مقاييس النزعة المركزية

رقم واحد ينوب عن الجميع

أمامك ٥٠٠ زمن تنقّل، أو ١٠,٠٠٠ راتب، أو سنة كاملة من درجات الحرارة اليومية. لا أحد يقرأ ٥٠٠ رقم. السؤال الأول عند الجميع هو نفسه: أين المنتصف؟ ومقياس النزعة المركزية هو ما يجيب عنه — قيمة واحدة تنوب عن الدفعة كلها.

لسؤال «أين المنتصف؟» أكثر من جواب صادق، وهذه هي فكرة الدرس كله. المتوسط الحسابي هو الخيار الافتراضي في كل مكان، لكنه الافتراضي الخاطئ لمعدلات النمو، وللسرعات، وللبيانات الملتوية، وللفئات. اختر المقياس الخطأ ولن تظهر لك رسالة خطأ — سيكذب ملخصك بهدوء وحسب.

مع نهاية هذا الدرس ستحمل ستّ أدوات بدلاً من واحدة، وقاعدة للاختيار بينها تعتمد على ما تكون عليه أرقامك فعلاً: مجاميع، أم نِسَب، أم معدلات، أم رتب، أم أسماء.

المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي هو المقياس الذي يعرفه الجميع مسبقاً: اجمع كل القيم واقسم على عددها. نكتبه x̄ («إكس بار») للعينة وμ للمجتمع — وهو الترميز نفسه الذي قابلته في درس «المجتمع مقابل العينة».

خُذ خمس درجات اختبار: ٧٢، ٨٥، ٩٠، ٦٨، ٩٥. مجموعها ٤١٠، و٤١٠ ÷ ٥ = ٨٢. هذا هو المتوسط الحسابي، وهو الملخص الصحيح تماماً لمجموعة صغيرة من الدرجات المتقاربة.

وللمتوسط الحسابي معنى فيزيائي يستحق أن تحمله معك. ضع القيم على خط أعداد ككتل متساوية الوزن: المتوسط هو النقطة التي لو وضعت عندها نقطة ارتكاز لاتّزن الخط. كل مشاهدة تدفع هذه النقطة، وكل واحدة تدفع بقدر بُعدها عن نقطة الاتزان.

وهذا نفسه هو نقطة ضعفه. قيمة واحدة توضع بعيداً بما يكفي تُميل العتلة كلها، ولا تقاومها تماماً أي كمية من البيانات السليمة على الجانب الآخر. احتفظ بهذه الصورة — فهي بالضبط موضوع قسم الوسيط.

المتوسط المرجّح

يتعامل المتوسط العادي مع كل قيمة كأنها بالأهمية نفسها. وكثيراً جداً لا تكون كذلك، وحسابه هكذا يعطي رقماً خاطئاً ببساطة.

وهذه هي الحالة التي تستحق أن تحفظها. مقرَّر فيه شعبتان. الشعبة الأولى فيها ١٠ طلاب ومتوسطها ٩٠. والشعبة الثانية فيها ٤٠ طالباً ومتوسطها ٧٠. فما متوسط المقرَّر؟

لو حسبت متوسط المتوسطين لحصلت على (٩٠ + ٧٠) ÷ ٢ = ٨٠. لكن في المقرَّر ٥٠ طالباً، و٤٠ منهم في مجموعة الـ٧٠. الدرجة ٩٠ تخصّ خُمس الصف، والمتوسط الساذج يمنحها نصف الأصوات.

رجّح كل شعبة بحجمها فتحصل على (١٠ × ٩٠ + ٤٠ × ٧٠) ÷ ٥٠ = ٣٧٠٠ ÷ ٥٠ = ٧٤. أقل بست درجات من الجواب الساذج. وهذا ليس فرق تقريب؛ إنه الفرق بين دفعة تسميها متينة وأخرى تسميها متعثّرة.

والقاعدة هنا بلا استثناء: كلما حسبت متوسط ملخّصات لمجموعات مختلفة الأحجام، رجّح بحجم المجموعة. متوسط المتوسطات غير المرجّح واحد من أشهر الأخطاء الحسابية في الإحصاءات المنشورة، ويصبح غير مرئي بمجرد أن تُحذف أحجام المجموعات من التقرير.

