الفضاءات المتجهية والجزئية

الكلمة التي كنّا نستخدمها بتساهل

ثلاثة دروس مضت، وقرأت كلمة «فضاء» عشر مرات — فضاء متجهي، فضاء ثنائي الأبعاد، فضاء ثلاثي الأبعاد — ولم يقل لك أحد ما تعنيه. وهذا سيصبح مشكلة قريباً. فمن الوحدة الثالثة وما بعدها، تُصاغ كل نتيجة تقريباً في هذه الدورة بلغة الفضاءات الجزئية: الفضاء الصفري لمصفوفة، وفضاء الأعمدة، والفضاء الذاتي، والفضاء الذي يسقط عليه الإسقاط. إن كان مصطلح «الفضاء الجزئي» ضبابياً عندك، فكل واحد من هذه ضبابي أيضاً.

لذلك يقوم هذا الدرس بالعمل غير البرّاق. يعرّف الفضاء المتجهي، ويعرّف الفضاء الجزئي، ويسلّمك اختباراً من ثلاثة سطور تستطيع إجراءه فعلاً، ويربط ذلك كله بالصور التي رسمناها في الدرس الثالث. ثم يسدّ ثغرة: معيار لم تقابله بعد، هو معيار L∞، لأن سؤال «كم يبلغ هذا المتجه» له أكثر من جواب صحيح واحد.

ما هو الفضاء المتجهي

الفضاء المتجهي مجموعة V، مع عمليتين، تحقّق قائمة قصيرة من القواعد. والعمليتان تستخدمهما أصلاً: اجمع عنصرين من V، واضرب عنصراً من V في عدد حقيقي نسمّيه كمية قياسية. والشرط الحاسم أن تبقى العمليتان كلتاهما داخل V. اجمع عنصرين من V فالناتج في V. حجّم عنصراً من V فالناتج في V. تُسمّى هذه الخاصية الانغلاق، وهي قلب التعريف النابض.

المثال العملي في هذه الدورة كلها هو ℝⁿ: كل قوائم الأعداد الحقيقية بطول n. اجمع قائمتين مركّبةً مركّبة فتحصل على قائمة من n عدداً حقيقياً. اضرب قائمة في 2.5 فتحصل على قائمة من n عدداً حقيقياً. لا شيء تفعله بالجمع والتحجيم يُخرجك من ℝⁿ أبداً. إذن ℝⁿ فضاء متجهي، وعناصره هي ما كنّا نسمّيه متجهات.

البديهيات، بعبارة صريحة

القائمة المعيارية فيها ثماني بديهيات، وكل واحدة منها شيء كنت ستفترضه على أي حال. اقرأها مرة واحدة، تحديداً لكي تتوقّف عن التفكير فيها.

• الانغلاق تحت الجمع — إن كان u و v في V، فإن u + v في V.
• الانغلاق تحت التحجيم — إن كان u في V و c عدداً حقيقياً، فإن cu في V.
• التبديل — أي u + v = v + u.
• التجميع — أي (u + v) + w = u + (v + w).
• العنصر المحايد للجمع — يوجد متجه صفري 0 في V بحيث v + 0 = v لكل v.
• المعاكسات الجمعية — لكل v في V متجه −v في V بحيث v + (−v) = 0.
• التوزيع — c(u + v) = cu + cv، و (c + d)u = cu + du.
• توافق التحجيم — c(du) = (cd)u، و 1u = u.

نتيجتان تخرجان من هذه القائمة مباشرة وتستحقّان الانتباه. المتجه الصفري وحيد، و 0 v = 0 لكل v — أي أن تحجيم أي شيء بالصفر يُهبطك إلى نقطة الأصل. وهذه الحقيقة الثانية هي سبب ظهور نقطة الأصل في كل فضاء جزئي، وهو ما نتّجه إليه الآن.

فضاء متجهي لا سهم فيه

لو لم نستخدم غير ℝⁿ، لبدت البديهيات مراسم فارغة. وهذا هو المثال الذي يوضّح لماذا تستحقّ أن تُكتب. لتكن P₂ مجموعة كل كثيرات الحدود من الدرجة 2 أو أقل — كل تعبير على الشكل a + bx + cx²، حيث a و b و c أعداد حقيقية.

اجمع اثنتين منها: (1 + 2x) + (3 − x + 4x²) = 4 + x + 4x². ما زالت من الدرجة 2 أو أقل، وما زالت في P₂. حجّم واحدة بـ −3: −3(1 + 2x) = −3 − 6x. ما زالت في P₂. وكثيرة الحدود الصفرية تلعب دور المتجه الصفري، وكل بديهية باقية ليست إلا جبراً عادياً على كثيرات الحدود. إذن P₂ فضاء متجهي، ولا سهم واحد في الأفق.

