أنت تستعمل أرضيةَ ضوضاء منذ الوحدة 2 دون أن يقال لك من أين جاءت. فسطرُ موازنة الوصلة الذي انتهى إلى −73 dBm في الدرس M2-L4 لم يكن ذا معنى إلا لأن شيئاً أسوأ منه كان مفترضاً تحته. وسَعةُ شانون في الدرس M6-L1 دالّةٌ في نسبة الإشارة إلى الضوضاء، ومنحنيات معدّل خطأ البتّ في الدرسين M5-L2 وM6-L4 مرسومةٌ في مقابل Eb/N₀. فكل هذه الآلة كانت قائمةً على كمّيةٍ استدنّاها ديناً. وهذا الدرس يسدّد الدين: يستنبط الأرضيّة من ثابتٍ واحدٍ ودرجة حرارةٍ واحدة، ويبيّن كم يضيف إليها مستقبِلك أنت، وينتهي إلى الصيغة الوحيدة التي تحوّل ذلك كلّه إلى رقم الحساسية المكتوب في ورقة المواصفات.
أنفقت الوحدة 8 أربعة دروسٍ في إضعاف الإشارة المستقبَلة: فقد الفضاء الحرّ، والحوائل، وتعدّد المسار، والجدران. ولم يكن شيءٌ من ذلك ليَهمّ لو كان في وسع المستقبِل أن يكبّر الواصل إليه ببساطة. فالتكبير رخيص؛ والسبب في فشل الوصلة أن المكبّر يرفع الضوضاء مع الإشارة، وأن النسبة بينهما تُحدَّد في اللحظة التي تبلغ فيها الإشارة أطراف الهوائي. فليست الإشارة قويّةً أو ضعيفةً على وجه الإطلاق. بل هي قويّة أو ضعيفة بالنسبة إلى الضوضاء التي تشاركها عرض النطاق.
فالسؤال المفيد ليس «كم يمكن أن تصغر الإشارة؟» بل «كم تصغر الضوضاء؟» — وخلافاً للتداخل الذي هو مرسِل شخصٍ آخر وقابلٌ للتفاوض، فإن جزءاً من الضوضاء نتيجةٌ لدرجة الحرارة ولا يقبل تفاوضاً أصلاً. فكل مقاومةٍ فوق الصفر المطلق تنتج جهداً متذبذباً على طرفيها، لأن حاملات الشحنة فيها في حركةٍ حرارية. ضَعْ تلك المقاومة عند دخل مستقبِلٍ فتكون قد حقنت فيه ضوضاء دون أن تُرسل شيئاً. تلك هي الأرضيّة، وهي ما سنضع له الآن رقماً.
قاس الأثرَ جون ب. جونسون في مختبرات بِل سنة 1928، وفسّره نظريّاً هاري نايكويست في السنة نفسها والدورية نفسها — ولهذا يحمل الاسمين. ونتيجة نايكويست لافتةٌ بما لا تحتويه: فقدرة الضوضاء المتاحة من مقاومةٍ لا تتعلّق بمقدار المقاومة، ولا بالمادة، ولا بشكل العنصر. إنها تتعلّق بدرجة الحرارة المطلقة وبعرض النطاق الذي تقيس عليه، ولا شيء غير ذلك.
وهذا يعطي أكثر معادلةٍ يُستشهد بها في تصميم المستقبِلات، وهي من أقصرها:
وأمران في هذا يستحقّان التوكيد قبل إدخال الأرقام. الأول أن قدرة الضوضاء تتناسب مع عرض النطاق: فمضاعفة عرض النطاق تضاعف الضوضاء، أي 3 ديسيبل، وذلك هو الثمن الذي تدفعه مقابل كل صنفٍ من السرعة. والثاني أن kTB هي الضوضاء التي يسلّمها المنبع إلى حِملٍ مُطابَق، فهي الضوضاء المتاحة عند أطراف الهوائي أيّاً كان ما يفعله المستقبِل بعد ذلك. وليس في وسع المستقبِل إلا أن يزيد عليها.