والأوزان ليست بالضرورة أعداداً. قد تكون درجة مقرَّر مكوّنة من ٢٠٪ واجبات و٣٠٪ اختبار منتصف و٥٠٪ اختبار نهائي. فلو حصلت على ٩٥ و٧٨ و٨٤، فالمتوسط العادي ٨٥.٧ لكن درجتك هي ٠.٢٠ × ٩٥ + ٠.٣٠ × ٧٨ + ٠.٥٠ × ٨٤ = ٨٤.٤. وحين يكون مجموع الأوزان واحداً يختفي المقام، ويصبح المتوسط المرجّح مجرد ضرب داخلي بين الدرجات والأوزان.

المتوسط الهندسي

بعض الأرقام لا تُجمَع — بل تُضرَب. معدلات النمو، ونسب الفائدة، والتضخم، والأرقام القياسية، وأي نسبة على الإطلاق: اربط فترتين ببعضهما فأنت تضرب معاملَيهما، لا تجمعهما. وحساب متوسطها حسابياً يعطي جواباً يناقض بياناتك.

راقب كيف يفشل. استثمار يربح ٥٠٪ في السنة الأولى ويخسر ٤٠٪ في الثانية. المتوسط الحسابي لـ+٥٠٪ و−٤٠٪ هو +٥٪ سنوياً، أي أنك ربحت.

لكنك لم تربح. حوّل العائدين إلى معاملَي نمو: ١.٥٠ و٠.٦٠. اربطهما: ١.٥٠ × ٠.٦٠ = ٠.٩٠. بعد سنتين تحمل ٩٠ قرشاً مقابل كل دينار بدأت به. أنت خاسر ١٠٪، والمتوسط الحسابي أبلغك بربح.

والمتوسط الهندسي هو العلاج. اضرب القيم وخُذ الجذر النوني للحاصل.

ولمعاملَينا: √(١.٥٠ × ٠.٦٠) = √٠.٩٠ = ٠.٩٤٨٧، أي −٥.١٣٪ سنوياً. تحقّق منه بالطريقة الوحيدة المهمة: ٠.٩٤٨٧² = ٠.٩٠، وهي حصيلة السنتين بالضبط. المتوسط الهندسي هو المعدل الثابت الذي يعيد إنتاج النتيجة النهائية الفعلية — هذا تعريفه في سطر واحد، ولهذا يقيس عالَم المال معدلات النمو السنوية المركّبة بهذه الطريقة.

وهناك خاصيتان تستحقان الحفظ. الأولى: المتوسط الهندسي لا يزيد أبداً عن المتوسط الحسابي، ولا يتساويان إلا إذا كانت كل القيم متطابقة. والثانية: يحتاج قيماً موجبة تماماً — صفر واحد يسحب حاصل الضرب إلى الصفر، وقيمة سالبة تجعل الجذر بلا معنى. احسب متوسط معاملات النمو (١.٥٠) لا نسب النمو (+٥٠٪)، ولن تواجه هذه المشكلة أبداً.

وستقابل هذا المصطلح مرة أخرى في الوحدة ٧. فحين يُبنى انحدار على لوغاريتم Y ثم تُعاد النتيجة إلى مقياسها الأصلي، يكون الناتج هو المتوسط الهندسي لـY لا المتوسط الحسابي — وهي ملاحظة عابرة في درس «تشخيص الانحدار» لا معنى لها إلا بعد التعريف أعلاه.

المتوسط التوافقي

وهناك عائلة ثالثة من الكميات تُعطِّل المتوسط الحسابي بطريقة مختلفة تماماً: المعدلات. السرعة كيلومترات في الساعة، واستهلاك الوقود لترات لكل ١٠٠ كم، ومعدل النقل بتات في الثانية. هذه نسب لها مقام، وحساب متوسطها كأرقام مجرّدة يتجاهل المقام تماماً.

والحالة الكلاسيكية: تقود ٦٠ كم إلى موقع عمل بسرعة ٣٠ كم/س، وتعود المسافة نفسها بسرعة ٦٠ كم/س. فما متوسط سرعتك؟

المتوسط الحسابي يقول ٤٥ كم/س. الآن احسبها بأمانة. رحلة الذهاب استغرقت ٦٠ ÷ ٣٠ = ساعتين. والعودة استغرقت ٦٠ ÷ ٦٠ = ساعة واحدة. قطعت ١٢٠ كم في ٣ ساعات، فمتوسط سرعتك ٤٠ كم/س — أقل بخمسة من الجواب الحسابي.

