LA 101
M06 · L02
الوحدة 6: فضاءات الضرب الداخلي
فضاءات الدوال
يمكن جمع الدوال وقياسها تماماً كالمتجهات. زوّد الفضاء الناتج بضرب داخلي وستحصل على هندسة لانهائية الأبعاد — لغة تحليل فورييه ومعالجة الإشارات.
01 / 10
LA 101
M06 · L02
الدوال متجهات
فضاء المتجهات من الدوال
C([a, b]) يُحقق جميع البديهيات العشر. الجمع نقطي: (f+g)(t) = f(t)+g(t). القياس نقطي: (αf)(t) = αf(t). المتجه الصفري هو الدالة الصفرية.
∞
الأبعاد
10
بديهيات محققة
L²
الفضاء الأهم
02 / 10
LA 101
M06 · L02
فضاء الطاقة
الفضاء L²
L²([a, b]) يحوي جميع الدوال ذات الطاقة المنتهية:
تعريف L²
\int_a^b |f(t)|^2\,dt < \infty
لماذا L²؟
الإشارات الفيزيائية ذات طاقة منتهية. الشرط ∫f²dt < ∞ يُجسّد هذا القيد الفيزيائي مباشرة.
03 / 10
LA 101
M06 · L02
فضاء ضرب داخلي تام
فضاء هيلبرت
فضاء هيلبرت هو فضاء ضرب داخلي تام — كل متتالية كوشي تتقارب داخل الفضاء.
- ℝⁿ مع الضرب النقطي — أبسط فضاء هيلبرت
- L²([a, b]) — فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد
- C([a, b]) — فضاء ضرب داخلي لكن غير تام
- التمامية = ساحة مغلقة للتحليل اللانهائي الأبعاد
04 / 10
LA 101
M06 · L02
إحداثيات لانهائية الأبعاد
متسلسلة فورييه المُعمَّمة
التوسيع
f = \sum_{n=1}^{\infty}\langle f,\varphi_n\rangle\,\varphi_n
مثل ℝⁿ تماماً
المعاملات cₙ = ⟨f, φₙ⟩ هي أضرب داخلية — تماماً كاستخلاص الإحداثيات عبر الأضرب النقطية.
05 / 10
LA 101
M06 · L02
حفظ الطاقة
مبرهنة بارسيفال
بارسيفال
\|f\|^2 = \int_a^b|f|^2\,dt = \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2
مبرهنة فيثاغورس اللانهائية الأبعاد. طاقة نطاق الزمن تساوي مجموع مربعات معاملات فورييه — تُحفظ الطاقة في التحويل.
06 / 10
LA 101
M06 · L02
عائلات متعامدة
ما وراء الجيب وجيب التمام
- المنظومة المثلثية — L²([0, 2π])، فورييه الكلاسيكي
- متعددات لوجاندر — L²([−1, 1])، التماثل الكروي
- متعددات إيرميت — L²(ℝ) الموزون، قنوات غاوس
- المويجات — التوطين الزمني-الترددي، الضغط
- كل عائلة هي الأساس الطبيعي لفضائها المحدد
07 / 10
LA 101
M06 · L02
تطبيقات هندسية
فضاءات الدوال في التطبيق
- OFDM — إسقاط الإشارة المستقبلة على N حاملة متعامدة (DFT)
- نظرية أخذ العينات — فضاء جزئي محدود النطاق، بارسيفال يُتيح الإعادة
- الترشيح المنخفض التمرير — إسقاط متعامد على الفضاء الجزئي المحدود النطاق
- تقدير القناة — توسيع القناة في أساس دوبلر-التأخر
- إزالة الضوضاء بالمويجات — تمثيل متناثر في أساس المويجة
09 / 10
LA 101
التالي
الدرس 2 مكتمل
الأفق اللانهائي!
الدوال تعيش في فضاءات هيلبرت. الأسس الوحدية المتعامدة تُتيح التوسيع المستقل عن الإحداثيات. بارسيفال يحفظ الطاقة. الإسقاط يُعطي أفضل تقريب. هذا جبر خطي — في أبعاد لانهائية.
القادم
10 / 10