بنى الدرس السابق أرضيّة الضوضاء وحوّلها إلى نسبة إشارةٍ إلى ضوضاء. وحوّلت الوحدة 5 تلك النسبة إلى احتمالية خطأ: Pb = Q(√(2Eb/N₀)) لـBPSK وQPSK، وPb = Q(√(Eb/N₀)) لـOOK وBFSK، وفجوة 3 ديسيبل بين العائلتين (الدرس M5-L2). وهذا الدرس لا يعيد استنباط أيٍّ من ذلك. بل يسأل ثلاثة أسئلةٍ تركتها الصيغ مفتوحة: ما هي الـQ فيها بالضبط، وأي شكلٍ للمنحنى، و— وهو الذي يحكم التصاميم الحقيقية — أي قيمةٍ لمعدّل خطأ البت تكفي فعلاً. والجواب الأخير هو المفاجئ: في LTE و5G لا أحد يحاول تصغير معدّل خطأ البت الخام.
معدّل خطأ البت هو العدد المتوقّع للبتّات التي يخطئ فيها المستقبِل، مقسوماً على عدد البتّات المرسَلة. لا أكثر. وهو عددٌ بلا وحدة، ويقع بين 0 و0.5 في أي رابطٍ نافع، ويُكتب إمّا عشريّاً (0.000001) أو كقوّةٍ للعشرة (10−6)، والثانية هي الشائعة هندسيّاً لأن المدى المُهِمّ يمتدّ تسع مراتب عشرية.
يبدو هذا التمييز تنطّعاً حتى تحاول قياس معدّلٍ صغير. فالأخطاء عند معدّلٍ منخفض حوادث نادرةٌ مستقلّة، فيكون عددها في اختبارٍ ثابت الطول موزّعاً بواسون، والريب النسبي لعددٍ بواسوني قدره N خطأ هو 1/√N. فللوصول إلى ثقةٍ نحو 10% تحتاج N ≈ 100 خطأ، لأن 1/√100 = 0.1. وأمّا دون عشرة أخطاءٍ فتقديرك لا يكاد يساوي شيئاً — إذ تحرّكه رشقةٌ واحدةٌ سيّئة الحظّ بعامل اثنين.
افترض أن معدّل خطأ البت الحقيقي 10−9 وأنك تريد تلك المئة خطأ. تحتاج إذن 100 / 10−9 = 1011 بت — مئة مليارٍ منها. وعند معدّل خطٍّ قدره 1 غيغابت/ث يكون ذلك 1011/109 = 100 ثانية، وهو محتمل. وغيّر الآن رقماً واحداً في كل مرّة:
والسطر الأخير هو المغزى العملي. فالمعدّلات المنخفضة جدّاً لا تُقاس بل تُستَقرأ. تقيس المنحنى حيث تكثر الأخطاء — من 10−4 إلى 10−6 — ثم تُضعِف الرابط عن قصد، وتُلائم النقاط المقيسة بالشكل النظري، وتقرأ الموضع الذي سيقطع فيه المنحنى 10−12. وهذا هو غرض بقيّة الدرس: فالشكل النظري هو الذي يجعل الاستقراء مشروعاً.
البتّات لا تسافر منفردة. بل تسافر في أُطُرٍ وكُتَلٍ ورُزَم، والرزمة التي فيها بتٌّ فاسدٌ رزمةٌ تُطرَح كلّها عادةً، لأن اختبار التكرار الحلقي في نهايتها يفشل. فالعدد الذي يقرّر تجربة المستخدم ليس معدّل خطأ البت بل معدّل خطأ الرزمة (PER)، ويُلقى أيضاً باسم معدّل خطأ الإطار (FER)، وفي LTE و5G باسم معدّل خطأ الكتلة (BLER). وإن كانت أخطاء البتّات مستقلّة فالحساب الرابط بينها بسيط:
خُذ إطار إيثرنت كامل الحجم، 1500 بايت، فيكون L = 1500 × 8 = 12,000 بت، على رابطٍ معدّل خطأ بتّه محترمٌ تماماً p = 10−6. فيكون Lp = 12,000 × 10−6 = 0.012، ويكون PER = 1 − e−0.012 = 1 − 0.988072 = 0.011928، أي 1.19 × 10−2 — نحو 1.2% من الرُّزَم ضائعة. والصورة الحدّانية المضبوطة تعطي 1 − (1 − 10−6)12000 = 0.0119283، فتتّفقان إلى خمسة أرقام.
