ما هو الاحتمال؟

الصدفة في كل مكان

حين تقلب عملةً معدنية، أو تلقي نرداً، أو تنظر إلى توقعات الطقس، أو تتلقى نتيجة فحص طبي، فأنت تتعامل مع عدم اليقين. الاحتمال هو اللغة الرياضية التي نستخدمها للتفكير في هذا الغموض بصورة منهجية — لنُسند أرقاماً لمدى احتمال وقوع الأحداث، ونُحدِّثها كلما وصلت معلومات جديدة.

دراسة الاحتمالات هي الأساس الذي تقوم عليه الإحصاء بأكمله. قبل أن نتمكن من تقدير المعاملات، واختبار الفرضيات، وبناء النماذج، نحتاج إلى مجموعة متسقة من القواعد للحديث عن العشوائية. تلك القواعد هي موضوع هذا الدرس.

التجارب والنتائج وفضاء العينة

كل سياق احتمالي يبدأ بـتجربة عشوائية: أي عملية لا يمكن التنبؤ بنتيجتها بيقين مسبق. قلب عملة معدنية نزيهة، ورمي نرد سداسي الأوجه، وقياس درجة حرارة الغد، واختيار شخص عشوائي من مجتمع — كلها أمثلة.

القائمة الكاملة لجميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية تسمى فضاء العينة، ويُرمز له عادةً بـΩ (أوميغا). لقلب عملة: Ω = {H, T}. لرمي نرد: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. لقلب عملتين: Ω = {HH, HT, TH, TT}.

الحدث هو أي مجموعة جزئية من فضاء العينة — أي تجميع للنتائج نهتم به. «الحصول على عدد زوجي» يوافق الحدث A = {2, 4, 6}. «الحصول على وجه واحد على الأقل في قلب عملتين» يوافق B = {HH, HT, TH}.

عمليات على الأحداث

الأحداث مجموعات، إذن تنطبق عليها جميع عمليات نظرية المجموعات. ليكن A وB حدثين في فضاء العينة Ω ذاته.

الاتحاد A ∪ B يضم جميع النتائج الموجودة في A أو في B أو في كليهما. يوافق الحدث «يقع A أو B (أو كلاهما)». لرمي نرد مع A = {2, 4, 6} (زوجي) وB = {1, 2, 3} (أقل من 4): A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}.

التقاطع A ∩ B يضم النتائج الموجودة في A وB معاً. يوافق «يقع A وB كلاهما». في المثال نفسه: A ∩ B = {2}.

المتمم A^c يضم جميع النتائج في Ω التي لا توجد في A. يوافق «لا يقع A». لـA = {2, 4, 6}: A^c = {1, 3, 5}.

حدثان متنافيان (أو منفصلان) إذا كان A ∩ B = ∅ — لا يمكن أن يقعا معاً في نفس التجربة.

ثلاثة تفسيرات للاحتمال

يتفق علماء الرياضيات على مسلّمات الاحتمال (مزيد من التفاصيل قريباً)، لكن المعنى الفلسفي للتصريح باحتمالية حدث ما يظل محل نقاش منذ قرون. ثمة ثلاثة مذاهب رئيسية.

التفسير الكلاسيكي يُطبَّق حين تكون جميع النتائج متساوية الاحتمال. الاحتمال هو نسبة النتائج الملائمة إلى مجموع النتائج. عند رمي نرد نزيه، احتمال الحصول على 3 هو 1/6 لأن وجهاً واحداً فقط من أصل ستة يُظهر رقم 3.

التفسير التكراري يُعرِّف الاحتمال بوصفه التردد النسبي على المدى الطويل. لو قلبت عملة نزيهة مليون مرة، فإن نسبة الوجه تتقارب إلى 0.5. الاحتمال ليس خاصية تجربة واحدة بل خاصية عملية تتكرر إلى ما لا نهاية.

التفسير البايزي يُعامل الاحتمال بوصفه درجة اعتقاد — مقياساً للثقة في وقوع حدث ما، بناءً على كل ما نعلمه حالياً. بموجب هذا التفسير، يمكن إسناد احتمال لأحداث تقع مرة واحدة، ويمكن تحديثه بتراكم الأدلة. احتمال أن يكون المتهم مذنباً، أن يجدي علاج جديد نفعاً، أن تمطر غداً — كلها قابلة للتعبير ببايزية.

مسلّمات كولموغوروف

بصرف النظر عن التفسير الذي تؤثره، يتفق الجميع على القواعد الرياضية. في عام 1933، وضع أندريه كولموغوروف نظرية الاحتمال على أساس صارم من المسلّمات. مسلّماته الثلاث بسيطة، لكنها كافية لاشتقاق كل نتيجة في نظرية الاحتمال.

كل شيء آخر في الاحتمال يتبع هذه المسلّمات الثلاث. الاحتمالات دائماً بين 0 و1. احتمال الحدث المستحيل هو 0. المتممات تجمع إلى 1. كل ذلك يمكن إثباته من المسلّمات — ليست افتراضات إضافية.

قواعد الاحتمال الأساسية

من مسلّمات كولموغوروف تنتج مباشرةً قاعدتان أساسيتان.

قاعدة المتمم تقول إن احتمال عدم وقوع حدث يساوي واحداً ناقص احتمال وقوعه. هي في الغالب أسهل طريقة لحساب احتمالات «على الأقل حدث واحد»: احسب احتمال المتمم (لا شيء) ثم اطرحه من 1.

قاعدة الجمع تعطي احتمال اتحاد حدثين. إذا كان A وB يمكن أن يتداخلا، يجب طرح التقاطع المحسوب مرتين.

العدّ: التباديل والتوافيق

في الاحتمال الكلاسيكي، حساب P(A) = |A| / |Ω| يستلزم معرفة عدد النتائج في كل مجموعة. هنا تصبح أساليب العدّ — التوافيقيات — ضرورة.

التبديل هو ترتيب مرتب للعناصر. إذا كان لديك n عنصراً مميزاً واخترت k منها بترتيب معين، فعدد التباديل هو:

التوفيق هو اختيار غير مرتب — مجموعة جزئية. إذا كان الترتيب غير مهم (يهمنا فقط أي العناصر اختيرت لا تسلسلها)، فالعدد أصغر:

التوافيق تظهر باستمرار في الاحتمال. احتمال الحصول على يد بوكر محددة، أو اختيار لجنة، أو أي سيناريو يكون فيه الترتيب غير ذي صلة — كلها تُرجع إلى حساب المعامل ذي الحدين C(n, k).

الصورة الكاملة

يمنحنا الاحتمال لغة: فضاءات العينة تحدد جميع النتائج الممكنة، والأحداث هي الأشياء التي نهتم بها، ومقاييس الاحتمال تُسند أرقاماً بين 0 و1 بشكل متسق. المسلّمات تضمن ألا تتعارض تقديراتنا. قواعد المتمم والجمع تتيح لنا حساب احتمالات الأحداث المعقدة انطلاقاً من أحداث أبسط. وأساليب العدّ تتيح لنا إحصاء الاحتمالات حين يُطبَّق الإطار الكلاسيكي.

في الدرس القادم، سنمتد بهذا الإطار إلى الاحتمال الشرطي — ماذا يحدث لاحتمال A حين نعلم أن B قد وقع — وإلى أحد أقوى الأدوات في الإحصاء بأكمله: نظرية بايز.