أبجدية الإشارات الرقمية الزمنية
أرست الوحدة السابقة كيف تتحوّل الإشارة المستمرة إلى سلسلة من الأرقام عبر أخذ العيّنات والتكميم. تبدأ الوحدة الثالثة بسؤال جوهري: ما أنواع الإشارات الرقمية الزمنية المتاحة أصلاً؟ تماماً كما تمنحك الأبجدية اللاتينية مجموعة محدودة من الحروف تُبنى منها كل الكلمات، تُشكّل مجموعة صغيرة من الإشارات الرقمية القياسية المفردات التي يُبنى منها كل شيء في معالجة الإشارات الرقمية.
هذه المتتاليات الأساسية —النبضة الوحدوية، والدرجة الوحدوية، والأسيّة، والجيبيّة— ليست مجرد تجريدات نظرية في الكتب؛ بل تظهر باستمرار في التطبيقات العملية: الدوال الأسية تصف سلوك الشحن والتفريغ، والجيبيات تمثل كل إشارة دورية، والنبضة الوحدوية هي حجر الأساس في تحليل الأنظمة. وفهمها فهماً كاملاً شرط لكل ما يأتي بعدها: الالتواء، وتحويل Z، والمرشحات، وتحويل فورييه — كلها تعود في النهاية إلى سؤال واحد: كيف تستجيب الأنظمة لهذه الإشارات الأساسية؟
النبضة الوحدوية: δ[n]
النبضة الوحدوية (وتُسمّى أيضاً دلتا كرونيكر أو النبضة الرقمية) هي أبسط إشارة رقمية غير تافهة: تساوي واحداً عند الفهرس صفر وتساوي صفراً عند كل فهرس آخر. وعلى الرغم من بساطتها —أو ربما بسببها— فهي أهم إشارة في التحليل الرقمي الزمني.
أزِح النبضة إلى أي فهرس n0 بكتابة δ[n − n0]: سنّ واحد عند n = n0. هذه النبضة المُزاحة تنتقي قيمة أي متتالية عند ذلك الفهرس تحديداً: x[n] · δ[n − n0] = x[n0] · δ[n − n0]. خاصية الغربلة هذه هي سبب فائدة النبضة الكبيرة — فأي متتالية يمكن كتابتها كمجموع مُرجَّح من نبضات مُزاحة:
الدرجة الوحدوية: u[n]
الدرجة الوحدوية تساوي صفراً لجميع الفهارس السالبة وواحداً لجميع الفهارس غير السالبة. وهي تنمذج سلوك التشغيل في النظام — الإشارة التي «تُفتح» عند n = 0 وتبقى مفتوحة. وهي ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالنبضة: النبضة هي الفرق الأول للدرجة، والدرجة هي المجموع المتراكم (التكامل الرقمي) للنبضة.
تُستخدم الدرجة الوحدوية على نطاق واسع للتعبير عن الإشارات السببية —الإشارات التي تبدأ عند زمن منتهٍ وتستمر بعده. ضرب أي متتالية في u[n − n0] يُلغي كل شيء قبل الفهرس n0، فيُقيّد الإشارة عملياً لتبدأ عند n0. وسترى هذه الكتابة في كل أنحاء نظرية المرشحات وتحليل الأنظمة، للدلالة على أن متتالية أسية أو جيبية قد شُغّلت عند الزمن صفر.
المتتاليات الأسية
المتتالية الأسية تأخذ الشكل x[n] = Aαn، حيث A هو السعة الابتدائية وα هو الأساس. يعتمد السلوك كلياً على قيمة |α|:
|α| < 1: تتضاءل المتتالية نحو الصفر مع تزايد n. هذا هو الحال المستقر — الطاقة في الإشارة تتناقص هندسياً. والأسية المتضائلة تنمذج استجابة نبضية مرشح تكراري مستقر من الرتبة الأولى.
|α| = 1: لا تنمو المتتالية ولا تتضاءل. إذا كانت α = 1 فالإشارة ثابتة (وهي الدرجة الوحدوية)؛ وإذا كانت α = −1 تتناوب الإشارة بين +A و−A كل عينة؛ وإذا كانت α = ejω فهي ترسم دائرة الوحدة في المستوى المركّب (وتلك هي الجيبية المركّبة، ونتناولها بعد قليل).
|α| > 1: تنمو المتتالية بلا حدود —الحال غير المستقر. وإشارات كهذه تنشأ من أنظمة غير مستقرة أو من عمليات تكرارية متباعدة.
حين تكون α = rejω، تصبح المتتالية الأسية x[n] = A·rn·ejωn. المقدار r يتحكم في النمو أو التضاؤل، والزاوية ω (راديان/عينة) تتحكم في تردد التذبذب. وإذا أخذت الجزء الحقيقي حصلت على A·rn·cos(ωn)، أي جيبية بغلاف يتضاءل (r < 1) أو ينمو (r > 1) مع الزمن. الأسيات المركّبة هي الدوال الذاتية لأنظمة LTI —أساس تحويل Z والتحويل الفورييه الرقمي.
