ما وراء الضرب النقطي
أنت تعرف بالفعل الضرب النقطي: u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ. يُتيح لك حساب الأطوال (‖u‖ = √(u · u)) والزوايا (cos θ = u·v / ‖u‖‖v‖)، ويُعرّف التعامد (u · v = 0). لكن لماذا نقيّد أنفسنا بهذه الصيغة الواحدة؟
الـضرب الداخلي هو تجريد: أي عملية ⟨·,·⟩ على فضاء متجهات تُحقق أربعة بديهيات تؤدي الدور نفسه الذي يؤديه الضرب النقطي. البديهيات تُحاكي الخصائص الجبرية الجوهرية دون تثبيت صيغة بعينها. هذا يُتيح لنا قياس الزوايا بين المتعددات الحدية وبين الدوال وحتى بين المصفوفات — وإجراء الهندسة في فضاءات لا نهائية الأبعاد.
البديهيات الأربع
ليكن V فضاء متجهات حقيقياً. الدالة ⟨·,·⟩ : V × V → ℝ هي ضرب داخلي على V إذا حققت، لكل u، v، w ∈ V وعددٍ قياسي α:
هذه الخصائص الأربع هي بالضبط ما تحتاجه لإجراء الهندسة. الخطية تتيح التوزيع والقياس. التماثل يعني أن الترتيب لا يهم. اللاسالبية تعني أن لا متجه له "طول" تخيّلي. والحدّية تضمن أن ⟨v,v⟩ = 0 يستلزم v = 0 — المتجه الوحيد ذو "الطول" الصفري هو متجه الصفر.
للفضاءات المتجهية المركبة، يُستبدل التماثل بـالتماثل المرافق: ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩* (المرافق المركب). تبقى الخطية في المتغير الأول، ويصبح الثاني خطياً مرافقاً: ⟨u, αv⟩ = α*⟨u,v⟩. والضرب الداخلي المستخدم في هذه الدورة كلها هو ⟨u,v⟩ = Σ uₖ vₖ* = v*u — أي أن المرافقة تقع على المتغير الثاني. (كتب الفيزياء تتبع الاصطلاح المعاكس وترافق المتغير الأول؛ والاثنان شائعان، فتحقّق دائماً أيّهما يقصد المرجع الذي تقرأه.) نركّز هنا على الفضاءات الحقيقية، حيث يتطابق الاصطلاحان.
القياس المُستنتج من الضرب الداخلي
كل ضرب داخلي يُستنتج منه قياس — طريقة لقياس طول المتجهات:
ليس كل قياس يأتي من ضرب داخلي — على سبيل المثال، قياس ℓ¹ (مجموع القيم المطلقة) لا يأتي. ينشأ القياس من ضرب داخلي إذا وفقط إذا حقق قانون متوازي الأضلاع: ‖u+v‖² + ‖u−v‖² = 2‖u‖² + 2‖v‖².
المسافة والمقياس
يُستنتج من القياس مسافة d(u, v) = ‖u − v‖. هذا يجعل أي فضاء ضرب داخلي فضاءً مترياً. التقارب والاستمرارية والحدود كلها تصبح ذات معنى — خطوة حاسمة نحو التحليل في الأبعاد اللانهائية.
متراجحتا كوشي-شوارتز والمثلث
تنبثق متراجحتان أساسيتان من البديهيات وحدها — دون الحاجة إلى صيغة محددة:
متراجحة كوشي-شوارتز تجعل تعريف الزاوية متسقاً: تضمن أن |⟨u,v⟩| / (‖u‖‖v‖) ≤ 1، لذا يمكننا بشكل مشروع تعريف:
تنبثق متراجحة المثلث من كوشي-شوارتز وتنص على ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ — مسافة الخط المستقيم لا تزيد أبداً عن مجموع الضلعين. وهي ما يجعل المسافة مقياساً حقيقياً.