أطِل النظر في هذا العدد، فهو أنفع ما في هذه الصفحة. فـ«خطأٌ واحد في مليون بت» يبدو رابطاً ممتازاً. وهو رابطٌ يفقد أكثر من رزمةٍ في المئة — بما يكفي لتعطيل نقل TCP، لأن تحكّم الازدحام التقليدي في TCP يقرأ الفقد ازدحاماً فيتراجع. فحدس المتعلّم بأن معدّل خطأ بتٍّ قدره 10−6 مقبولٌ خاطئٌ بعامل عشرة آلافٍ في الكميّة التي تهمّ، والعامل هو L بالضبط. وشغّل الإطار نفسه عند p = 10−9 فيكون Lp = 1.2 × 10−5، ويكون معدّل خطأ الرزمة 1.2 × 10−5: أي نحو رزمةٍ في 83,000، وهو رابطٌ صحيح.
كانت كل صيغةٍ في الدرس M5-L2 دالّة Q لشيء، وقد آن أن نقول ما هي Q. فالضوضاء الحرارية غاوسيّة (الدرس M9-L1)، وخطأ القرار يحدث حين تكون عيّنة الضوضاء كبيرةً بما يكفي، وفي الاتجاه الصحيح، لتدفع النقطة المستقبَلة عبر حدّ القرار. فاحتمالية الخطأ هي المساحة في ذيل الغاوسيّة، وQ هو اسم تلك المساحة للحالة المعيارية — متوسّطٌ صفري وتباينٌ واحدي:
وأربع خواصّ تحمل معظم الثقل العملي، وهي جديرةٌ بالتحقّق لا بالحفظ. فـQ(0) = 0.5، لأن نصف توزيعٍ متناظرٍ يقع فوق متوسّطه — وهذا هو اختبار السلامة القائل إن معدّل خطأ البت لا يتجاوز 0.5 لمستقبِلٍ عاقل. وQ(x) + Q(−x) = 1، من التناظر نفسه، وهو ما يتيح لك كتابة خطأٍ ثنائي الجانب ضِعفَ ذيلٍ أحادي الجانب. وQ متناقصةٌ تناقصاً تامّاً، فلها معكوسٌ Q−1 سنحتاجه بعد قليل. وQ دالّة خطأٍ تكميليّة مُعاد تحجيمها، وهكذا تحسبها في أي لغةٍ فيها erfc:
وهذا هو الجدول، محسوباً بمطابقة erfc. اقرأه مرّةً فيكفّ شكل الشلّال عن كونه لغزاً — انظر ما تفعله وحدةٌ إضافيّةٌ واحدة من x:
| x | Q(x) | رتبة المقدار | النسبة إلى السطر السابق |
|---|---|---|---|
| 0 | 5.000 × 10−1 | رمية عملة | — |
| 1 | 1.587 × 10−1 | 10−1 | ÷ 3.2 |
| 2 | 2.275 × 10−2 | 10−2 | ÷ 7.0 |
| 3 | 1.350 × 10−3 | 10−3 | ÷ 16.9 |
| 4 | 3.167 × 10−5 | 10−5 | ÷ 42.6 |
| 5 | 2.867 × 10−7 | 10−7 | ÷ 110 |
| 6 | 9.866 × 10−10 | 10−9 | ÷ 291 |
| 7 | 1.280 × 10−12 | 10−12 | ÷ 771 |
ومدخلان جديران بالحفظ لأنهما مرتكز كل حديثٍ عن معدّل خطأ البت. Q(4.753) = 1.00 × 10−6 وQ(5.998) = 1.00 × 10−9. ولاحظ كم قليلاً كان على الوسيط أن ينمو: ثلاث مراتبٍ إضافيّة من الموثوقيّة كلّفت 5.998 − 4.753 = 1.245 في x، أي نحو 26% مسافةً إضافيّة من حدّ القرار. وانظر العمود الأخير — فالمقسوم عليه ينمو في كل سطر، وذلك هو البصمة العدديّة للعامل e−x²/2. فالذيل لا يخبو خبواً أُسّيّاً بل خبواً غاوسيّاً، وهو أسرع بكثير.