ولاحظ شيئاً آخر. لدى P₂ مجموعة مولّدة صغرى واضحة — 1 و x و x² — حجمها ثلاثة، فهي ثلاثية البُعد بالمعنى نفسه الذي يجعل ℝ³ ثلاثي البُعد. وهذا التقابل ليس مصادفة، وهو سبب صلاحية النظريات نفسها لمعالجة الإشارات والإحصاء وتعلّم الآلة. فضاءات الإشارات وفضاءات الدوال وفضاءات الصور كلها فضاءات متجهية، وكل نتيجة في هذه الدورة تنطبق عليها كما هي.

الفضاء الجزئي: فضاء داخل فضاء

وصلنا إلى التعريف الذي يعتمد عليه باقي الدورة. ليكن V فضاءً متجهياً. المجموعة الفرعية S من V تُسمّى فضاءً جزئياً من V إذا كانت S نفسها فضاءً متجهياً، بالجمع نفسه والضرب القياسي نفسه الذي يستخدمه V أصلاً.

وهذا القيد الأخير يعمل عملاً حقيقياً. نحن لا نبني بنية جديدة؛ نحن نسأل هل قطعة من بنية قائمة مكتفية بذاتها. والاكتفاء بالذات يعني الانغلاق بالضبط: خذ عناصر من S، واجمعها، وحجّمها، ولا يجوز أن تهبط خارج S أبداً. الفضاء الجزئي منطقة لا تستطيع الهروب منها بالجبر الخطي.

الاختبار الثلاثي

التحقّق من ثماني بديهيات لكل مجموعة فرعية مرشّحة عمل مُضنٍ، وهو غير ضروري. فالتبديل والتجميع والتوزيع موروثة بالمجّان — تتحقّق لعناصر S لأن تلك العناصر عناصر في V أيضاً، وهناك تتحقّق البديهيات سلفاً. الانغلاق وحده هو ما يمكن أن يسقط. لذلك تنحصر المسألة كلها في ثلاثة اختبارات.

بالكلمات: المتجه الصفري لـ V موجود في S؛ وإن كان u و v في S فإن u + v في S؛ وإن كان u في S و c أي عدد حقيقي فإن cu في S. تحقّقت الثلاثة فـ S فضاء جزئي. سقط واحد فـ S ليست فضاءً جزئياً — ولا توجد درجات جزئية.

وابدأ بالمتجه الصفري. فهو أرخص الثلاثة وأكثرها سقوطاً، وهذا يجعله طريقة فعّالة لتنتهي مبكراً. وبدقّة، الشرط الثالث عند c = 0 يفرض 0 داخل S كلما كان في S شيء أصلاً، فالشرط الأول يؤدّي في الحقيقة دوراً مزدوجاً كتحقّق من أن المجموعة غير خالية — لكنه كخطوة أولى عملية أفضل ما لديك.

المثال الأول: المستوى xy داخل ℝ³

ليكن V = ℝ³ ولتكن S كل متجه إحداثيّه الثالث صفر. هندسياً هذا هو المستوى xy، يجلس داخل الفضاء ثلاثي الأبعاد ويمرّ بنقطة الأصل. أجرِ الاختبار.

الصفر؟ إحداثي (0, 0, 0) الثالث هو 0، فنعم. المجاميع؟ (x₁, y₁, 0) + (x₂, y₂, 0) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, 0) — والإحداثي الثالث هو 0 + 0 = 0، فالمجموع باقٍ في S. التحجيم؟ c(x, y, 0) = (cx, cy, 0)، و c · 0 = 0، فالناتج باقٍ في S. الثلاثة تحقّقت: S فضاء جزئي من ℝ³، وبُعده 2.

المثال الثاني: مستقيم يمرّ بنقطة الأصل

ليكن V = ℝ² ولتكن S كل مضاعفات المتجه (2, 1) بأعداد حقيقية — أي المستقيم المارّ بنقطة الأصل بميل ½. اختبار هذا المثال شبه آلي، وهذا هو المقصود بالضبط.

الصفر؟ خذ c = 0 فتحصل على (0, 0). نعم. المجاميع؟ c₁(2, 1) + c₂(2, 1) = (c₁ + c₂)(2, 1)، وهو مضاعف آخر لـ (2, 1). نعم. التحجيم؟ k · c(2, 1) = (kc)(2, 1). نعم. إذن S فضاء جزئي بُعده 1. ولاحظ ما الذي أدّى العمل: عرّفنا S بأنها «كل مضاعفات متجه»، فجاء الانغلاق بالمجّان. احتفظ بهذه الفكرة — ستعود بعد فقرات قليلة تحت اسم المدى.

