التوزيعات المتقطعة الشائعة | STAT-101

تصنيف تجارب العدّ

الطبيعة مليئة بتجارب العدّ. كم عميلاً يصل في الساعة؟ كم تجربة حتى أول عيب؟ كم زلزالاً يضرب منطقة كل عام؟ لكل من هذه المواقف نموذج رياضي طبيعي — توزيع متقطع مسمّى خصائصه معروفة جيداً وتحمل معاملاته معنى عملياً مباشراً.

تعلّم هذه التوزيعات ليس حفظاً في حد ذاته. كل توزيع يُشفِّر قصة عن كيفية توليد البيانات. حين تتعرف على القصة وراء بياناتك، تعرف فوراً النموذج الصحيح وقيمته المتوقعة وتباينه وكيفية حساب أي احتمال تحتاجه.

في هذا الدرس ندرس خمسة توزيعات متقطعة أساسية: برنولي، والثنائي، وبواسون، والهندسي، والثنائي السالب. تغطي هذه التوزيعات مجتمعةً مجالاً واسعاً من مسائل العدّ الواقعية.

توزيع برنولي

أبسط متغير عشوائي ممكن يأخذ قيمتين فقط: 1 (نجاح) باحتمال p، و0 (فشل) باحتمال 1 − p. هذا هو توزيع برنولي، الذي سُمِّي باسم الرياضي السويسري جاكوب برنولي.

كل نتيجة ثنائية في الإحصاء — رمية عملة، استجابة بنعم/لا في استطلاع، نجاح قطعة مصنوعة في الفحص، تعافي مريض — هي تجربة برنولي. المعامل p هو احتمال النجاح، ويحدد التوزيع بالكامل.

دالة كتلة احتمال برنولي

P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k}, \quad k \in \{0, 1\}

P(X = 1) = p وP(X = 0) = 1 − p. المعامل الوحيد p ∈ (0, 1) هو احتمال النجاح.

المتوسط

E[X] = p

القيمة المتوقعة تساوي احتمال النجاح

التباين

\text{Var}(X) = p(1-p)

التباين يبلغ أقصاه عند p = 0.5

التباين p(1 − p) يبلغ أقصاه 0.25 عند p = 0.5، ويقترب من الصفر عند اقتراب p من 0 أو 1. هذا منطقي: العملة شديدة الانحياز (تطلع رأساً دائماً تقريباً) أكثر قابلية للتنبؤ، وبالتالي تباينها أقل من العملة العادلة.

التوزيع الثنائي

لنفترض أنك تكرر تجربة برنولي n مرة باستقلالية، بنفس احتمال النجاح p في كل تجربة. يُنمذج التوزيع الثنائي إجمالي عدد النجاحات عبر جميع التجارب الـ n.

التوزيع الثنائي هو على الأرجح أهم توزيع متقطع في الإحصاء بأكمله. يكمن خلف التجارب السريرية (كم مريضاً يستجيب للعلاج؟)، والرقابة على الجودة (كم قطعة معيبة في الدفعة؟)، واستطلاعات الرأي الانتخابية (كم ناخباً يؤيد مرشحاً؟)، واختبارات A/B.

دالة كتلة احتمال الثنائي

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

المعامل الثنائي C(n,k) يعدّ عدد الطرق لاختيار أي k من التجارب الـ n تكون نجاحات.

قصة التوزيع الثنائي

الإعداد: n تجربة مستقلة، كل منها باحتمال نجاح p.

المتغير العشوائي X: إجمالي عدد النجاحات، X ∈ {0, 1, 2, …, n}.

الافتراض الأساسي: التجارب مستقلة وجميعها بنفس قيمة p.

المتوسط

E[X] = np

متوسط عدد النجاحات في n تجربة

التباين

\text{Var}(X) = np(1-p)

انتشار عدد النجاحات حول المتوسط

المتوسط np يتبع مباشرة من خطية التوقع: X مجموع n متغير برنولي(p) مستقل، كل منها بمتوسط p، فـ E[X] = np. وكذلك Var(X) = n × p(1 − p) باستقلالية التجارب.

مثال: لنفرض أن 30% من العملاء الذين يستلمون بريداً ترويجياً يشترون. إذا أرسلنا 200 بريد، فإن عدد المشتريات المتوقع E[X] = 200 × 0.3 = 60، بانحراف معياري σ = √(200 × 0.3 × 0.7) ≈ 6.5.

توزيع بواسون

بعض المتغيرات العشوائية تعدّ أحداثاً تقع في فترة زمنية أو مكانية محددة — مكالمات هاتفية تصل إلى مركز خدمة في الساعة، حوادث على طريق سريع شهرياً، أخطاء مطبعية في كل صفحة. حين تكون الأحداث نادرة نسبياً ومستقلة، يكون توزيع بواسون النموذج الطبيعي.

لتوزيع بواسون معامل واحد λ (لامدا)، وهو المعدل أو متوسط عدد الأحداث في الفترة. اللافت أن المتوسط والتباين كلاهما يساويان λ.

دالة كتلة احتمال بواسون

P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}

λ > 0 هو معدل الأحداث. المجال k = 0, 1, 2, … (بلا حد أعلى).

المتوسط

E[X] = \lambda

المتوسط يساوي معامل المعدل λ

التباين

\text{Var}(X) = \lambda

التباين أيضاً يساوي λ — خاصية فريدة

ينشأ توزيع بواسون كحد للتوزيع الثنائي حين يكون n كبيراً جداً وp صغيراً جداً مع ثبات np = λ. هذا هو تقريب بواسون للثنائي: إذا كان n ≥ 100 وp ≤ 0.01، فإن Poisson(λ = np) تقريب ممتاز.

شروط بواسون

تقع الأحداث باستقلالية عن بعضها.