الأضرب الداخلية على فضاءات الدوال
هنا يُؤتي التجريد ثماره. نعتبر فضاء الدوال التربيعية القابلة للتكامل على الفترة [a, b]. نُعرّف:
يمنح هذا الضرب الداخلي الدوالَ المفردات الهندسية نفسها التي نستخدمها للمتجهات. الجيب وجيب التمام لنفس التردد متعامدان على [0, 2π]. مجموعة من الدوال المتعامدة يمكن أن تكون أساساً — كل مركبة تُستخلص عبر ضرب داخلي، تماماً كما تستخلص الأضرب النقطية الإحداثيات في ℝⁿ.
الأضرب الداخلية الموزونة
يمكن التعميم أكثر: ⟨f, g⟩_w = ∫w(t)f(t)g(t)dt لدالة وزن غير سالبة w(t). أوزان مختلفة تُنتج عائلات مختلفة من المتعددات الحدية المتعامدة — متعددات لوجاندر تستخدم w = 1 على [−1,1]، ومتعددات إيرميت تستخدم w = e^(−t²) على ℝ، ومتعددات لاجير تستخدم w = e^(−t) على [0,∞). كل عائلة هي الأساس "الطبيعي" لفضائها الموزون.
الضرب الداخلي فروبينيوس ⟨A, B⟩_F = tr(AᵀB) = Σᵢⱼ AᵢⱼBᵢⱼ يعامل المصفوفات كمتجهات طويلة. يُنتج قياس فروبينيوس ‖A‖_F = √tr(AᵀA). يظهر هذا الضرب الداخلي في مسائل التقريب منخفض الرتبة وإكمال المصفوفات.
التعامد والإسقاطات في فضاءات الضرب الداخلي
بمجرد أن يكون لدينا ضرب داخلي، يمكننا إسقاط أي متجه على أي فضاء جزئي — ليس فقط فضاءات الأعمدة للمصفوفات. الإسقاط لـv على فضاء جزئي W هو العنصر الوحيد p ∈ W بحيث (v − p) ⊥ W، أي ⟨v − p, w⟩ = 0 لكل w ∈ W.
بالنسبة لفضاء جزئي مولود بمجموعة متعامدة موحّدة {e₁, e₂, …, eₖ}، يكون الإسقاط ببساطة:
التطبيقات في معالجة الإشارات والاتصالات
الترشيح المطابق
يحسب المرشح المطابق الضرب الداخلي ⟨r(t), s(t)⟩ = ∫r(t)s(t)dt بين الإشارة المستقبلة r وقالب s. بموجب متراجحة كوشي-شوارتز، هذا هو الكاشف الأمثل للإشارة المعروفة في ضوضاء غاوسية بيضاء مضافة — يُعظّم نسبة الإشارة إلى الضوضاء.
الترابط والتحليل الطيفي
الترابط المتقاطع لإشارتين هو ضرب داخلي مُعامَل بتأخر زمني. في نطاق التردد، الأضرب الداخلية بين الإشارات والأسُس المركبة تعطي معاملات تحويل فورييه — مُظهِرةً "الزاوية" بين الإشارة وكل مركبة ترددية.
OFDM والحاملات الفرعية المتعامدة
تقنية OFDM (التعدد بتقسيم التردد المتعامد) تستند كلياً على تعامد الأسُس المركبة e^(j2πnΔft) تحت الضرب الداخلي L². كل حاملة فرعية متعامدة مع جميع الأخريات على فترة رمز واحدة، مما يُتيح الإرسال المتوازي دون تداخل بين الحاملات — كل ذلك بفضل بنية الضرب الداخلي.
الضرب الداخلي ⟨·,·⟩ على فضاء متجهات يجب أن يُحقق: الخطية في المتغير الأول، والتماثل، والإيجابية الكاملة. يُستنتج منه قياس ‖v‖ = √⟨v,v⟩ ومسافة d(u,v) = ‖u−v‖. متراجحة كوشي-شوارتز |⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖‖v‖ تُتيح تعريف الزاوية بصرامة. الضرب الداخلي L²: ⟨f,g⟩ = ∫f(t)g(t)dt يُمدّ كل هذا إلى فضاءات الدوال. التعامد والإسقاط وتحليل الأساس يعملان تماماً كما في ℝⁿ — الضرب الداخلي هو اللغة العالمية للهندسة.