لا أحد يحسب 4×10⁻²¹ واط مرّتين. بل تحوّل kT مرّةً واحدة، عند درجة حرارةٍ مرجعية، إلى ديسيبلات منسوبةٍ إلى الملي واط (الدرس M2-L4)، ثم تضيف عرض النطاق بالديسيبل. ودرجة الحرارة المرجعية عند IEEE لأعمال الضوضاء هي T₀ = 290 كلفن، أي 16.85 درجة مئوية — اختيرت ليقع الحساب على رقمٍ مستدير، وهي منخفضةٌ بما يكفي لتكون رقم غرفةٍ عادلاً. إذن:
ويجدر التحقّق من هذا في مقابل رقمٍ استعملته من قبل. فقد عملت موازنة الوصلة الساتلية في الدرس M8-L1 بالـdBW وأوردت ثابت بولتزمان مباشرةً بصيغة 10 log₁₀(k) = −228.6 dBW/كلفن/هرتز. أضِف درجة الحرارة: 10 log₁₀(290) = 24.62 ديسيبل، فيكون −228.6 + 24.62 = −203.98 dBW/هرتز. وحوّل الواط إلى ملي واط بإضافة 30 ديسيبل فتقع على −173.98 dBm/هرتز. فالعُرفان عبارةٌ واحدة؛ ومهندسو السواتل يفصلون T لأن هوائياتهم لا تنظر إلى 290 كلفن، كما سنرى.
وأيُّ درجة حرارةٍ يستعملها كتابٌ ما مصدرٌ حقيقيّ لفروقٍ صغيرة، وتسميتها أفضل من ترك القارئ يتساءل. وهذا الدرس يستعمل 290 كلفن في كل موضع، فتكون النتيجة −174 dBm/هرتز. وكتبٌ كثيرة تستعمل 300 كلفن بدلاً منها، فيكون kT = 1.380649×10⁻²³ × 300 = 4.142×10⁻²¹ واط/هرتز و10 log₁₀(4.142×10⁻¹⁸) = −173.83، وتورَد عادةً بصيغة −173.8 dBm/هرتز. والفرق 0.15 ديسيبل — أدنى بكثيرٍ من عدم اليقين في أي قياسٍ حقيقي، لكنك إن خلطت الاثنين في وسط حسابٍ أفنيت أصيلاً في البحث عن خطأٍ لا وجود له.
لـkTB سقفٌ لن تبلغه أبداً. صيغة نايكويست هي حدُّ التردّدات المنخفضة لمقدارٍ كمومي، وهي صحيحةٌ ما دام hf « kT. وعند 290 كلفن يقع ذلك الحدّ عند نحو 6 تيراهرتز، أي نحو مئتي مرّةٍ فوق أعلى نطاقٍ ملّيمتري في هذه الدورة، فتكون kTB لكل نظامٍ لاسلكيٍّ ستصمّمه في حياتك مضبوطةً ومستويةً — أي أن قدرة الضوضاء لكل هرتز عند 900 ميغاهرتز هي هي عند 28 غيغاهرتز. ولهذا تُسمّى الضوضاء الحرارية بيضاء.
ومع −174 dBm/هرتز في اليد، تصير أرضيّة أي قناةٍ عمليّةَ جمعٍ واحدة. ولاحظ أن هذه عروض نطاقٍ ثنائية الجانب على التردّد الراديوي — أي عرض القناة كما يعرضه محلّل الطيف، وهو B نفسه المستعمل لعرض النطاق المشغول في الدرسين M3-L4 وM6-L2:
| عرض نطاق القناة B | 10 log₁₀(B بالهرتز) | الأرضيّة الحرارية عند 290 كلفن | حيث تلقاها |
|---|---|---|---|
| 1 كيلوهرتز | 30.0 ديسيبل | −174 + 30.0 = −144 dBm | القياس البعدي ضيّق النطاق، ومنارات الموجة المستمرّة، وحلقات تتبّع GPS |
| 200 كيلوهرتز | 53.0 ديسيبل | −174 + 53.0 = −121 dBm | حاملة GSM (قناة تقسيم الزمن في الدرس M10-L2) |
| 1 ميغاهرتز | 60.0 ديسيبل | −174 + 60.0 = −114 dBm | بلوتوث، وهو الرقم الذي يحفظه معظم المهندسين |
| 20 ميغاهرتز | 73.0 ديسيبل | −174 + 73.0 = −101 dBm | قناة Wi-Fi أو LTE |
تحقّق من الأصعب منها بيدك: 10 log₁₀(20×10⁶) = 10 log₁₀(2) + 10 log₁₀(10⁷) = 3.01 + 70 = 73.01 ديسيبل، فتكون الأرضيّة −174 + 73.01 = −100.99، أي −101 dBm. وواحدةٌ أخرى للمقياس: قناة 5G بعرض 100 ميغاهرتز لها 10 log₁₀(10⁸) = 80 ديسيبل من عرض النطاق، فأرضيّتها −94 dBm. والتوسيع من 20 إلى 100 ميغاهرتز عاملُ خمسةٍ أي 7 ديسيبل، وهي بالضبط الـ7 ديسيبل التي ارتفعت بها الأرضيّة. فالقنوات العريضة ليست مجّانية: إنها تشتري السَعة بالضوضاء، وذلك بالضبط هو التبادل الذي سعّره شانون في الدرس M6-L1.