المتتاليات الجيبية
الجيبية الرقمية الزمنية تُكتب x[n] = A cos(ωn + φ)، حيث A هو السعة، وω هو التردد الرقمي الزمني بالراديان لكل عينة، وφ هو الطور بالراديان. وهذه هي المقابل الرقمي المباشر للجيبية في الزمن المستمر x(t) = A cos(2πft + φ): ضع t = nTs فتحصل على ω = 2πf/fs = 2πfTs.
للجيبيات الرقمية خاصيتان تفاجئان المهندس المعتاد على إشارات الزمن المستمر. أولاً، الجيبية عند التردد ω مطابقة تماماً لتلك عند ω + 2πk لأي عدد صحيح k — فإضافة 2π إلى التردد تعيد المتتالية نفسها ولا شيء غيرها. ثانياً، ω = π هو أعلى تردد قابل للتمثيل في نظام معيّن للعيّنات، وهو يقابل تردد نايكويست fs/2. وعند هذا التردد تكون الجيبية +1، −1، +1، −1، … أي تتناوب مع كل عيّنة.
التردد الرقمي مقابل التردد المستمر
يُقاس التردد المستمر f بالهرتز: فهو يعدّ دورات التذبذب الكاملة في الثانية. أما التردد الرقمي ω فهو بلا أبعاد، يُقاس بالراديان/عينة. تربطهما العلاقة عبر فترة أخذ العيّنات Ts = 1/fs:
لهذا التطبيع نتيجة مهمة: المتتالية الرقمية نفسها x[n] = cos(πn/4) تمثّل تردداً فيزيائياً مختلفاً بحسب معدل أخذ العيّنات. لو أُخذت عيّناتها عند 8 كيلوهرتز فهي نغمة بتردد 1 كيلوهرتز؛ ولو أُخذت العيّنات عند 44.1 كيلوهرتز فالمتتالية نفسها تمثّل نغمة بتردد 5.5 كيلوهرتز. المتتالية الرقمية وحدها لا تحمل أي تردد فيزيائي ذاتي — المعنى الفيزيائي يوجد في اقتران المتتالية بمعدل أخذ العيّنات فقط.
جميع الجيبيات الرقمية الزمنية المتمايزة تقع في النطاق ω ∈ [−π, π]. الترددات خارج هذا النطاق هي نسخ مُوهِمة لترددات داخله. هذا هو التجلّي الترددي لمبرهنة نايكويست: فوق π راديان لكل عيّنة لا توجد أي معلومة جديدة — تكرار فحسب.
−π ≤ ω < π ↔ −fs/2 ≤ f < fs/2الإشارات الدورية مقابل غير الدورية
إشارة رقمية زمنية x[n] دورية بفترة N إذا كان x[n + N] = x[n] لجميع n، حيث N عدد صحيح موجب. ليست كل جيبية رقمية دورية —هذا فارق جوهري عن الزمن المستمر حيث كل جيبية دورية بالضرورة.
الجيبية الرقمية x[n] = A cos(ωn + φ) دورية إذا وفقط إذا كانت نسبة 2π/ω نسبة كسرية —أي 2π/ω = N/k لأعداد صحيحة موجبة N وk. والفترة الأساسية هي أصغر N تحقّق ذلك.
مثلاً: ω = π/4 يعطي 2π/ω = 8، أي الفترة 8 عيّنات —دورية تامة. لكن ω = 1 راديان/عينة يعطي 2π/1 = 2π وهي عدد غير نسبي، وبالتالي cos(n) غير دوري: لا يتكرر تماماً أبداً. وهذه الدقّة الصغيرة مهمة في DFT، حيث نفترض الدورية افتراضاً ضمنياً.
- النبضة الوحدوية δ[n] تساوي 1 عند n = 0 و0 في كل ما سواه؛ وأي متتالية يمكن كتابتها كمجموع نبضات مُزاحة ومُرجَّحة (تحليل النبضة).
- الدرجة الوحدوية u[n] تساوي 1 لـ n ≥ 0؛ وهي المجموع المتراكم للنبضة، والنبضة هي الفرق الأول للدرجة: δ[n] = u[n] − u[n−1].
- الأسية الحقيقية Aαn: تتضاءل إذا |α| < 1، وثابتة إذا |α| = 1، وتنمو إذا |α| > 1.
- الأسيات المركّبة ejωn هي الدوال الذاتية لأنظمة LTI؛ مقدارها |α| يحدّد الاستقرار، وزاويتها ω تحدّد تردد التذبذب.
- التردد الرقمي ω (راديان/عينة) يرتبط بالتردد المستمر عبر ω = 2πf/fs؛ والنطاق الفريد هو [−π, π].
- الجيبية الرقمية دورية فقط إذا كانت 2π/ω عدداً نسبياً؛ وإلا فهي غير دورية حتى لو بدت جيبية تماماً.