مشكلة القياس
نظرياً، تحويلة DFT لجيبٍ نقيّ هي خانة (bin) واحدة غير صفرية. عملياً نادراً ما تكون كذلك: فطاقة النغمة الواحدة تنتشر عبر حزم كثيرة مجاورة، وهو ما يُسمّى التسرّب الطيفي. أرجع الدرس السابق التسرّب إلى سببه — نافذة الرصد المحدودة تضرب الإشارة ببوابة مستطيلة، والضرب في الزمن هو التواءٌ في التردد، فيُستبدل بكل خطّ طيفي حقيقي نسخةٌ منزاحة من طيف النافذة نفسها. وهذا الدرس عمّا يفعله ذلك بـالقياس: كيف يُفسد التسرّب السعة التي تقرؤها من خانة، وكيف تجعله يختفي حين تستطيع، وكيف تُحدّه حين لا تستطيع.
والرهان عمليّ. فمن يقرأ محلّل طيف يحتاج أن يعرف هل تقع القمة عند −40 dB لأن النغمة ضعيفة فعلاً، أم لأن تسرّباً من جارٍ قويّ رفع أرضية الضوضاء، أم لأن النغمة وقعت بين خانتين فقيست أقلّ بنحو 4 dB. الثلاثة كلها ظواهر تسرّب، ولكلٍّ منها علاج مختلف.
أخذ العيّنات المتوافق: متى يختفي التسرّب
توجد حالة واحدة لا تُنتج فيها النافذة المستطيلة أيّ تسرّب. فطيف النافذة — نواة ديريتشليه (جيب قاطع دوري) — له أصفار عند كل خانة عدا التي يتمركز عليها. فإذا وقع تردد النغمة تماماً على خانة من خانات DFT، جلست كل خانة أخرى على أحد تلك الأصفار وظهرت النغمة خطاً واحداً نظيفاً. يُسمّى هذا التوافق أخذ العيّنات المتوافق، ويحدث تحديداً حين يكون التردد عدداً صحيحاً من الدورات الكاملة عبر نافذة الرصد:
أخذ العيّنات المتوافق هو سبب أن مختبرات معايرة الأجهزة تربط مولّد الإشارة والمرقِّم بمرجع زمني واحد وتختار N بحيث تكون نغمة الاختبار محاذيةً لخانة: فهو يزيل التسرّب من المنبع بدل تصحيحه لاحقاً. لكنه لا ينجح إلا حين تتحكّم بالإشارة. أما نغمة قادمة من العالم الخارجي — حاملة، أو اهتزاز، أو نبضة قلب — فستقع بين الخانات غالباً، وعندها يصير التسرّب حتمياً ويجب إدارته بنافذة.
خسارة التموّج: تأثير سياج الأوتاد
لا تُبلّغ DFT عن الطيف إلا عند مراكز خاناتها — فهي تأخذ عيّنات من الطيف المستمر الكامن عند N نقطة منفصلة، كمن يرى مشهداً من خلف سياج أوتاد. والنغمة التي تقع بين خانتين تُقاس على حاشية الفصّ الرئيسي للنافذة لا على قمّته، فتُقرأ سعتها منخفضة. وأسوأ الحالات نغمةٌ تقع في منتصف المسافة بين خانتين تماماً.
للنافذة المستطيلة يبلغ هذا النقص في أسوأ الحالات 3.92 dB — فتُقرأ السعة عند 64% فقط من قيمتها الحقيقية — وهو خطأ كبير بما يكفي ليهمّ في أي قياس سعة. هذا النقص الحتمي المعتمد على التردد هو خسارة التموّج (وتُسمّى أيضاً خسارة سياج الأوتاد). وهو ليس ضوضاء، بل انحيازٌ يمكنك توقّعه من موقع النغمة بالنسبة للحزم. والنوافذ ذات الفصّ الرئيسي الأعرض والأكثر استواءً تتموّج أقل: تُنزل نافذة هان أسوأ الحالات إلى 1.42 dB، وتُصمَّم نوافذ القمّة المسطّحة (flat-top) خصّيصاً لإبقائها تحت 0.1 dB — ولهذا هي الخيار الافتراضي للقياس الدقيق للسعة رغم أن فصّها الرئيسي العريض يُفسد دقّة التمييز الترددي.
