ما هو الاحتمال؟
الاحتمال هو اللغة الرياضية لـعدم اليقين. يحوّل الحدوس الغامضة حول الصدفة إلى أرقام دقيقة ومتسقة.
التجارب والنتائج
التجربة العشوائية أي عملية ذات نتيجة غير مؤكدة. فضاء العينة Ω يُدرج كل النتائج الممكنة.
الأحداث
الحدث هو أي مجموعة جزئية من فضاء العينة — تجميع للنتائج نريد حساب احتماله.
الاتحاد والتقاطع والمتمم
- A ∪ B — يقع A أو B أو كلاهما
- A ∩ B — يقع A وB معاً
- Ac — لا يقع A
- متنافيان — A ∩ B = ∅، لا يتداخلان
ماذا يعني الاحتمال؟
- الكلاسيكي — نسبة النتائج الملائمة إلى المتساوية
- التكراري — التردد النسبي على المدى الطويل
- البايزي — درجة اعتقاد تُحدَّث بالأدلة
الاحتمال الكلاسيكي
حين تكون جميع النتائج متساوية الاحتمال، يكون الاحتمال ببساطة نسبة النتائج الملائمة إلى الإجمالي.
النظرة التكرارية
قلب عملة مليون مرة: نسبة الوجه تتقارب إلى 0.5. الاحتمال خاصية عملية قابلة للتكرار، لا تجربة واحدة.
النظرة البايزية
الاحتمال يقيس درجة الاعتقاد. يمكن إسناده لأي قضية غير مؤكدة — حتى الأحداث التي تقع مرة واحدة — ويُحدَّث بتراكم الأدلة.
مسلّمات كولموغوروف
- المسلّمة 1 — P(A) ≥ 0 لأي حدث A
- المسلّمة 2 — P(Ω) = 1 (شيء ما لا بد أن يقع)
- المسلّمة 3 — P(A∪B) = P(A)+P(B) إذا A∩B = ∅
المتمم والجمع
قاعدتان ستستخدمهما في كل حسابات الاحتمال تقريباً:
التباديل والتوافيق
الاحتمال الكلاسيكي يستلزم عدّ النتائج. الترتيب مهم ← تباديل. الترتيب غير مهم ← توافيق.
ما تعلمناه
فضاءات العينة، الأحداث، ثلاثة تفسيرات، مسلّمات كولموغوروف، قواعد المتمم والجمع، وأساليب العدّ — الأساس الكامل للاحتمال.