البيانات المُرتَّبة زمنياً
السلسلة الزمنية هي متتالية من المشاهدات المجمّعة عند نقاط زمنية متتالية. على عكس بيانات المقطع العرضي التي تكون مشاهداتها مستقلة، تمتلك بيانات السلاسل الزمنية ترتيباً طبيعياً — فكل مشاهدة مرتبطة بالتي قبلها وبعدها. درجات الحرارة المسجَّلة كل ساعة، وأسعار الأسهم اليومية، وأرقام المبيعات الشهرية، والتعداد السكاني السنوي — كل هذه أمثلة على السلاسل الزمنية.
تحليل السلاسل الزمنية هو فرع من الإحصاء يُعنى بفهم البنية الزمنية واستخدامها في التنبؤ. وهو أساسي في التمويل والاقتصاد ومعالجة الإشارات وعلوم المناخ، وفي أي مجال تتكشّف فيه الأحداث عبر الزمن. الفكرة المحورية أن القيم الماضية تحمل معلومات عن القيم المستقبلية — واستخلاص هذه المعلومات هو جوهر التحليل.
في الإحصاء التقليدي نفترض استقلالية المشاهدات. في السلاسل الزمنية، المشاهدات مترابطة عبر الزمن — قيمة الأمس مرتبطة بقيمة اليوم. تجاهل هذا الترابط يعني إهدار إشارة قيّمة مدفونة في البنية الزمنية.
السلسلة الزمنية = البيانات + الترتيب الزمني + الارتباط الذاتيالمكوّنات الأربعة
يمكن تحليل معظم السلاسل الزمنية الواقعية إلى أربعة مكوّنات أساسية. فهم هذه المكوّنات هو الخطوة الأولى نحو النمذجة والتنبؤ.
الاتجاه العام (T): الاتجاه بعيد المدى للسلسلة — هل هي في ارتفاع عام، أم انخفاض، أم ثبات؟ متوسط درجة حرارة الكرة الأرضية في ارتفاع مستمر. مبيعات الهواتف الثابتة في انخفاض مستمر. الناتج المحلي الإجمالي في معظم الدول يتجه نحو الأعلى على مدى عقود.
الموسمية (S): تذبذبات دورية متكررة بفترات منتظمة ومعروفة. مبيعات التجزئة ترتفع في ديسمبر من كل عام. مبيعات المثلّجات تبلغ ذروتها في الصيف وتنخفض في الشتاء. الطلب على الكهرباء أعلى في صباحات أيام الأسبوع. الموسمية يمكن التنبؤ بها وهي مرتبطة بالتقويم أو الدورات الطبيعية.
الدورية (C): تذبذبات أطول أمداً وغير منتظمة ليس لها فترة ثابتة. الدورات الاقتصادية (الازدهار والكساد) تستمر عادةً عدة سنوات. على خلاف الموسمية، الدورية غير مرتبطة بالتقويم وطولها غير ثابت مسبقاً.
التشويش (ε): التباين العشوائي غير المنتظم الذي يتبقى بعد إزالة الاتجاه والموسمية والدورات. يُسمى أيضاً البواقي أو مكوّن الخطأ. في النموذج الجيد، يجب أن يبدو التشويش كضوضاء بيضاء — عشوائية بلا نمط.
التحليل التجميعي والتضريبي
تكون العلاقة بين هذه المكوّنات إما تجميعية أو تضريبية. في النموذج التجميعي تُضاف المكوّنات ببساطة. في النموذج التضريبي تُضرب. يعتمد الاختيار على ما إذا كانت التقلبات الموسمية تنمو بنسبة من الاتجاه.
إذا لاحظت عند رسم السلسلة أن القمم والقيعان الموسمية تكبر مع ارتفاع الاتجاه، استخدم النموذج التضريبي. أما إذا ظل التباين الموسمي ثابتاً نسبياً بالقيم المطلقة، فالنموذج التجميعي هو الأنسب. يمكنك أيضاً تطبيق التحويل اللوغاريثمي لتحويل السلاسل التضريبية إلى تجميعية.
الثبات الإحصائي
تتطلب كثير من نماذج السلاسل الزمنية الثبات الإحصائي — خاصية تعني عدم تغيّر الخصائص الإحصائية للسلسلة بمرور الوقت. رسمياً، السلسلة الزمنية ثابتة (بالمعنى الضعيف) إذا كانت وسطها وتباينها وبنية ارتباطها الذاتي ثابتة عبر الزمن.