والمتوسط التوافقي يصيب الهدف في خطوة واحدة: n مقسوماً على مجموع المقلوبات.

وبالتعويض: ٢ ÷ (١/٣٠ + ١/٦٠) = ٢ ÷ (٣/٦٠) = ٢ ÷ ٠.٠٥ = ٤٠ كم/س. هو الجواب الأمين بالضبط، ودون أن تحتاج إلى افتراض أي مسافة.

وسبب نجاحه يستحق أن يُقال بصراحة: تقضي وقتاً أطول عند السرعة البطيئة منه عند السريعة، فتستحق الرحلة البطيئة وزناً أكبر في المتوسط. والمتوسط التوافقي يطبّق هذا الترجيح تلقائياً. والمنطق نفسه يجعله المتوسط الصحيح لنسب السعر إلى الأرباح في محفظة استثمارية، ولمقياس F₁ في تعلُّم الآلة، وهو المتوسط التوافقي للدقة والاستدعاء تحديداً حتى لا يُخفي مكوِّنٌ مرتفع جداً مكوِّناً منخفضاً جداً.

المتوسطات الثلاثة في مقارنة واحدة

لأي مجموعة من الأعداد الموجبة غير المتطابقة كلها، تأتي المتوسطات الثلاثة دائماً بالترتيب نفسه: التوافقي < الهندسي < الحسابي. وسرعتانا تبيّنان ذلك.

وهذا الترتيب فحصٌ مجاني لحسابك أيضاً. فلو حسبت متوسطاً هندسياً وجاء أعلى من المتوسط الحسابي للأرقام نفسها، فقد وقعت في خطأ حسابي — تلك النتيجة مستحيلة.

الوسيط

يتخلّى الوسيط عن الحساب تماماً ويسأل عن الموقع: رتّب القيم ثم خُذ الوسطى. فإن كان عددها فردياً كانت هناك قيمة وسطى واحدة. وإن كان زوجياً كانت هناك قيمتان، والوسيط متوسطهما.

تُباع خمسة منازل في شارع بأسعار ٢٤٠ و٢٥٥ و٢٧٠ و٢٩٠ و٣١٠ ألفاً. الوسيط هو القيمة الثالثة، ٢٧٠. والمتوسط ١٣٦٥ ÷ ٥ = ٢٧٣. الرقمان متقاربان، لأن البيانات هادئة ومتقاربة.

الآن يُباع قصر في آخر الشارع بـ٢٠٠٠ ألف بدلاً من ٣١٠. يصبح المتوسط ٣٠٥٥ ÷ ٥ = ٦١١ — رقم لا يصف أي منزل في الشارع وسيضلّل كل مشترٍ يقرأه. أما الوسيط فما زال ٢٧٠. لم يتحرك قيد أنملة.

ويقيس الإحصائيون هذه الصفة بـنقطة الانهيار: نسبة البيانات التي يجب على خصم أن يفسدها قبل أن يتمكن من دفع ملخّصك إلى حيث يشاء. نقطة انهيار الوسيط ٥٠٪ — يمكنك إتلاف نصف القيم تقريباً وسيظل يعطي رقماً معقولاً. أما نقطة انهيار المتوسط فهي صفر٪. مشاهدة واحدة، تُحرَّك بعيداً بما يكفي، تأخذ المتوسط معها.

ومع العدد الزوجي، خُذ القيمتين الوسطيتين واحسب متوسطهما: فلـ٢٤٠ و٢٥٥ و٢٧٠ و٢٩٠ يكون الوسيط (٢٥٥ + ٢٧٠) ÷ ٢ = ٢٦٢.٥. ولاحظ أن الوسيط ليس بالضرورة قيمة موجودة فعلاً في البيانات.

ولأن الوسيط يحتاج الترتيب وحده، فهو يعمل على البيانات الترتيبية حيث يكون المتوسط بلا معنى. تذكّر مقياس الرضا من درس «أنواع البيانات»: متوسط «راضٍ» و«راضٍ جداً» ليس شيئاً موجوداً، أما الاستجابة الوسطى لأربعمئة عميل فهي شيء موجود تماماً.

المنوال

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً. لا يحتاج حساباً ولا ترتيباً — يحتاج العدّ فقط — وهذا ما يجعله مقياس النزعة المركزية الوحيد الذي يصمد على البيانات الاسمية.

