فضاءات الدوال

الدوال كمتجهات

في الوحدات السابقة، كانت المتجهات قوائم من الأعداد — عناصر ℝⁿ. البديهيات العشر لفضاء المتجهات (الانغلاق تحت الجمع والضرب القياسي، التجميع، الإبدالية، المحايد، المعاكسات، وقوانين التوزيع الأربعة) صيغت في ℝⁿ لكنها تتحقق لفئة أوسع بكثير من الكائنات.

نعتبر مجموعة جميع الدوال المستمرة على الفترة [a, b]. دالتان مستمرتان f وg نستطيع تكوين f + g (الجمع النقطي) وαf (القياس النقطي) — وكلاهما مستمرة. تتحقق جميع البديهيات العشر. إذاً الدوال المستمرة على [a, b] تُشكّل فضاء متجهات نسمّيه C([a, b]).

هذا ليس فضولاً علمياً. يعني أن كل مفهوم بنيناه في ℝⁿ — التراكيب الخطية والأسس والبُعد والتعامد والإسقاطات — إما ينتقل مباشرة أو له نظير طبيعي في الأبعاد اللانهائية.

الفضاء L²

بالنسبة لمعالجة الإشارات والفيزياء، أهم فضاء دوال هو L²([a, b]): مجموعة جميع الدوال f بحيث تكامل f² منتهٍ.

الفضاء L²

L^2([a,b]) = \left\{ f : [a,b] \to \mathbb{R} \;\Big|\; \int_a^b |f(t)|^2\,dt < \infty \right\}

تنتمي دالة إلى L²([a, b]) بالضبط عندما تكون "طاقتها" — تكامل مربعها — منتهية. يشمل ذلك جميع الدوال المستمرة على فترة مغلقة وجميع الدوال المستمرة بالأجزاء وكثيراً غيرها. يستثني الدوال التي تتفجر بشدة، كـ 1/x قرب الصفر.

L²([a, b]) فضاء متجهات: مجموع دالتين ذواتَي طاقة منتهية لهما طاقة منتهية (بمتراجحة المثلث للتكاملات)، وقياس دالة ذات طاقة منتهية يُبقيها في L². والأهم أنه يحمل الضرب الداخلي L² وهو ⟨f, g⟩ = ∫f(t)g(t)dt الذي قدّمناه في الدرس 1، مما يجعله فضاء ضرب داخلي.

لماذا L² وليس غيره؟

الإشارات الفيزيائية ذات طاقة منتهية: الشكل الموجي المُرسَل لا يمكنه حمل طاقة لانهائية. الشرط ∫f²(t)dt < ∞ يُجسّد ذلك مباشرة. علاوة على ذلك، L² هو فضاء الدوال الوحيد الذي يكون في آنٍ واحد فضاء ضرب داخلي وتاماً (كل متتالية كوشي تتقارب داخله) — مما يجعله فضاء هيلبرت، النظير اللانهائي الأبعاد للفضاء الإقليدي.

فضاءات هيلبرت

فضاء هيلبرت هو فضاء ضرب داخلي تام. التمامية تعني أن المتتاليات التي "يُفترض أن تتقارب" (متتاليات كوشي) تتقارب دائماً إلى حدٍّ لا يزال في الفضاء. ℝⁿ تام بشكل بديهي؛ L²([a, b]) هو الإتمام اللانهائي الأبعاد لفضاء الدوال المستمرة تحت قياس L².

أهمية التمامية

الفضاء C([a, b]) مع الضرب الداخلي L² غير تام: يمكن بناء متتاليات كوشي من دوال مستمرة تتقارب إلى حدٍّ غير مستمر (مثل الموجة المربعة كحدٍّ للتقريبات السلسة). L² هو الفضاء الصحيح لأنه يضم تلك الدوال الحدّية، مانحاً ساحة مغلقة يعمل فيها التحليل.