ارسم معدّل خطأ البت على محورٍ رأسيٍّ لوغاريتمي مقابل Eb/N₀ بالديسيبل على محورٍ أفقيٍّ خطّي، فيرسم كل تضمينٍ متّسق الطور الصورة نفسها: كتفٌ متراخٍ عند نسبٍ منخفضةٍ يكون الرابط فيها عديم النفع، ثم هبوطٌ من الحدّة بحيث سُمّي عالميّاً الشلّال. والاسم وصفيّ، وحدّته قابلةٌ للقياس. وبقانون BPSK/QPSK وحساب Eb/N₀ المطلوب في القسم التالي:
فـ«نحو مرتبةٍ من معدّل خطأ البت لكل ديسيبل» قاعدةٌ تقريبيّة منصفة حول 10−6، والمنحنى يزداد حدّةً دون ذلك. واقرأ الآن تلك الأرقام معكوسةً، وهو الاتجاه الذي يتحرّك فيه العالم فعلاً: خسارة ديسيبلٍ واحدٍ من الهامش قرب 10−6 تضرب معدّل خطئك في عشرة، وخسارة ثلاثة ديسيبلات تضربه في نحو ألف.
وهذا هو التفسير الكامل لـأثر الجرف الذي قدّمه الدرس M5-L1 ملاحظةً مجرّدة — روابط رقميّةٌ تعمل عملاً تامّاً ثم تفشل بغتةً، وتلفازٌ رقميٌّ يتجمّد بدل أن يخبو إلى ثلج. ولا آليّة جرفٍ منفصلة هناك. فالجرف هو الشلّال منظوراً إليه من الخارج: فقناةٌ ذات خبوت تتنزّه قدرتها المستقبَلة بضعة ديسيبلات (الدرس M8-L3) تجرّ معدّل خطأ البت عبر عدّة مراتب، ولأن شفرة تصحيح الأخطاء إمّا تنجح وإمّا تفشل يرى المستخدم خدمةً إمّا تامّةً وإمّا غائبة. والتناظري يتدهور بسلاسةٍ لأن خسارة 3 ديسيبل من النسبة تجعل الصوت أضجّ بـ3 ديسيبل. والرقمي لا، لأن خسارة 3 ديسيبل تجعله أخطأ ألف مرّة.
شكل الشلّال هو الذي يجيز الاستقراء. لأن المنحنى النظري ثابتٌ وحادّ، فحفنةٌ من النقاط المقيسة عند 10−4 و10−5 تُثبّت المنحنى كلّه: فإن كانت قياساتك موازيةً للنظرية على بعد ديسيبلين إلى اليمين، فالتنفيذ يخسر تلك الديسيبلات في كل موضع، وتتبعها نقطة 10−12. وإن لم تكن النقاط المقيسة موازيةً — إن استوى المنحنى إلى أرضيّة — فشيءٌ غير الضوضاء الغاوسيّة يحدّ الرابط، ولن تصلحه أي قدرةٍ إضافيّة. وذلك الاستواء بصمة التداخل أو عيبٍ في العتاد، وهو موضوع الدرس M9-L3.
في التصميم قلّما تريد معدّل خطأ البت عند نسبةٍ معطاة. بل تريد العكس: إذا أُعطي معدّل خطأٍ هدف، فأي Eb/N₀ يجب أن يسلّمه الرابط؟ لـBPSK وQPSK، اعكس Pb = Q(√(2Eb/N₀)) في خطوتين — طبّق Q−1 على الطرفين، ثم ربّع واقسم على اثنين:
اعمل حالة 10−6 كاملةً. فـQ−1(10−6) = 4.7534 من الجدول أعلاه. ربّعها: 4.7534² = 22.595. اقسمها على اثنين: Eb/N₀ = 11.2975 كنسبةٍ خطّيّة. وبالديسيبل، 10 log₁₀(11.2975) = 10.53 ديسيبل. وهذا اختبار اتّساقٍ حقيقيّ للدورة لا مصادفة: فجدول الدرس M6-L4 يذكر 10.5 ديسيبل شرطَ Eb/N₀ لـQPSK غير المشفّرة عند معدّل خطأ 10−6، مستنبطاً هناك من عائلة QAM المربّعة. طريقان مختلفان والعدد نفسه. وهذه هي العائلة:
