقاط P = aaᵀ / aᵀa تُسقط أي متجه على الخط الممتد عبر a.

المصفوفة P = aaᵀ / aᵀa هي مصفوفة الإسقاط على الخط المار بـa. لها خاصيتان رئيسيتان: P² = P (الإسقاط مرتين = الإسقاط مرة واحدة) وPᵀ = P (مصفوفة متماثلة). أي مصفوفة تملك هاتين الخاصيتين هي مصفوفة إسقاط.

مثال عددي

أسقط b = [1, 2]ᵀ على a = [3, 4]ᵀ. الثابت هو c = (3·1 + 4·2) / (3² + 4²) = (3 + 8) / 25 = 11/25. إذن الإسقاط هو (11/25) · [3, 4]ᵀ = [33/25, 44/25]ᵀ ≈ [1.32, 1.76]ᵀ. متجه الخطأ هو [1, 2]ᵀ − [1.32, 1.76]ᵀ = [−0.32, 0.24]ᵀ. تحقق: [3, 4]ᵀ · [−0.32, 0.24]ᵀ = −0.96 + 0.96 = 0. الخطأ عمودي فعلاً على a.

الإسقاط على فضاء جزئي

تمتد الفكرة بشكل طبيعي. لنفترض أن لدينا فضاءً جزئياً تمتده أعمدة مصفوفة A (ذات أعمدة مستقلة خطياً). إسقاط b على فضاء أعمدة A هو المتجه في col(A) الأقرب إلى b. يجب أن يكون الخطأ عمودياً على كل أعمدة A، مما يعني أنه يقع في فضاء الحل الأيسر لـA:

الإسقاط على فضاء جزئي

P = A(A^TA)^{-1}A^T, \quad \hat{\mathbf{x}} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}

مصفوفة الإسقاط P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ تُسقط أي متجه على فضاء أعمدة A. عندما تكون لـA أعمدة متعامدة ذات وحدة (QᵀQ = I)، يبسّط هذا بشكل رائع إلى P = QQᵀ.

المعادلة AᵀAx̂ = Aᵀb تُسمى المعادلة الطبيعية. حلها x̂ يعطي إحداثيات الإسقاط بدلالة أعمدة A. هذه هي البوابة لطريقة المربعات الصغرى — موضوع الدرس 5.4.

التحليل المتعامد

أجمل نتائج الإسقاط هي نظرية التحليل المتعامد: كل متجه b في ℝⁿ يمكن كتابته بشكل فريد كمجموع مكوّن في الفضاء الجزئي W ومكوّن في متممه المتعامد W⊥:

التحليل المتعامد

\mathbf{b} = \underbrace{P\mathbf{b}}_{\mathbf{p} \,\in\, W} + \underbrace{(I-P)\mathbf{b}}_{\mathbf{e} \,\in\, W^\perp}

كل متجه يتجزأ بشكل فريد إلى إسقاط p (في W) وخطأ e (في W⊥). القطعتان متعامدتان: p · e = 0. هذه هي النظرية الأساسية للإسقاط المتعامد.

المكوّن p = Pb هو الإسقاط على W. المكوّن e = b − p = (I − P)b هو البقية، ويُسمى أحياناً الخطأ أو الرفض. لاحظ أن I − P هي نفسها مصفوفة إسقاط — تُسقط على W⊥. الإسقاطان P و(I − P) يقسّمان الهوية: P + (I − P) = I.

لماذا يهم هذا

التحليل المتعامد ليس مجرد فضول هندسي. إنه المحرّك وراء: المربعات الصغرى (إيجاد أقرب نقطة في فضاء جزئي)، وعملية غرام-شميت (بناء أساس متعامد خطوة خطوة)، وتحليل QR (تحليل أي مصفوفة إلى متعامد ومثلث)، وتحويل فورييه (تحليل الإشارة إلى مكوّنات تردد متعامدة). التعامد هو المبدأ المنظّم للجبر الخطي الحسابي.

الصلة بمعالجة الإشارات

في معالجة الإشارات، يعطيك إسقاط إشارة على فضاء جزئي تمتده دوال جيبية معاملات فورييه. كل معامل يقيس مقدار ذلك التردد الموجود في الإشارة. البقية هي الجزء من الإشارة الذي لا تستطيع الدوال الجيبية تفسيره — وهي عمودية على كل مكوّن تردد أدرجته.

أبرز النقاط

متجهان متعامدان حين يكون ضربهما النقطي صفراً — لا يتقاسمان أي معلومة اتجاهية. المتمم المتعامد W⊥ يحوي كل المتجهات العمودية على الفضاء الجزئي W، وdim(W) + dim(W⊥) = n. إسقاط b على خط يمر بـa هو: (aᵀb / aᵀa)a. لفضاء جزئي تمتده A، مصفوفة الإسقاط هي P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ. كل متجه يتحلل بشكل فريد كـ b = p + e حيث p في W وe في W⊥ — وp · e = 0.