كسب المعالجة وعرض النطاق النبضي المكافئ
يحكم التسرّب أيضاً كيف تقيس DFT المنفّذة بنافذة الضوضاء والقدرة، وهذا هو الجسر إلى كثافة الطيف الاستطاعية في الوحدة 9، الدرس 1. فالنافذة مرشّح، وكل خانة من DFT تمرّر لا ترددها وحده بل حزمة ضوضاء حوله يشكّلها الفصّ الرئيسي والفصوص الجانبية. وعرض المرشّح المستطيل المثالي الذي يمرّر القدر نفسه من قدرة الضوضاء هو عرض النطاق النبضي المكافئ (ENBW):
وهو ما يتيح تحويل طيف مقدارٍ مُنفَّذ بنافذة إلى كثافة طيف استطاعية معايَرة بوحدة الواط لكل هرتز — الوحدة التي تستعملها الوحدة 9 دون أن تشتقّها. فمربّع مقدار خطٍّ واحد قدرة؛ وقسمته على معدّل أخذ العيّنات وطاقة النافذة يحوّله إلى كثافة:
وذات الـ ENBW التي تعاير أرضية الضوضاء هي سبب أن النافذة قليلة التسرّب تكلّفك حساسيةً للنغمات الضعيفة: فنشرُ ضوضاء خانةٍ على عرض خانتين يرفع أرضية الضوضاء بمقدار 10 log₁₀(2) ≈ 3 dB بالنسبة للنافذة المستطيلة. لذا فاختيار النافذة دائماً مقايضةٌ ثلاثية بين دقّة التمييز الترددي، ودقّة السعة، والقدرة على رؤية إشارة صغيرة بجوار كبيرة.
اختيار النافذة
المرجع الكلاسيكي هو مسح فريدريك هاريس عام 1978، الذي يجدول هذه المقاييس لعشرات النوافذ. والخمس أدناه تغطّي المدى المفيد من «بلا نافذة» إلى «كبح الفصوص الجانبية المتطرّف»:
| النافذة | الفصّ الرئيسي −3 dB (حزم) | ذروة الفصّ الجانبي (dB) | خسارة التموّج (dB) | ENBW (حزم) |
|---|---|---|---|---|
| مستطيلة | 0.89 | −13 | 3.92 | 1.00 |
| هان (Hann) | 1.44 | −32 | 1.42 | 1.50 |
| هامنغ (Hamming) | 1.30 | −43 | 1.75 | 1.36 |
| بلاكمان (Blackman) | 1.68 | −58 | 1.10 | 1.73 |
| بلاكمان-هاريس (رباعية الحدود) | 1.90 | −92 | 0.83 | 2.00 |
اقرأ الجدول مقايضةً واحدة تُمسح من الأعلى إلى الأسفل: كلما تناقصت النافذة أشدّ، هبطت ذروة الفصّ الجانبي (−13 dB إلى −92 dB، فتصير النغمة الضعيفة مرئيّة بجوار القويّة) وتقلّصت خسارة التموّج — لكن يتّسع الفصّ الرئيسي وينمو ENBW، فتسوء دقّة التمييز الترددي والحساسية للضوضاء. وصفّ بلاكمان-هاريس هو الطرف قليل التسرّب: فصوصه الجانبية عند −92 dB قادرة على كشف نغمة تقلّ 90 dB عن جارتها، بثمن فصٍّ رئيسي يزيد على ضعف عرض المستطيلة.
استراتيجيات عملية
- التسرّب الطيفي بصمة النافذة المحدودة: يُستبدل بالخطّ الحقيقي نسخةٌ من طيف النافذة، فتنتشر طاقة نغمةٍ واحدة عبر حزم كثيرة.
- أخذ العيّنات المتوافق — نغمة عند f₀ = k·f_s/N بالضبط — يُنتج تسرّباً صفرياً، لأن كل خانة أخرى تقع على صفرٍ من طيف النافذة. ولا ينجح إلا حين تتحكّم بالإشارة.
- خسارة التموّج نقصٌ متوقّع في السعة للنغمات الواقعة بين الحزم: 3.92 dB في أسوأ حالات المستطيلة، و1.42 dB لهان، وتحت 0.1 dB للقمّة المسطّحة.
- عرض النطاق النبضي المكافئ (ENBW = N·Σw²/(Σw)²) عرضُ المرشّح المستطيل الذي يمرّر قدرة الضوضاء نفسها؛ وهو يعاير DFT المنفّذة بنافذة إلى كثافة طيف بوحدة W/Hz.
- كل نافذة تقايض دقّة التمييز الترددي بمستوى الفصوص الجانبية ودقّة السعة والحساسية للضوضاء؛ وجدول هاريس 1978 يقيس المقايضة لكلٍّ منها.
- القاعدة العملية: خذ العيّنات متوافقاً إن استطعت؛ والقمّة المسطّحة للسعة؛ وبلاكمان-هاريس للمدى الديناميكي؛ وصحّح دوماً للكسب المتوافق ولـ ENBW قبل ذكر قدرة مطلقة.