| المعدّل الهدف | Q−1(Pb) | Eb/N₀ خطّيّاً (BPSK/QPSK) | ديسيبل (BPSK/QPSK) | ديسيبل (OOK/BFSK) |
|---|---|---|---|---|
| 10−2 | 2.3263 | 2.706 | 4.32 ديسيبل | 7.33 ديسيبل |
| 10−3 | 3.0902 | 4.775 | 6.79 ديسيبل | 9.80 ديسيبل |
| 10−4 | 3.7190 | 6.916 | 8.40 ديسيبل | 11.41 ديسيبل |
| 10−6 | 4.7534 | 11.298 | 10.53 ديسيبل | 13.54 ديسيبل |
| 10−9 | 5.9978 | 17.987 | 12.55 ديسيبل | 15.56 ديسيبل |
| 10−12 | 7.0345 | 24.742 | 13.93 ديسيبل | 16.94 ديسيبل |
قارن العمود الأخير بالرابع في أي سطرٍ فيكون الفرق 3.01 ديسيبل، في كل مرّة. ثم انظر الانضغاط نزولاً في العمود: فالانتقال من 10−3 إلى 10−12 — تسع مراتب من الموثوقيّة — يكلّف 13.93 − 6.79 = 7.14 ديسيبل، أي أقلّ من ستّة أضعاف في القدرة. فالموثوقيّة رخيصةٌ رخصاً مذهلاً في قناةٍ غاوسيّةٍ نظيفة، وتلك حقيقةٌ يسهل نسيانها حين يستحيل إيجاد الـ7 ديسيبل نفسها في ميزانية رابط (الدرس M9-L4). والتضمين الأعلى رتبةً يزيح هذه الأرقام صعوداً دون تغيير طابعها: فالدرس M6-L4 يذكر 14.4 ديسيبل لـ16-QAM و18.8 لـ64-QAM و23.5 لـ256-QAM عند 10−6 نفسها، لأن حزم بتّاتٍ أكثر في الرمز يزحم البُنية الفضائيّة ويقلّص dmin (الدرس M5-L3).
كل ما سبق غير مشفّر. أضِف تصحيح الأخطاء الأمامي (الدرسان M6-L2 وM6-L3) فينتقل المنحنى بجسمه إلى اليسار: يُبلَغ معدّل الخطأ نفسه عند Eb/N₀ أدنى. والمسافة الأفقيّة بين المنحنى المشفّر وغير المشفّر، مقيسةً عند معدّل خطأٍ هدفٍ مُعلَن، هي كسب الترميز، وهو من المكاسب القليلة التي تبدو مجّانيّةً حقّاً في الراديو — إلا أنها ليست مجّانيّة، والثمن هو بالضبط ما تنبّأ به مثلّث الدرس M6-L4.
وثمّة سقفٌ لهذا، وهو جديرٌ بالحساب حتى لا تبدو الأرقام أعلاه اعتباطيّة. فشفرةٌ بمعدّل r لا تتغلّب على حدّ سعتها هي، Eb/N₀ ≥ (2r − 1)/r. ولـr = 1/2 يكون ذلك (1.41421 − 1)/0.5 = 0.8284، أي 10 log₁₀(0.8284) = −0.82 ديسيبل. ولأن BPSK غير المشفّرة تحتاج 12.55 ديسيبل عند 10−9، فأكبر كسب ترميزٍ يمكن لأي شفرةٍ بمعدّل 1/2 أن تُظهره عند ذلك المعدّل هو 12.55 − (−0.82) = 13.37 ديسيبل. وLDPC الحقيقية تقصّر عن الحدّ بديسيبلٍ أو اثنين، وهذا بالضبط منبع رقم 10–11 ديسيبل. وكلّما r → 0 قارب الحدّ ln 2 = −1.59 ديسيبل، وهو الأرضيّة المطلقة من الدرس M6-L1 — التي لا تعمل تحتها شفرةٌ بأي معدّل.
وهنا السؤال الهندسي. لا يوجد معدّل خطأ بتٍّ مقبولٌ عالميّاً، لأن التسامح ملكٌ للتطبيق لا للراديو. فما تغفره أذن الإنسان لا يغفره سجلّ مصرف.