الدوال المتعامدة وأسس الدوال

في ℝⁿ، يتيح الأساس الوحدي المتعامد {e₁, …, eₙ} تمثيل أي متجه كـ v = Σ ⟨v, eᵢ⟩ eᵢ. يعمل الأمر نفسه تماماً في L²: متتالية وحدية متعامدة {φ₁, φ₂, …} في L² تُحقق ⟨φₘ, φₙ⟩ = δₘₙ (واحد إذا m = n، صفر خلاف ذلك). إذا كانت هذه المتتالية أيضاً تامة (لا توجد دالة غير صفرية متعامدة مع جميعها)، فيمكن كتابة أي f ∈ L² على الصورة:

متسلسلة فورييه المُعمَّمة

f = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \varphi_n, \qquad c_n = \langle f,\, \varphi_n \rangle = \int_a^b f(t)\,\varphi_n(t)\,dt

المعاملات cₙ = ⟨f, φₙ⟩ هي بالضبط الأضرب الداخلية لـ f مع كل دالة أساسية — النظير المباشر لاستخلاص الإحداثيات عبر الأضرب النقطية في ℝⁿ. تتقارب المتسلسلة بمعنى L² (تقارب قياس الخطأ نحو الصفر).

المنظومة المثلثية

أشهر منظومة متعامدة في L²([0, 2π]) هي المنظومة المثلثية: الدوال {1/√(2π)، cos(nt)/√π، sin(nt)/√π} لـ n = 1, 2, 3, … متعامدة تبادلياً وتُشكّل مجموعة وحدية متعامدة تامة. التوسيع لـ f في هذا الأساس يعطي متسلسلة فورييه الكلاسيكية.

معاملات فورييه كأضرب داخلية

a_n = \langle f,\, \tfrac{\cos(nt)}{\sqrt{\pi}} \rangle = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\cos(nt)\,dt

المعامل aₙ في فورييه هو الضرب الداخلي L² لـ f مع cos(nt)/√π — يقيس كمية النمط التوافقي الـn الموجودة في f. هذا بالضبط إسقاط في L². الإطار الجبري للضرب الداخلي يجعل تحليل فورييه مجرد "جبر خطي في أبعاد لانهائية".

متعددات لوجاندر وإيرميت

الدوال المثلثية ليست الخيار الوحيد. على الفترة [−1, 1] مع الضرب الداخلي L² القياسي، متعددات لوجاندر {P₀, P₁, P₂, …} تُشكّل منظومة متعامدة تامة. تنشأ طبيعياً في حل المعادلات التفاضلية ذات التماثل الكروي (مثل تحليل الهوائيات وميكانيكا الكم).

على (−∞, ∞) مع الضرب الداخلي الموزون ⟨f, g⟩ = ∫e^(−t²)f(t)g(t)dt، تؤدي متعددات إيرميت الدور نفسه. تظهر في المتذبذب التوافقي الكمومي وفي تحليل قنوات غاوس في الاتصالات. كل عائلة هي الأساس "الطبيعي" لفضائها المحدد.

مبرهنة بارسيفال وحفظ الطاقة

عندما يمتد أساس وحدي متعامد ليغطي L² كاملاً، يساوي قياس f قياس ℓ² لمعاملاته:

مبرهنة بارسيفال

\|f\|^2 = \int_a^b |f(t)|^2\,dt = \sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2

الطاقة الكلية للإشارة تساوي مجموع مربعات معاملات فورييه (أو فورييه المُعمَّمة). هذه هي مبرهنة فيثاغورس اللانهائية الأبعاد: يُحفظ القياس عند الانتقال إلى أساس وحدي متعامد. في معالجة الإشارات، هذا يعني أن طاقة الإشارة في نطاق الزمن تساوي طاقتها في نطاق التردد.

مبرهنة بارسيفال هي مبرهنة فيثاغورس اللانهائية الأبعاد. تقول بوجود تشاكل خطي إيزومتري بين L²([a, b]) وفضاء المتتاليات ℓ² (المتتاليات ذات المجاموع المربعية) — الفضاءان متطابقان هندسياً، مُوصَّفان فقط بـ"إحداثيات" مختلفة.

الصلة بنظرية أخذ العينات

مبرهنة بارسيفال تدعم مبرهنة أخذ العينات لنايكويست-شانون: إشارة محدودة النطاق (معاملات فورييه لها تتلاشى بعد التردد W) يمكن إعادة بنائها بدقة من عينات بمعدل 2W. أخذ العينات ليس أكثر من قراءة أضرب داخلية محددة للإشارة مع دوال sinc — مجموعة منتهية من الإسقاطات التي تلتقط كامل محتوى الإشارة.

