الفلترة المتوافقة | DSP-101

الكاشف الأمثل

في الدرس السابق، أثبتنا أن الارتباط التقاطعي بين الإشارة المستقبَلة وقالب معروف هو إحصاء الاختبار الأمثل وفق معيار نيمان-بيرسون لاكتشاف ذلك القالب في الضوضاء البيضاء الغاوسية (AWGN). والآن نحوّل هذه النتيجة إلى مسألة تصميم مرشّح: هل يوجد مرشّح خطي تُحقّق قيمة خرجه المأخوذة في اللحظة المناسبة أعلى نسبة إشارة إلى ضوضاء (SNR) ممكنة؟ الجواب نعم، وهذا المرشّح يُسمّى المرشّح المتوافق.

تنتشر الفلترة المتوافقة في كل مكان في الهندسة الحديثة. يستخدمها مستقبِل الرادار لضغط النبضات الطويلة إلى قمم حادة، مما يحسّن دقة القياس دون التضحية بمدى الكشف. ويطبّقها مستقبِل الاتصالات الرقمية لرفع نسبة SNR عند لحظة الأخذ قبل اتخاذ قرار البت. ويستخدمها مستقبِل GPS لارتباط الإشارة الواردة مع نسخة محلية من رمز القمر الاصطناعي، لاستخلاص رسالة الملاحة من ضوضاء تفوق القدرة الحرارية بنحو 20–30 ديسيبل.

الفكرة الأساسية

المرشّح المتوافق هو المرشّح الخطي الذي يعظّم نسبة SNR عند الخرج في لحظة أخذ محددة حين تكون الإدخال إشارة معروفة مضافاً إليها ضوضاء بيضاء. استجابته النبضية هي نسخة مقلوبة زمنياً ومترافقة من الإشارة المراد كشفها.

h[n] = s*[N−1−n] — استجابة المرشّح المتوافق النبضية

اشتقاق المرشّح المتوافق

لنفترض أن إشارة s[n] بطول N مدفونة في ضوضاء بيضاء غاوسية w[n] بتباين σ². نمرّر الإشارة المستقبَلة y[n] = s[n] + w[n] عبر مرشّح خطي h[n] ونأخذ الخرج عند n = N−1. نريد اختيار h[n] بحيث تكون نسبة SNR عند الخرج في تلك اللحظة في أقصاها.

نسبة SNR عند الخرج هي:

نسبة SNR عند الخرج

\mathrm{SNR} = \frac{\left|\sum_{k=0}^{N-1} h[N-1-k]\, s[k]\right|^2}{\sigma^2 \sum_{k=0}^{N-1} |h[k]|^2}

نسبة SNR عند خرج المرشّح h[n] مأخوذة عند n = N−1. البسط هو مربّع مكوّن الإشارة؛ والمقام هو قدرة الضوضاء.

يمكن تعظيم هذا التعبير باستخدام متراجحة كوشي-شوارتز، التي تنص على أن |Σ a[k]b[k]|² ≤ (Σ|a[k]|²)(Σ|b[k]|²)، ويتحقق التساوي حين b[k] = c·a*[k]. بتحديد a[k] = s[k] وb[k] = h[N−1−k]، تكون أقصى نسبة SNR:

أقصى نسبة SNR

\mathrm{SNR}_{\max} = \frac{E_s}{\sigma^2} = \frac{\sum_{n=0}^{N-1}|s[n]|^2}{\sigma^2}

تعتمد أقصى نسبة SNR فقط على طاقة الإشارة E_s وتباين الضوضاء σ².

المرشّح الأمثل

h[n] = s^*[N-1-n]

استجابة المرشّح المتوافق النبضية هي الإشارة المقلوبة زمنياً والمترافقة.

أقصى نسبة SNR قابلة للتحقيق هي E_s/σ²، بغض النظر عن شكل الإشارة. هذه النتيجة الرائعة تقول إن الطريقة الوحيدة لتحسين أداء الكشف هي زيادة طاقة الإشارة E_s أو تقليل قدرة الضوضاء σ² - لا يمكن لأي حيلة ترشيح أن تتفوق على المرشّح المتوافق.