نسبة الإشارة إلى الضوضاء أصرحُ تعريفٍ في هذا الدرس — قدرة الإشارة مقسومةً على قدرة الضوضاء، مقيستين في عرض النطاق نفسه وعند الموضع نفسه من السلسلة — وهي أيضاً أكثر المقادير إيراداً بلَبس. والمشكلة أن أربع نسبٍ متقاربةً تُسمّى كلّها في الكلام «نسبة الإشارة إلى الضوضاء»، وهي تختلف بحدودٍ تبلغ 70 ديسيبل أو أكثر، فلا يكون عدم التطابق خطأً في التدوير.
وأكثر جسرٍ تحتاجه هو الجسر إلى Eb/N₀، لأن منحنيات معدّل خطأ البتّ مرسومةٌ في مقابل Eb/N₀ في حين تقيس المستقبِلات نسبة الإشارة إلى الضوضاء. فقدرة الإشارة هي طاقة البتّ في عدد البتّات في الثانية، أي Ps = EbRb، وقدرة الضوضاء هي N₀B، إذن:
أمّا الثلاثة الأخرى فتظهر في أوراق المواصفات ووثائق المعايير، وبلا تعريفٍ في العادة:
ومثالٌ محسوبٌ يربطها جميعاً. خُذ مستقبِلاً يحمل 20 ديسيبل من نسبة الإشارة إلى الضوضاء في قناةٍ عرضها 20 ميغاهرتز وN₀ = −169 dBm/هرتز (وسنبرّر هذه القيمة قريباً). فتكون C/N₀ = 20 + 73.0 = 93 ديسيبل-هرتز، وعند 4 بتّ/ث/هرتز تكون للوصلة نفسها Eb/N₀ = 20 − 6.0 = 14 ديسيبل. ثلاثة أرقام — 20 و93 و14 — تصف راديواً واحداً. أورِد الخطأ منها فتخرج موازنة وصلتك عن الصواب بـ73 ديسيبل.
kTB هي ما يصل. والعتاد الحقيقي أسوأ، لأن كل مكبّرٍ وخالطٍ ومرشّحٍ يساهم بضوضائه الحرارية وضوضاء الرشّ خاصّته فوق ما أُعطي. ومقياس ذلك الضرر هو معامل الضوضاء F: نسبةُ نسبةِ الإشارة إلى الضوضاء عند الدخل إلى نظيرتها عند الخرج، والدخلُ مُغذَّى من منبعٍ عند درجة الحرارة المرجعية T₀.
وF مكتوبةً كنسبةٍ تُسمّى معامل الضوضاء؛ ومعبَّراً عنها بالديسيبل، NF = 10 log₁₀F، تُسمّى عامل الضوضاء. والكلمتان تُتبادلان كثيراً، فاقرأ الوحدات لا التسمية. والمرحلة المثالية الخالية من الضوضاء لها F = 1 وNF = 0 ديسيبل — فهي لا تُتلف شيئاً. ولاحظ بتمعّنٍ ما ليست F: إنها لا تقول شيئاً عن الكسب. فمكبّرٌ كسبه 30 ديسيبل وNF = 3 ديسيبل، ومُوهِنٌ فقدُه 3 ديسيبل وNF = 3 ديسيبل، يُتلفان النسبة بالمقدار نفسه بالضبط.
والتحويل جديرٌ بأن يُعمَل مرّتين، لأن الاقتران غير بديهي: فعامل ضوضاءٍ مقداره 3 ديسيبل يبدو نقصاً صغيراً وهو يقابل قريباً من 290 كلفن كاملةً من الضوضاء المضافة، في حين يقابل رقمُ الديسيبل الواحد لمكبّرٍ منخفض الضوضاء جيّد 75 كلفن فحسب.
والنتيجة العمليّة أن عامل الضوضاء يُضاف إلى الأرضيّة إضافةً مباشرة. فمستقبِلٌ عامل ضوضائه 5 ديسيبل في قناةٍ عرضها 20 ميغاهرتز له أرضيّة ضوضاءٍ فعليّة مقدارها −101 + 5 = −96 dBm، وكثافةٌ مقدارها N₀ = −174 + 5 = −169 dBm/هرتز — وهي القيمة المستعملة في المثال أعلاه. فكل ديسيبل من عامل الضوضاء ديسيبلٌ من المدى، أو ديسيبلٌ من الهامش، تتبرّع به مجّاناً.