المثال المضادّ: مستقيم لا يمرّ بنقطة الأصل

والآن مثال يسقط، ويهمّ أن تراه يسقط، لأنه يبدو محترماً جداً. في ℝ²، لتكن S المستقيم y = x + 1. هو مستقيم جيد تماماً: مستقيم، ولا نهائي في الاتجاهين، ورسمه لا يصعب أكثر من مستقيم المثال الثاني. ومع ذلك ليس فضاءً جزئياً.

الصفر؟ هل (0, 0) على المستقيم؟ ذلك يستلزم 0 = 0 + 1، وهو خطأ. انتهى الاختبار هنا. لكن من المفيد أن تراقب الانغلاق يسقط أيضاً. خذ (0, 1) و (1, 2)، وكلتاهما على المستقيم فعلاً. مجموعهما (1, 3)، والمستقيم يستلزم 3 = 1 + 1 = 2. وهو لا يتحقّق. جمعُ عنصرين من S أنتج شيئاً خارج S.

المدى: كل ما يمكن الوصول إليه

قابلت المدى هندسياً في الدرس الثالث: متجهان غير متوازيين في بعدين يمتدّان المستوى كله، أما المتوازيان فيمتدّان مستقيماً واحداً فقط. وهذه هي الفكرة نفسها كتعريف لا كصورة. مدى مجموعة من المتجهات هو مجموعة كل توليفاتها الخطية — كل ما يمكن الوصول إليه بالتحجيم والجمع.

والآن نظرية تحصل عليها مجاناً: المدى دائماً فضاء جزئي. لن تحتاج أبداً إلى اختباره. المتجه الصفري داخله (خُذ كل المعاملات أصفاراً). ومجموع توليفتين خطيتين توليفة خطية. وكمية قياسية مضروبة في توليفة خطية توليفة خطية. الاختبارات الثلاثة تتحقّق بحكم البناء، لأي مجموعة من المتجهات في أي فضاء متجهي.

ولهذا كان المثال الثاني سهلاً إلى هذا الحد — المستقيم على امتداد (2, 1) كان مدىً أصلاً. واقرأها في الاتجاه الآخر: هذا يعطيك طريقة لـبناء الفضاءات الجزئية لا لاختبارها. اختر متجهات، وخُذ مداها، فيكون عندك فضاء جزئي مضمون.

الأساس والبُعد

المدى قد يكون مُسرفاً. مدى (1, 0) و (0, 1) و (1, 1) هو ℝ² كلّه، لكن المتجه الثالث لا يضيف شيئاً — كان الوصول إليه ممكناً من الأولين. والأساس مجموعة مولّدة بلا إسراف: تولّد الفضاء، ولا متجه فيها زائد عن الحاجة. وبعبارة مكافئة: احذف أي متجه من أساس فينكمش المدى.

وهذه هي الحقيقة التي تجعل الكلمة التالية ذات معنى: كل أساس للفضاء المتجهي نفسه يحتوي العدد نفسه من المتجهات. تستطيع اختيار أُسس مختلفة — بعدد لا نهائي منها — ولا يتغيّر العدد أبداً. هذا العدد الثابت هو بُعد الفضاء.

إذن ℝ³ بُعده 3، والمستوى المارّ بنقطة الأصل داخله بُعده 2، والمستقيم المارّ بنقطة الأصل بُعده 1، و {0} بُعده 0 — فالمجموعة الخالية تولّده. و P₂ الذي مرّ سابقاً بُعده 3، وأساسه 1 و x و x². البُعد هو كيف تقارن فضاءات لا يشبه أحدها الآخر في شيء.

أين تثمر الفضاءات الجزئية

كل هذا يصبح ملموساً في الوحدة الثالثة. أعطِ مصفوفة A، واسأل أي المتجهات ترسلها إلى الصفر — أي حلول Ax = 0. تلك المجموعة هي الفضاء الصفري (أو النواة) للمصفوفة A، وإجراء الاختبار الثلاثي عليها تمرين من سطرين. A0 = 0، فالمتجه الصفري داخلها. وإن كان Ax = 0 و Ay = 0 فإن A(x + y) = 0. و A(cx) = cAx = 0. إذن هي فضاء جزئي، ولبُعدها اسم: بُعد العدم للمصفوفة A.

