هل خطأٌ في المليون يكفي؟
أعطاك الدرس M5-L2 الصيغ. وهذا الدرس يسأل ما هي الـQ فيها، وكم يحدّ المنحنى، وأي معدّل خطأ بتٍّ مقبولٌ فعلاً. وجواب الأخير ليس ما تتوقّعه.
احتمالية لا عدد
معدّل خطأ البت أخطاءٌ متوقّعة مقسومةٌ على البتّات المرسَلة — فالقياس لا يقدّره إلا تقديراً. وإحصاء بواسون يقول إنك تحتاج نحو 100 خطأ لثقة 10%، لأن 1/√100 = 0.1.
وعند 1 ميغابت/ث يستغرق الاختبار نفسه 27.8 ساعة. ودون 10−9 يُستَقرأ المعدّل من المنحنى — ولا يُقاس مباشرةً أبداً.
1.2% من الرُّزَم ذهبت
إطارٌ من 1500 بايت يعني L = 12,000 بت. وعند p = 10−6 يكون Lp = 0.012 وPER = 1 − e−0.012 = 1.19 × 10−2. فـ«واحدٌ في المليون» يفقد رزمةً من كل أربعٍ وثمانين.
ذيل الغاوسيّة
Q(x) احتمالية أن يتجاوز متغيّرٌ طبيعي معياري القيمة x — وx مسافةٌ بالانحرافات المعيارية، أي dmin/2σ في الدرس M5-L3 بالضبط.
ثلاث مراتب إضافيّة من الموثوقيّة تكلّف 1.245 فقط في x — أي 26% مسافةً أبعد من حدّ القرار.
Q لا صورة مغلقة لها
المطابقة مضبوطة؛ والتقريب أعلى بـ9.4% عند x = 3 وبـ2.6% عند x = 6. وQ(0) = 0.5 وQ(x) + Q(−x) = 1 تأتيان مجّاناً من التناظر.
راسم منحنى الشلّال
أزلِق نقطة التشغيل على المنحنيين، وحدّد هدفاً، وراقب ثبات فجوة 3 ديسيبل.
ما يجب أن يسلّمه الرابط
- 10−3: Q⁻¹ = 3.0902 → 4.775 → 6.79 ديسيبل
- 10−6: 4.7534 → 11.298 → 10.53 ديسيبل — أي 10.5 في الدرس M6-L4 ✓
- 10−9: 5.9978 → 17.987 → 12.55 ديسيبل
- وOOK/BFSK: +3.01 ديسيبل بالضبط عند كل هدف
الشلّال هو الجرف
قرب 10−6 يساوي ديسيبلٌ واحد مرتبةً كاملة من معدّل الخطأ. اقرأها معكوسةً: اخسر ديسيبلاً فتتضاعف أخطاؤك عشراً؛ واخسر ثلاثةً فتتضاعف ألفاً.
ولا آليّة جرفٍ منفصلة. فالتناظري يخسر 3 ديسيبل فيصير أضجّ بـ3 ديسيبل؛ والرقمي يخسر 3 ديسيبل فيصير أخطأ ألف مرّة.
لا أحد يحسّن المعدّل الخام
- الترميز الكلاسيكي: كسب 5–8 ديسيبل عند 10−6
- LDPC والتوربو (الدرس M6-L1): 10–11 ديسيبل
- سقف معدّل 1/2 عند 10−9: 12.55 − (−0.82) = 13.37 ديسيبل
- ويُدفَع ثمنه نطاقاً ومعدّلاً وتأخيراً
- وLTE و5G تستهدفان نحو 10% خطأ كُتَلٍ في المحاولة الأولى وتتركان إعادة الإرسال الهجينة ترمّم
فرابطٌ لا يخطئ أبداً كان يعمل دون السعة. والمعدّل الخام مدخلٌ لشفرة، لا هدف.
ما تعلّمته
- المعدّل احتمالية؛ وقياس 10−9 يحتاج 1011 بت
- PER ≈ 1 − e−Lp: و10−6 يكلّف 1.2% من الرُّزَم
- Q(4.753) = 10−6، وQ(5.998) = 10−9
- Eb/N0 = ½[Q⁻¹(P)]²: أي 10.53 ديسيبل عند 10−6
- وحدّة الشلّال هي أثر الجرف