والمستقبِل ليس مرحلةً واحدة بل سلسلة: مكبّرٌ منخفض الضوضاء، ومرشّح، وخالط، ومكبّر تردّدٍ وسيط، وكاشف. ولكلٍّ كسبٌ وعامل ضوضاء، وهي لا تُجمع جمعاً بسيطاً. وقد نشر هارالد فرايس المحاسبة سنة 1944، وهي أخطر صيغةٍ تصميمية في الموضوع كلّه — لا لأنها صعبة، بل لما تستلزمه في شأن الترتيب:
انظر إلى شكلها قبل الحساب. فمعامل ضوضاء المرحلة الأولى يدخل غير مقسوم. وكل مرحلةٍ لاحقة مقسومةٌ على مجموع الكسب الذي قبلها، فتُخمَد مساهمتها بمقدار ما كُبّرت الإشارة سلفاً. فالصيغة تقول لك إن أداء ضوضاء المستقبِل يُقرَّر كلّه تقريباً في مقدّمته.
خُذ سلسلةً تقليدية: مكبّرٌ منخفض الضوضاء عامل ضوضائه 1 ديسيبل وكسبه 20 ديسيبل، وخالطٌ عامل ضوضائه 8 ديسيبل وكسبه 10 ديسيبل، ثم مكبّر تردّدٍ وسيط عامل ضوضائه 15 ديسيبل ولا يدخل كسبه الجمعَ أبداً لأنه لا يتبعه شيء.
سلسلةٌ فيها مرحلةٌ درجة حرارة ضوضائها 8880 كلفن، وعامل ضوضائها الكلّي 1.28 ديسيبل، أي أسوأ من المكبّر منخفض الضوضاء وحده بـ0.28 ديسيبل فقط. وقد ساهم الخالط بـ4% من المجموع ومكبّر التردّد الوسيط بـ2%. وذلك هو السبب كلّه في تثبيت مكبّرٍ على مِلقاط طبق الساتل بدلاً من طرف كابله البعيد، والسبب في أن الهاتف يضع مكبّره منخفض الضوضاء على ملّيمتراتٍ من منفذ الهوائي.
والدعاوى في شأن الترتيب ينبغي أن تُبرهَن لا أن تُدّعى، فأعِد ترتيب المكوّنات الثلاثة نفسها — الخالط، ثم المكبّر منخفض الضوضاء، ثم مكبّر التردّد الوسيط — وأعِد الحساب. فلا شيء في العتاد يتغيّر؛ التسلسل وحده هو الذي يتغيّر.
الأجزاء الثلاثة نفسها، والكسب الكلّي نفسه 30 ديسيبل قبل مرحلة التردّد الوسيط، وقد انتقل عامل الضوضاء من 1.28 ديسيبل إلى 8.04 ديسيبل — أي خسارةُ 6.76 ديسيبل، وهي على وصلةٍ محدودة المدى أكثر قليلاً من عامل اثنين في المسافة تحت انتشار الفضاء الحرّ، حيث 6.02 ديسيبل مضاعفةٌ بالضبط (الدرس M8-L1). فالمرحلة الأولى مهيمنةٌ لأنها الوحيدة التي لا تُقسم ضوضاؤها على شيء، وتلك الحقيقة الواحدة تحدّد التخطيط المادي لكل مستقبِلٍ بُني قطّ.
لازمةٌ في شأن الكابل. الفقد السلبي أمام المكبّر منخفض الضوضاء مرحلةٌ كسبها G < 1 وF لها مساوٍ لذلك الفقد نفسه، فيضيف 2 ديسيبل من خطّ التغذية قبل المكبّر قريباً من 2 ديسيبل إلى عامل ضوضاء المنظومة. ولهذا لا يكون مكبّرٌ على رأس السارية ومكبّرٌ مماثلٌ في أسفلها منتجاً واحداً، ولهذا يُخطَّط مسار الاستقبال في محطّة القاعدة حول موضع الفقد لا حول مقداره وحده.
وكل ما سبق يتجمّع في سطرٍ واحد. فالمستقبِل يعمل حين تكون الإشارة فوق أرضيّة ضوضائه بما يكفي لإرضاء فاكّ التضمين، فتكون أصغر إشارةٍ نافعة هي الأرضيّة الحرارية، زائد عرض النطاق، زائد ما يضيفه المستقبِل، زائد ما يطلبه التضمين:
اقرأ الصيغة كقائمةٍ بالطرق الأربع الوحيدة لسماع إشارةٍ أضعف، ولاحظ كم قليلٌ منها متاح: برّد المقدّمة، أو ضيّق القناة، أو اشترِ مكبّراً منخفض الضوضاء أفضل، أو اطلب أقلّ من فاكّ التضمين بالهبوط إلى تضمينٍ أمتن. ولا خيار خامس، ولا مقدار من الكسب يكون خياراً.