| التطبيق | الهدف المسلَّم النموذجي | لماذا هذا المستوى |
|---|---|---|
| الصوت الرقمي (مرمِّز كلام) | ≈ 10−3 | عيّنةٌ فاسدةٌ من حينٍ لآخر يحجبها المرمِّز أو تُسمَع نقرةً خفيفة؛ ويسلم الوضوح. والكُمُون أهمّ بكثيرٍ من الكمال، فإعادة الإرسال هي الأداة الخطأ. |
| بثّ الفيديو | ≈ 10−6 بعد تصحيح الأخطاء الأمامي | الرزمة المفقودة تُفسِد كتلةً كبيرةً كاملة وتنتشر حتى الإطار المفتاحي التالي، فيبقى العيب المرئي أطول من الخطأ. والتخزين المؤقّت يسمح بشيءٍ من إعادة الإرسال، لا بكثير. |
| نقل الملفّات والوِب والماليّات | 10−12 فعليّاً أو أفضل | بتٌّ واحدٌ خاطئ قد يكون رقماً واحداً خاطئاً. وعمليّاً تأتي الموثوقيّة من اختبار التكرار الحلقي مع إعادة الإرسال حتى الصحّة في طبقةٍ أعلى، لا من الراديو وحده. |
| قياس الفضاء البعيد عن بُعد | 10−6 أو أقلّ على قدرةٍ تكاد لا تُذكر | إعادة الإرسال تكلّف ساعاتٍ من زمن الذهاب والعودة، فالجواب معدّلات ترميزٍ منخفضةٌ جدّاً وهوائيّاتٌ هائلة وكل ديسيبل كسب ترميزٍ موجود. |
اقرأ العمود الأوسط بتمعّنٍ فيظهر نمط: فالأرقام أهدافٌ مسلَّمة، مقيسةٌ في أعلى الكومة بعد أن يؤدّي الترميز وإعادة الإرسال عملهما. ولا يكاد ذلك العدد يكون في أي موضعٍ معدّل خطأ البت الخام على البَينيّة الهوائيّة، وهنا يفشل الحدس الساذج أشدّ فشله.
لا تحاول LTE و5G إبقاء معدّل الخطأ الخام منخفضاً. بل تشغّلان الطبقة المادّية ساخنةً عن قصد — بمخطّط تضمينٍ وترميزٍ مُختارٍ بجسارةٍ تجعل الإرسال الأول لكتلةٍ يفشل نحو 10% من المرّات (الدرس M6-L4). ومعدّل خطأ كُتَلٍ قدره 10% رقمٌ مقلق لو كان الجواب النهائي. وهو ليس كذلك: فإعادة الإرسال الهجينة تعيد إرسال الكتلة الفاشلة بتكافؤٍ إضافي، ويجمع المستقبِل المحاولات، فيهبط معدّل الخطأ المتبقّي بعد محاولةٍ أو اثنتين إلى 10−3 أو أدنى في طبقة النقل.
والمنطق إنتاجيّة، وهو منطق التضمين المتوائم في الدرس M6-L4 نفسه. فرابطٌ مُعايَرٌ بحيث لا يخطئ أبداً رابطٌ كان يرسل بمعدّلٍ أدنى مما تحمله القناة، وكل بتٍّ من تلك البتّات غير المستعملة ذهب إلى غير رجعة. والرابط المُعايَر ليفشل 10% من الوقت ويرمّم فشله يعمل أقرب كثيراً إلى السعة، ويدفع عن ذلك قليلاً من التأخير. فـمعدّل خطأ البت الخام كميّةٌ وسيطة لا هدف. إنه مدخلٌ لشفرةٍ ولمخطّط إعادة إرسال، والسؤال الصحيح ليس أبداً «هل معدّل خطئي منخفض؟» بل «هل معدّل خطئي، ممرَّراً عبر هذه الشفرة وهذا المخطّط، يسلّم الموثوقيّة والتأخير الذي يحتاجه هذا التطبيق؟»
أي Eb/N₀ وأي معدّل خطأ. غموضان يسبّبان معظم الالتباس في صفحات المواصفات. أوّلاً، معدّل الخطأ قبل فكّ الترميز وبعده عددان مختلفان يُسمّيان معدّل خطأ البت كليهما؛ فمستقبِلٌ يعلن 10−2 عند خرج مُزيل التضمين و10−9 بعد فاكّ الترميز يسلك سلوكاً طبيعيّاً. وثانياً، Eb طاقةٌ لكل بتّ معلومة لا لكل بتّ قناة، وهو ما يجعل كسب الترميز مقارنةً منصفةً أصلاً — وEb/N₀ ترتبط بنسبة الإشارة إلى الضوضاء عبر SNR = (Eb/N₀)(Rb/B) من الدرس M9-L1. فبيّن أي بتٍّ، وأي جانبٍ من فاكّ الترميز، وأي نطاق، وإلا فالعدد لا يعني شيئاً.