الفضاءات الجزئية لـ L²

لفضاءات الدوال بنية فضاء جزئي غنية. بعض الأمثلة المهمة:

الإشارات محدودة النطاق: الدوال التي يتلاشى تحويل فورييه لها خارج [−W, W]. هذا فضاء جزئي مغلق في L²(ℝ)، والإسقاط المتعامد عليه هو بالضبط الترشيح المنخفض التمرير المثالي.
المتعددات الحدية من الدرجة ≤ n: فضاء جزئي منتهي الأبعاد. الملاءمة متعددة الحدود بالمربعات الصغرى هي الإسقاط المتعامد للدالة على هذا الفضاء تحت الضرب الداخلي L².
الدوال الزوجية (أو الفردية): فضاءات جزئية مغلقة في L²([−π, π]). تتحلل أي دالة بشكل وحيد إلى جزأيها الزوجي والفردي — مجموع مباشر متعامد.

الإسقاط وأفضل تقريب

مبرهنة الإسقاط لفضاءات هيلبرت تقول: لأي فضاء جزئي مغلق W ⊂ L² وأي دالة f، يوجد تقريب أفضل وحيد p ∈ W يُقلّل ‖f − p‖. هذا p هو الإسقاط المتعامد لـ f على W، و(f − p) ⊥ W. المجموع الجزئي لمتسلسلة فورييه هو بالضبط هذا الإسقاط على الفضاء الجزئي المولود بأول N دالة أساسية.

أفضل تقريب في L²

S_N f = \sum_{n=1}^{N} \langle f,\, \varphi_n \rangle\, \varphi_n = \underset{g \in \mathrm{span}\{\varphi_1,\ldots,\varphi_N\}}{\arg\min}\, \|f - g\|

المجموع الجزئي Sₙf يُقلّل خطأ L² وهو ‖f − g‖ على جميع التراكيب الخطية g لـ {φ₁, …, φₙ}. زيادة الحدود تعني تقريباً أفضل؛ التمامية تضمن أن الخطأ يتجه نحو الصفر بزيادة N إلى اللانهاية.

التطبيقات في معالجة الإشارات والاتصالات

تحليل حاملات OFDM الفرعية

يُحلّل OFDM القناة العريضة إلى N قناة ضيقة بإسقاط الإشارة المستقبلة على N أسٍّ مركب متعامد. كل إسقاط ضرب داخلي — نقطة واحدة في مخرج DFT. تعامد الحاملات الفرعية (بالمعنى L²) يضمن أن هذه الإسقاطات مستقلة، مما يُتيح استعادة البيانات بالتوازي دون تداخل بين الحاملات.

تقدير القناة عبر التوسيع في الأساس

استجابة الاندفاع للقناة المتغيرة زمنياً h(t, τ) يمكن توسيعها في أساس من دوال دوبلر-التأخر. يُختزل تقدير القناة في تقدير معاملات التوسيع — مجموعة منتهية من الأضرب الداخلية. اختيار الأساس (ومن ثَمّ الفضاء الجزئي للدوال) يحدد المقايضة بين دقة التقدير والعبء على الرمز التجريبي.

تحليل المويجات

الأساس الفورييه محلّي في التردد لكنه غير محلّي في الزمن. توفر المويجات أسساً وحدية متعامدة لـ L²(ℝ) محلّية في آنٍ واحد في الزمن والتردد. معاملات توسيع المويجة ⟨f, ψⱼₖ⟩ تلتقط المحتوى الترددي المحلي للإشارة عند الزمن 2⁻ʲk والمقياس 2⁻ʲ. هذا يجعل المويجات الأداة المفضلة للضغط (JPEG 2000) وإزالة الضوضاء، حيث تكون معالم الإشارة متناثرة في أساس المويجة.

أبرز النقاط

الدوال تُشكّل فضاءات متجهات: C([a, b]) وL²([a, b]) يُحققان البديهيات العشر لفضاء المتجهات. L² فضاء هيلبرت — فضاء ضرب داخلي تام. الأساس الوحدي المتعامد {φₙ} في L² يُنتج التوسيع فورييه المُعمَّم f = Σ ⟨f, φₙ⟩ φₙ، مع مبرهنة بارسيفال ‖f‖² = Σ |⟨f, φₙ⟩|² التي تحفظ الطاقة. الإسقاط المتعامد على فضاء جزئي يُعطي أفضل تقريب — نفس الهندسة في ℝⁿ لكن في أبعاد لانهائية. هذا الإطار يوحّد تحليل فورييه والتقدير الطيفي والترشيح الأمثل وتمثيل القنوات تحت سقف جبري واحد.