وفي المقابل تولّد أعمدة A فضاءً جزئياً خاصاً بها — فضاء الأعمدة — وبُعده هو الرتبة. ونظرية الرتبة وبُعد العدم، التي تربط هذين العددين بعرض A، ليست إلا عبارة عن أبعاد فضاءين جزئيين ولا شيء غير ذلك. الوحدة الثالثة، الدرس الثالث هي موضع وصولها، وهي أول مكان تؤدّي فيه تعريفات هذا الدرس عملاً حقيقياً.

قياس الحجم: L1 وL2 وL∞

طرف واحد باقٍ قبل أن تُغلق الوحدة الأولى. عرّف الدرس الثالث طول المتجه بالجذر التربيعي لمجموع مربّعات مركّباته، والوحدة الحادية عشرة تستخدم هذا الطول باستمرار باسم معيار L2، إلى جانب معيار ثانٍ يُسمّى معيار L1. وهناك عضو ثالث في العائلة نفسها يُستخدم بالقدر نفسه ويُعرَّف أقل بكثير: معيار L∞، ويُسمّى أيضاً معيار الأقصى.

المعيار أي دالة تمنح المتجه طولاً غير سالب، ولا تعطي صفراً إلا للمتجه الصفري، وتتحجّم كما تتوقّع، وتحقّق متباينة المثلث. وعدة دوال مختلفة تحقّق كل ذلك في وقت واحد، وكل واحدة منها تقيس «كم يبلغ» على طريقتها.

خذ v = (3, −4, 1). معيار L1 له هو 3 + 4 + 1 = 8. ومعيار L2 هو الجذر التربيعي لـ 9 + 16 + 1، أي نحو 5.10. ومعيار L∞ هو max(3, 4, 1) = 4 — يُبلّغ عن أسوأ مركّبة واحدة ويطرح الباقي. هذه الأعداد الثلاثة تصف المتجه نفسه؛ وهي تجيب عن ثلاثة أسئلة مختلفة عنه.

وL∞ هو ما تريده كلما كانت أسوأ حالة هي المهمّة. عبارة «لا عيّنة في هذه الكتلة تتجاوز 4» عبارة عن معيار الأقصى لا عن الإقليدي. ويأتي أيضاً كنهاية: معيار Lp العام يرفع كل مركّبة إلى القوة p، ويجمع، ويأخذ الجذر النوني من الرتبة p. عند p = 1 يكون ذلك L1؛ وعند p = 2 يكون L2؛ وحين يكبر p تهيمن أكبر مركّبة على المجموع تماماً، فيتقارب التعبير كله إلى أقصى |vᵢ|. وهذه النهاية هي سبب كتابة ما لا نهاية في الرمز.

كرة الوحدة: ثلاثة أشكال

أوضح طريقة لتحسّ الفرق هي أن ترسم كرة الوحدة (unit ball) لكل معيار: كل متجه طوله لا يزيد على 1. في ℝ² تكون الثلاثة محدّبة ومتماثلة حول نقطة الأصل، ومع ذلك لا يشبه أحدها الآخر.

كرة الوحدة لـ L2 هي الدائرة المعروفة بنصف قطر 1. وكرة الوحدة لـ L1 هي المعيّن برؤوس عند (±1, 0) و (0, ±1): إذ تستطيع من (1, 0) أن تبادل الأفقي بالعمودي وحدةً بوحدة، فيخرج الحدّ مستقيماً. وكرة الوحدة لـ L∞ هي المربّع برؤوس عند (±1, ±1)، لأن الإحداثيين حرّان في بلوغ 1 كلٌّ باستقلال عن الآخر.

وهذه الأشكال تفسّر نتائج لاحقة بلا جبر. معيّن L1 رؤوسه على المحاور، ولهذا يدفع جزاء L1 المعاملات إلى الصفر بالضبط — إذ يهبط الحلّ الأمثل على رأس عادةً، والرأس فيه إحداثي صفري. أما دائرة L2 فهي ناعمة في كل مكان، ولا اتجاه مفضّل لها، فلا تنتج أصفاراً بالضبط. وشرائح القصة لهذا الدرس تتيح لك أن تحرّك p صعوداً وتشاهد المعيّن يتضخّم إلى دائرة ثم يتصلّب إلى مربّع.

ومتباينة واحدة تخرج من الصورة مباشرة: المعيّن يجلس داخل الدائرة، والدائرة تجلس داخل المربّع. فمعيار الأقصى لا يزيد أبداً على المعيار الإقليدي، والإقليدي لا يزيد أبداً على معيار سيارة الأجرة — لكل متجه، وفي كل بُعد.