LA 101
M06 · L01
الوحدة 6: فضاءات الضرب الداخلي
الضرب الداخلي
الضرب النقطي حالة خاصة من بنية أوسع. أي عملية تُحقق أربعة بديهيات تُتيح قياس الطول والزاوية والتعامد — حتى بين الدوال.
01 / 10
LA 101
M06 · L01
التجريد
ما هو الضرب الداخلي؟
دالة ⟨·,·⟩ : V × V → ℝ تُعمّم الضرب النقطي. ما يهم ليس الصيغة — بل البديهيات الأربع.
⟨u,v⟩
الرمز
4
بديهيات
∞
فضاءات
02 / 10
LA 101
M06 · L01
البديهيات الأربع
قواعد اللعبة
- الخطية — ⟨αu+v, w⟩ = α⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩
- التماثل — ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩
- اللاسالبية — ⟨v,v⟩ ≥ 0
- الإيجابية الكاملة — ⟨v,v⟩ = 0 iff v = 0
03 / 10
LA 101
M06 · L01
الطول من البنية
القياس المُستنتج
كل ضرب داخلي يمنح تلقائياً طريقة لقياس الطول — القياس المُستنتج:
القياس المُستنتج
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v},\, \mathbf{v} \rangle}
ملاحظة
ليس كل قياس يأتي من ضرب داخلي. ينشأ القياس من ضرب داخلي إذا وفقط إذا حقق قانون متوازي الأضلاع.
04 / 10
LA 101
M06 · L01
المتراجحة الأساسية
كوشي-شوارتز
متراجحة كوشي-شوارتز
|\langle \mathbf{u},\, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|
الأهمية
تضمن أن |⟨u,v⟩| / (‖u‖‖v‖) ≤ 1، فيصبح تعريف الزاوية بالجيب التمام صحيحاً في أي فضاء ضرب داخلي.
05 / 10
LA 101
M06 · L01
الهندسة في أي فضاء
الزاوية والتعامد
تعريف الزاوية
\cos\theta = \dfrac{\langle \mathbf{u},\, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}
متجهان متعامدان عندما ⟨u,v⟩ = 0 (θ = 90°). هذا التعريف يعمل مع المتعددات الحدية والمصفوفات والإشارات — أي فضاء ضرب داخلي.
06 / 10
LA 101
M06 · L01
الدوال كمتجهات
الضرب الداخلي L²
الدوال على [a, b] تُشكّل فضاء متجهات. الضرب الداخلي القياسي هو:
الضرب الداخلي L²
\langle f,\, g \rangle = \int_a^b f(t)\,g(t)\,dt
الجيب وجيب التمام لنفس التردد متعامدان تحت هذا الضرب الداخلي على [0, 2π] — أساس متسلسلات فورييه.
07 / 10
LA 101
M06 · L01
معالجة الإشارات
الضرب الداخلي في التطبيق
- الترشيح المطابق — ∫r(t)s(t)dt يُعظّم نسبة الإشارة إلى الضوضاء
- الترابط — ضرب داخلي كدالة لتأخر زمني
- معاملات فورييه — إسقاطات على الأسُس المركبة
- حاملات OFDM — متعامدة بموجب الضرب الداخلي L²
- قياس فروبينيوس — ضرب داخلي على المصفوفات يُستخدم في PCA
09 / 10
LA 101
التالي
الدرس 1 مكتمل
تبدأ الوحدة 6!
لديك الآن الإطار المجرد: أربعة بديهيات تمنحك الطول والزاوية والتعامد في أي فضاء متجهات — بما في ذلك فضاءات الدوال في صميم معالجة الإشارات.
القادم
10 / 10