المرشّح المتوافق هو مرتبط

خرج المرشّح المتوافق h[n] = s*[N−1−n] عند n = N−1 هو:

خرج المرشّح المتوافق = الارتباط التقاطعي

y_{\mathrm{out}}[N-1] = \sum_{k=0}^{N-1} y[k]\, s^*[k] = R_{ys}[0]

خرج المرشّح المتوافق عند لحظة الأخذ يساوي الارتباط التقاطعي بين y وs. العمليتان متطابقتان رياضياً.

هذا يؤكد الصلة من الدرس السابق: إحصاء اختبار نيمان-بيرسون الأمثل (الارتباط التقاطعي) هو بالضبط خرج المرشّح المتوافق مأخوذاً في اللحظة الصحيحة. المرشّح المتوافق هو ببساطة التطبيق الفعّال لمستقبِل المرتبط كعملية التواء واحدة.

التكافؤ الرئيسي

الترشيح بالمرشّح المتوافق h[n] = s*[N−1−n] والأخذ عند n = N−1 مكافئ تماماً لحساب الارتباط التقاطعي للإشارة المستقبَلة مع القالب المعروف. استخدم أيهما أكثر ملاءمة من الناحية الحسابية.

المنظور في مجال التردد

في مجال التردد، للمرشّح المتوافق استجابة ترددية H(e^jω) = S*(e^jω) (مع تجاهل حد طور الانعكاس الزمني). وبالتالي يساوي المطل الترددي للمرشّح المتوافق الطيف المطل للإشارة: |H(e^jω)| = |S(e^jω)|.

لهذا تفسير جميل: يُعلي المرشّح المتوافق الترددات التي تكون فيها الإشارة قوية ويخفّض الترددات التي تكون فيها ضعيفة. بما أن الضوضاء البيضاء لها طيف قدرة مسطّح، يُبرز المرشّح بشكل أقصى المحتوى الطيفي للإشارة بالنسبة للضوضاء المنتظمة.

ضغط النبضات في الرادار

يواجه الرادار مقايضة أساسية. تحمل النبضة الطويلة طاقة أكبر (جيد لمدى الكشف) لكنها تعطي دقة مدى ضعيفة لأن صدى الأهداف المتقاربة يتداخل زمنياً. تعطي النبضة القصيرة دقة مدى حادة لكنها تحمل طاقة قليلة وتعاني على المسافات البعيدة. ضغط النبضات يحل هذه المعضلة: ارسل نبضة طويلة مرمّزة وطبّق مرشّحاً متوافقاً في المستقبِل لضغطها إلى قمة حادة.

أكثر أنظمة الترميز شيوعاً هو التضمين الترددي الخطي (LFM) أو "التشيرب"، حيث يكتسح التردد اللحظي خطياً عرض نطاق B خلال مدة النبضة T. حاصل ضرب عرض النطاق بالوقت TB — المسمّى نسبة الضغط — هو العامل الذي تُضغط به النبضة.

نسبة الضغط (الوقت × عرض النطاق)

10 log TB

الكسب الحسابي (ديسيبل)

1/B

عرض النبضة المضغوطة (دقة المدى)

إشارة تشيرب التردد الخطي

s(t) = \mathrm{rect}\!\left(\frac{t}{T}\right)\exp\!\left(j2\pi\left(f_0 t + \frac{B}{2T}t^2\right)\right)

تشيرب LFM بمدة T وعرض نطاق B يكتسح التردد من f₀−B/2 إلى f₀+B/2. يضغطه المرشّح المتوافق إلى قمة على شكل sinc بعرض ~1/B.

الفلترة المتوافقة في الاتصالات الرقمية

في نظام الاتصالات الرقمية، يرسل المرسِل شكل نبضة g[n] لكل بت. القناة تضيف ضوضاء AWGN. يطبّق المستقبِل الأمثل مرشّحاً متوافقاً مع g[n] ويأخذ الخرج في نهاية كل فترة رمز لاتخاذ قرار البت.