خُذ مستقبِلاً شبيهاً بالWi-Fi على قناةٍ عرضها 20 ميغاهرتز وعامل ضوضائه 5 ديسيبل، يفكّ تضمين 64-QAM بمعدّل ترميز 3/4 — أي نحو 4 بتّ/ث/هرتز، ويحتاج نحو 20 ديسيبل من النسبة ليحفظ معدّل الخطأ المستهدف.
وقارن ذلك الآن بالواقع، فالفرق مُعلِّم. فمعيار IEEE 802.11 لا يطلب لذلك النمط إلا نحو −65 dBm؛ وراديو تجاريٌّ جيّد قد يدّعي −72 dBm. أمّا −76 dBm عندنا فهي الأرضيّة النظرية، والمستقبِلات الحقيقية تقصّر عنها بهامش تنفيذٍ يغطّي ضوضاء الطور والتكميم وعدم كمال التزامن وشكل المرشّح. ومع ذلك يبقى الحساب هو الصواب أوّلاً: فهو يخبرك بما هو ممكن، فتعرف إن كان قياسٌ مخيّبٌ عيباً في التصميم أو قانوناً في الفيزياء.
وتحذيرٌ صادقٌ أخير. فالحساسية رقمُ ضوضاءٍ حرارية، وهي الحدّ الصحيح في نطاقٍ هادئٍ فقط. أنزِل الراديو نفسه في مكتبٍ مزدحمٍ فقد تكون الأرضيّة التي يراها فعلاً أعلى بعشرة أو عشرين ديسيبل، لأنه صار يسمع مرسِلين آخرين لا الحركة الحرارية في مقدّمته هو. وليس ذلك فشلاً لـkTB؛ بل هو مسألةٌ أخرى تخصّ الدرس M9-L3.
لقد كفّت أرضيّة الضوضاء الآن عن كونها افتراضاً. إنها −174 dBm/هرتز عند 290 كلفن، زائد 10 log₁₀B للقناة التي اخترتها، زائد عامل الضوضاء الذي تصدُق مقدّمتك في الإقرار به — ولم يبقَ غير معرَّفٍ إلا حدُّ «النسبة المطلوبة». وملؤه يعني السؤال عن كيف يتعلّق احتمال الخطأ بالنسبة لكل نمط تضمين، وهو بالضبط ما يفعله الدرس M9-L2 بمعدّل خطأ البتّ ومنحنيات Eb/N₀ التي رأيتها آخر مرّةٍ في الدرس M6-L4.
وبعد ذلك يتبع ترتيب الدروس الفيزياء. فـالدرس M9-L3 يتناول التداخل — المشترك في القناة، والمجاور للقناة، والبشري المصنوع — ويقيم الحجّة على أن التداخل، لا الضوضاء الحرارية، هو الذي يضع الحدّ الحقيقي في معظم النشرات الحديثة؛ فأرضيّةٌ يرفعها الجيران هي الحال العادية لشبكةٍ حضرية. ثم يجمع الدرس M9-L4 الوحدتين 8 و9 في موازنة وصلةٍ كاملة: قدرة الإرسال، وكسوب الهوائيات، وفقد المسار، وأرضيّة الضوضاء من هذا الدرس، والنسبة المطلوبة من الدرس التالي، وهامش الخبوت الذي بيّن الدرسان M8-L3 وM8-L4 أنك لا تستغني عنه.
ما ليست kTB. إنها ليست كل الضوضاء في مستقبِل. فضوضاء الوميض (1/f) مهيمنةٌ عند التردّدات المنخفضة، وضوضاء الرشّ تظهر حيث تعبُر الحاملات وصلةً، وضوضاء الطور من المذبذب المحلّي تلطّخ التشكيلة، وضوضاء التكميم تصل مع المحوّل الرقمي، والهوائي يسلّم ضوضاء سماءٍ وأرضٍ لا علاقة لها بدرجة حرارة لوحك. وتستحقّ الضوضاء الحرارية مكانها المركزي لأنها المساهمة الوحيدة التي لا مهرب منها والقابلة للحساب والمستوية مع التردّد — أي الأرضيّة تحت الأرضيّة.