1. وسط ثابت: E[Xₜ] = μ لكل t
2. تباين ثابت: Var(Xₜ) = σ² لكل t
3. التغاير يعتمد فقط على التأخر: Cov(Xₜ, Xₜ₊ₖ) يعتمد فقط على k وليس على t
السلسلة ذات الاتجاه العام ليست ثابتة لأن وسطها يتغير مع الزمن. السلسلة ذات التباين المتغير (عدم التجانس) ليست ثابتة أيضاً. جعل السلسلة ثابتة هو الخطوة الأولى في المعالجة قبل تطبيق نماذج ARIMA وما شابهها. الأسلوب الأكثر شيوعاً هو الفروق: طرح المشاهدات المتتالية لإزالة الاتجاه.
دالة الارتباط الذاتي (ACF)
دالة الارتباط الذاتي (ACF) تقيس الارتباط بين السلسلة الزمنية وقيمها الماضية عند تأخرات مختلفة. تجيب على السؤال: ما مدى تشابه السلسلة مع نسخة منها مُزاحة k خطوات للخلف؟
رسم دالة ACF عند جميع التأخرات يُنتج مخطط ACF (الكوريلوغرام). شكل هذا المخطط يحمل معلومات بالغة الأهمية:
إذا تراجعت ACF ببطء (ارتباط معنوي عند تأخرات كثيرة)، فالسلسلة غير ثابتة وتحتاج إلى فروق. النمط الجيبي يكشف عن موسمية. ACF تنقطع فجأة بعد التأخر q يقترح نموذج MA من الدرجة q. ACF تتراجع أسياً يقترح عملية AR.
دالة الارتباط الذاتي الجزئي (PACF)
دالة الارتباط الذاتي الجزئي (PACF) تقيس الارتباط بين Xₜ وXₜ₋ₖ بعد إزالة التأثير الخطي للتأخرات المتوسطة 1، 2، ...، k-1. بعبارة أخرى، تعزل التأثير المباشر للتأخر k مع ضبط التأخرات الأقصر.
معاً، تُعدّ ACF وPACF الأدوات التشخيصية الأساسية لتحديد رتبة نموذج ARIMA الصحيحة:
عملية AR(p): ACF تتراجع هندسياً أو تتذبذب؛ PACF تنقطع فجأة بعد التأخر p.
عملية MA(q): ACF تنقطع فجأة بعد التأخر q؛ PACF تتراجع هندسياً.
نموذج ARMA(p,q): كلتا الدالتين تتراجعان تدريجياً — لا تنقطع أي منهما بشكل حاد.
التحليل التجميعي للسلاسل الزمنية عملياً
يسير التحليل التجميعي الكلاسيكي بتقدير كل مكوّن على حدة. أولاً، يُستخدم المتوسط المتحرك لتقدير الاتجاه. بعد إزالة الاتجاه، يُقدَّر المكوّن الموسمي بحساب متوسط السلسلة منزوعة الاتجاه عبر الفترات. ما يتبقى هو البواقي (التشويش).
أساليب التحليل الحديثة مثل STL (التحليل الموسمي والاتجاهي بالانحدار الموضعي) أكثر متانة — تتعامل مع الأنماط الموسمية المتغيرة وتقاوم القيم الشاذة. في بايثون، تُطبّق هذه الأساليب عبر `statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose` و`STL`.
يخدم التحليل التجميعي غرضين: أولاً الاطلاع على بنية السلسلة — هل يتسارع النمو؟ هل تتغير الموسمية؟ ثانياً تحسين التنبؤ بنمذجة كل مكوّن على حدة وإعادة دمج التنبؤات.
- السلسلة الزمنية هي بيانات مُرتَّبة بالزمن؛ المشاهدات مترابطة عبر الزمن، خلافاً للعيّنات المستقلة.
- كل سلسلة زمنية تتحلل إلى: اتجاه عام، موسمية، دورية، وتشويش — إما تجميعياً أو تضريبياً.
- الثبات الإحصائي (ثبات الوسط والتباين وبنية التغاير) مطلوب في معظم النماذج؛ الفروق هي الأداة الرئيسية لتحقيقه.
- دالة ACF تقيس الارتباط عند كل تأخر؛ دالة PACF تعزل التأثير المباشر عند كل تأخر بعد إزالة تأثيرات التأخرات الأقصر.
- مخططا ACF وPACF معاً يكشفان رتبة عمليتي AR وMA الكامنتين.