اسأل ١٠٠ عميل كيف يفضّلون أن تتواصل معهم: ٤٦ يقولون البريد الإلكتروني، و٣١ يقولون الهاتف، و٢٣ يقولون الرسائل النصية. المنوال هو البريد الإلكتروني. لا يمكنك حساب متوسط هنا، لأن «البريد» و«الهاتف» أسماء لا أرقام. ولا يمكنك حساب وسيط أيضاً، لأن الفئات الاسمية لا ترتيب لها ليكون لها وسط — وهذا بالضبط ما جعلها اسمية في درس «أنواع البيانات».

فعلى البيانات الاسمية، المنوال ليس بديلاً أضعف. هو الجواب، وأي محاولة لاستخدام غيره خطأ في تصنيف البيانات نفسها.

وعلى البيانات المستمرة يصبح المنوال زَلِقاً، لأن أي قيمة لا تتكرر عادةً — فكل درجة حرارة مقيسة فريدة إلى آخر منزلة عشرية. وهناك يصبح معنى «المنوال» هو قمة التوزيع، أي عملياً أطول عمود في المدرَّج التكراري. وهذا يجعله معتمداً على عرض الفئات التي اخترتها، وهي حساسية يتناولها درس «تمثيل التوزيعات بيانياً» في الوحدة ٢ بالتفصيل.

وللمنوال موهبة يفتقدها المتوسط والوسيط: يستطيع الإبلاغ عن أكثر من مركز واحد. التوزيع ثنائي المنوال له قمتان، والقمتان تعنيان عادةً أن مجتمعين مختلفين قد خُلطا معاً — أطوال البالغين من الجنسين مجموعةً في سلة واحدة، أو أزمنة استجابة من طلبات مخزّنة مؤقتاً وأخرى غير مخزّنة. في هذه الحالة يكون أي مركز واحد وهماً، والملخص الأمين هو أنه لا يوجد مركز واحد. والمنوال هو الوحيد القادر على قول ذلك.

المتوسط مقابل الوسيط تحت الالتواء

هذا هو القسم الذي يجعل الاختيار مهماً، وله اتجاه محدَّد يمكنك الاعتماد عليه. حين يكون التوزيع ملتوياً، يمتد ذيله على جهة أكثر من الأخرى، ويُسحَب المتوسط نحو الذيل الطويل بينما يبقى الوسيط في مكانه.

البيانات الملتوية يميناً (موجبة الالتواء) لها ذيل طويل إلى اليمين، فيقع المتوسط فوق الوسيط. الدخل والثروة وعدد سكان المدن ومطالبات التأمين وأزمنة الانتظار وأحجام الملفات كلها تتصرف هكذا: معظم القيم تتكدّس في الطرف المنخفض، وقليل من القيم الكبيرة جداً يمتد إلى اليمين.

والبيانات الملتوية يساراً (سالبة الالتواء) تعكس ذلك، بذيل طويل إلى اليسار، فيقع المتوسط تحت الوسيط. درجات امتحان وجده معظم الطلاب سهلاً تبدو هكذا، وكذلك العمر عند الوفاة في بلد بمعدل وفيات أطفال منخفض.

وفي التوزيع المتماثل يتلاقى الرقمان، على الأقل في حدود ضوضاء المعاينة. فإشارة x̄ − الوسيط تشخيصٌ مجاني للالتواء في سطر واحد: موجبة تعني التواءً يمينياً، وسالبة تعني التواءً يسارياً، وقريبة من الصفر تعني تماثلاً تقريبياً.

والنتيجة العملية أن تُبلِّغ عن الرقمين معاً. متوسط دخل الأسرة ووسيط دخل الأسرة يختلفان اختلافاً كبيراً في كل بلد على الأرض، واختيار العنوان الصحفي لأحدهما قرارٌ حول الحكاية التي يريد أن يرويها. ورؤية الرقمين معاً لا تخبرك بموقع المركز فحسب، بل بمدى اعوجاج التوزيع حوله.

وفي عرض الشرائح المرافق لهذا الدرس مدرَّج تكراري مع مؤشر التواء. حرّكه ولاحظ كيف يتباعد المتوسط والوسيط ثم يتبادلان الموقع — فالعلاقة أعلاه أسهل في التصديق بعد أن تحرّكها بيدك.

كيف تختار المقياس

وبتجميع كل ما سبق، يقود الاختيارَ نوع البيانات التي تحملها، لا العُرف ولا الراحة.