هذا مستقبِل المرتبط هو البنية المعيارية للاستبعاد الرقمي المتماسك. في الاتصالات الثنائية في AWGN، يحقق أدنى معدل خطأ في البت (BER) لقيمة E_b/N₀ محددة. في الممارسة، يعمل المرشّح المتوافق أيضاً كمخفّض للتداخل بين الرموز (ISI) عند دمجه مع مرشّح تشكيل النبضات Nyquist — مرشّح جذر جيب التمام المرتفع (RRC) المستخدم في أنظمة الهاتف المحمول الحديثة هو زوج متوافق: RRC في المرسِل وآخر في المستقبِل.

جذر جيب التمام المرتفع

تستخدم معايير الخلوي الحديثة (LTE وNR 5G) نبضة جذر جيب التمام المرتفع (RRC) في المرسِل. يطبّق المستقبِل أيضاً مرشّح RRC. تتالي المرشّحَين يساوي مرشّح Nyquist الجيب تمام المرتفع الذي لا يعاني ISI عند لحظات الأخذ. كل مرشّح RRC هو المرشّح المتوافق للآخر.

GPS: الفلترة المتوافقة تحت مستوى الضوضاء

GPS هو ربما المثال الأكثر إثارة للفلترة المتوافقة في الحياة اليومية. يبثّ كل قمر اصطناعي لـ GPS إشارة بحوالي −130 ديسيبل ميلي واط عند سطح الأرض، وهو أدنى بحوالي 20 ديسيبل من الحد الحراري للضوضاء. مستقبِلات GPS تولّد نسخة محلية من رمز PRN لكل قمر اصطناعي وترتبط مع الإشارة الواردة. يتكامل الارتباط لمدة 1 مللي ثانية، مما يوفر كسباً حسابياً ~30 ديسيبل، يرفع إشارة القمر الاصطناعي فوق الضوضاء.

الدرس التالي: التطبيقات — الرادار والسونار والاتصالات — يجمع الارتباط ونظرية الكشف والفلترة المتوافقة لفهم كيفية عمل الأنظمة الحقيقية.

الخلاصة الرئيسية

المرشّح المتوافق هو المرشّح الخطي الذي يعظّم نسبة SNR عند الخرج حين تكون الإشارة المعروفة مفسودة بضوضاء AWGN. استجابته النبضية هي h[n] = s*[N−1−n] — الإشارة المقلوبة زمنياً والمترافقة.
أقصى نسبة SNR قابلة للتحقيق تساوي E_s/σ²، حيث E_s هي طاقة الإشارة. لا يمكن لأي مرشّح خطي تجاوز هذا الحد.
أخذ خرج المرشّح المتوافق عند n = N−1 مكافئ رياضياً لحساب الارتباط التقاطعي للإشارة المستقبَلة مع قالب الإشارة المعروف.
في مجال التردد، يساوي المطل الترددي للمرشّح المتوافق الطيف المطل للإشارة: يُعلي الترددات القوية في الإشارة.
ضغط النبضات يستخدم شكل موجة مرمّز (مثل تشيرب LFM) ومرشّح متوافق للحصول على طاقة نبضة طويلة مع تحقيق دقة مدى نبضة قصيرة. الكسب الحسابي = 10 log(TB) ديسيبل.
في الاتصالات الرقمية، يحقق المرشّح المتوافق (مستقبِل المرتبط) أدنى BER لقيمة E_b/N₀ محددة. تشكّل مرشّحات RRC أزواجاً متوافقة في المعايير الحديثة.
GPS يستغل الفلترة المتوافقة لاكتشاف إشارات الأقمار الاصطناعية أدنى بـ 20 ديسيبل من مستوى الضوضاء، محققاً كسباً حسابياً ~30 ديسيبل من ارتباط 1023 شريحة PRN.