المعدل λ ثابت عبر فترة الرصد.

لا يمكن أن يقع حدثان في اللحظة الدقيقة ذاتها.

التوزيع الهندسي

بدلاً من عدّ النجاحات في عدد ثابت من التجارب، لنسأل: كم تجربة حتى أول نجاح؟ هذا السؤال عن وقت الانتظار يؤدي إلى التوزيع الهندسي.

تخيل رمي نرد مراراً حتى تحصل على ستة. كم رمية ستحتاج؟ كل رمية لها احتمال نجاح p = 1/6 باستقلالية. يُنمذج التوزيع الهندسي عدد التجارب اللازمة بما فيها التجربة الناجحة.

دالة كتلة احتمال الهندسي

P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p

k = 1, 2, 3, … هو رقم التجربة التي يقع فيها أول نجاح. التجارب الـ k − 1 الأولى إخفاقات والـ k-ة نجاح.

المتوسط

E[X] = \dfrac{1}{p}

متوسط التجارب حتى أول نجاح

التباين

\text{Var}(X) = \dfrac{1-p}{p^2}

انتشار وقت الانتظار

للتوزيع الهندسي خاصية رائعة تُعرف بـ فقدان الذاكرة: بمعرفة أنك أخفقت k مرات بالفعل، يظل توزيع التجارب الإضافية اللازمة كما لو كنت تبدأ من الصفر. بين التوزيعات المتقطعة، التوزيع الهندسي هو التوزيع الوحيد الذي يفقد الذاكرة.

لـ p = 1/6، E[X] = 6 — تحتاج في المتوسط ست رميات للحصول على ستة. لـ p = 0.01 (حدث نادر بنسبة 1 من 100)، E[X] = 100 — تحتاج نحو 100 محاولة في المتوسط.

التوزيع الثنائي السالب

يسأل الهندسي: كم تجربة حتى أول نجاح؟ يُعمِّم التوزيع الثنائي السالب هذا إلى: كم تجربة حتى النجاح الـ r؟ إنه النموذج الطبيعي حين تحتاج إلى الانتظار لعدة نجاحات.

أمثلة واقعية: كم محاولة تصنيع قبل إنتاج r وحدة مقبولة؟ كم مريضاً يجب تجنيده قبل استجابة r منهم للعلاج؟ كم بريداً يجب إرساله قبل r تحويلات؟

دالة كتلة احتمال الثنائي السالب

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

k ≥ r هو التجربة التي يقع فيها النجاح الـ r. C(k−1, r−1) يعدّ ترتيبات أول r−1 نجاحات بين أول k−1 تجربة.

المتوسط

E[X] = \dfrac{r}{p}

متوسط التجارب لتحقيق r نجاحات

التباين

\text{Var}(X) = \dfrac{r(1-p)}{p^2}

انتشار وقت الانتظار لـ r نجاحات

الثنائي السالب بـ r = 1 يُرجع التوزيع الهندسي، كما هو متوقع. يمكن أيضاً اعتباره مجموع r متغير هندسي(p) مستقل: يُعطي خطية التوقع المتوسط r/p والتباين r(1 − p)/p² مباشرة.

اختيار التوزيع المناسب

كل توزيع من التوزيعات الخمسة التي درسناها يقابل قصة توليدية محددة. تحديد أي قصة تطابق بياناتك هو المهارة الأساسية في الإحصاء التطبيقي.

دليل اختيار التوزيع

تجربة ثنائية واحدة (نجاح/فشل، رمية واحدة) ← برنولي(p)

عدد ثابت من التجارب المستقلة، عدّ النجاحات ← ثنائي(n, p)

عدّ أحداث نادرة مستقلة في فترة ثابتة ← بواسون(λ)

كم تجربة حتى أول نجاح؟ ← هندسي(p)

كم تجربة حتى النجاح الـ r؟ ← ثنائي سالب(r, p)

فحص تشخيصي سريع: إذا كانت متوسط وتباين بياناتك متقاربين تقريباً، فبواسون مرشح قوي. إذا كان التباين أكبر بكثير من المتوسط (فرط التشتت)، فالثنائي السالب غالباً يناسب أفضل. إذا كان التباين أصغر بكثير من المتوسط (نقص التشتت)، تحقق من افتراض الاستقلالية.

لتقدير المعاملات: للثنائي، قدِّر p = (النجاحات المرصودة) / n. لبواسون، قدِّر λ = متوسط العينة. للهندسي، قدِّر p = 1 / متوسط العينة. هذه تقديرات الإمكانية العظمى.

النقاط الرئيسية

برنولي(p): تجربة ثنائية واحدة. المتوسط = p، التباين = p(1 − p). ذرة بناء جميع التوزيعات المتقطعة.
ثنائي(n, p): عدد النجاحات في n تجربة برنولي مستقلة. المتوسط = np، التباين = np(1 − p).
بواسون(λ): عدد أحداث نادرة مستقلة في فترة ثابتة. المتوسط = التباين = λ. حد التوزيع الثنائي عند n → ∞ وp → 0 مع np = λ.
هندسي(p): التجارب حتى أول نجاح. المتوسط = 1/p، التباين = (1 − p)/p². التوزيع المتقطع الوحيد الفاقد للذاكرة.
ثنائي سالب(r, p): التجارب حتى النجاح الـ r. المتوسط = r/p، التباين = r(1 − p)/p². مجموع r متغير هندسي(p) مستقل.
التعرف على القصة وراء بياناتك يحدد فوراً النموذج الصحيح ومعاملاته وكمياته الأساسية.
متوسط ≈ تباين ⇒ فكّر في بواسون. تباين ≫ متوسط ⇒ فكّر في ثنائي سالب. متقطع + n ثابت ⇒ فكّر في ثنائي.