نماذج ARIMA | STAT-101

العمود الفقري للتنبؤ بالسلاسل الزمنية

ARIMA — نموذج المتوسط المتحرك التكاملي الانحداري الذاتي — هو أكثر فئات النماذج استخداماً في التنبؤ بالسلاسل الزمنية. يوحّد ثلاث أفكار: الانحدار الذاتي (التنبؤ من القيم الماضية)، والفروق (تحقيق الثبات الإحصائي)، والمتوسط المتحرك (نمذجة أخطاء التنبؤ السابقة). تتعامل هذه المكوّنات الثلاثة معاً مع طيف واسع من السلاسل الزمنية الواقعية التي تحمل اتجاهاً عاماً وارتباطاً ذاتياً.

طوّر بوكس وجنكينز في أوائل السبعينيات منهجيةً منظّمة لتحديد نماذج ARIMA وتقديرها والتحقق منها باستخدام مخططات ACF وPACF. على الرغم من ظهور التعلم الآلي، تظل نماذج ARIMA ومتغيراتها معياراً تنافسياً في مهام التنبؤ كثيرة، ولا سيما مع السلاسل القصيرة أو حين تكون قابلية التفسير أمراً جوهرياً.

ARIMA في ثلاثة حروف

AR(p) — الانحدار الذاتي: القيمة الحالية تعتمد على p من القيم الماضية.

I(d) — التكامل: d جولات من الفروق لتحقيق الثبات الإحصائي.

MA(q) — المتوسط المتحرك: القيمة الحالية تعتمد على q من أخطاء التنبؤ الماضية.

ARIMA(p, d, q) = AR(p) + d فروق + MA(q)

نموذج الانحدار الذاتي AR(p)

يتنبأ نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة p بالقيمة الحالية كتركيبة خطية لأحدث p قيمة ماضية مضافاً إليها ضوضاء بيضاء. الفكرة أن العملية تمتلك ذاكرة: قيمة اليوم تتأثر بما جرى أمس واليوم قبله وحتى قبل p أيام.

نموذج الانحدار الذاتي AR(p)

X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t

يُتنبأ بـ Xₜ من p قيم متأخرة. المعاملات φᵢ تُقدَّر من البيانات. εₜ ضوضاء بيضاء.

نموذج AR(1) — أبسط الحالات — يقول إن قيمة اليوم تساوي φ أضعاف قيمة الأمس مضافاً إليها ضوضاء. إذا كان |φ| < 1، السلسلة ثابتة. إذا كان φ = 1، لدينا مسيرة عشوائية غير ثابتة. تتميز عمليات AR الثابتة بـ ACF تتراجع هندسياً وPACF تنقطع فجأة بعد التأخر p.

نموذج المتوسط المتحرك MA(q)

يُنمذج نموذج المتوسط المتحرك من الدرجة q القيمةَ الحالية كتركيبة خطية من صدمات الضوضاء البيضاء الحالية والـ q الماضية (أخطاء التنبؤ). خلافاً لنموذج AR، ذاكرة نموذج MA محدودة: أثر الصدمة يتلاشى تماماً بعد q فترات.

نموذج المتوسط المتحرك MA(q)

X_t = \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2} - \cdots - \theta_q \varepsilon_{t-q}

القيمة الحالية تعتمد على الصدمة الحالية εₜ والـ q صدمات السابقة. المعاملات θᵢ هي معاملات المتوسط المتحرك.

عمليات MA ثابتة دائماً لأي q منتهٍ. تنقطع دالة ACF الخاصة بها فجأة بعد التأخر q — بصمة مميزة تجعل التعرف عليها سهلاً في التطبيق. أما دالة PACF فتتراجع تدريجياً.

نموذج ARMA(p, q): الجمع بينهما

يجمع نموذج ARMA(p, q) بين الانحدار الذاتي والمتوسط المتحرك. كثيراً ما تُمثَّل السلاسل الزمنية الواقعية بشكل أكثر إيجازاً بمزج عدد صغير من حدود AR وMA بدلاً من استخدام نموذج AR أو MA نقي عالي الرتبة. مبدأ الاقتصاد — تفضيل النماذج الأبسط — يرجّح ARMA على النماذج النقية العالية الرتبة.

نموذج ARMA(p, q)

X_t = \sum_{i=1}^{p} \phi_i X_{t-i} + \varepsilon_t - \sum_{j=1}^{q} \theta_j \varepsilon_{t-j}

يجمع نموذج ARMA بين p حدٍّ انحداريًا ذاتياً و q حدٍّ للمتوسط المتحرك. في ARMA تتراجع كلتا الدالتين تدريجياً دون أن تنقطع إحداهما بشكل حاد.

الفروق ومكوّن التكامل

كثيراً ما تحمل السلاسل الواقعية اتجاهاً عاماً فتكون غير ثابتة. تستوجب نماذج ARMA الثبات الإحصائي. الحل هو الفروق: طرح كل مشاهدة من سابقتها. جولة واحدة من الفروق تُزيل الاتجاه الخطي؛ وجولتان تُزيلان الاتجاه التربيعي. عدد جولات الفروق اللازمة هو القيمة d في ARIMA(p, d, q).

الفرق من الدرجة الأولى (d=1)

\nabla Y_t = Y_t - Y_{t-1}

يُزيل الاتجاه الخطي. تُحسب عوائد الأسهم غالباً بهذه الطريقة.

الفرق من الدرجة الثانية (d=2)

\nabla^2 Y_t = \nabla Y_t - \nabla Y_{t-1}

يُزيل الاتجاه التربيعي. نادراً ما يُحتاج إلى d أكبر من 2 في التطبيق.

يُعدّ اختبار ديكي-فولر الموسّع (ADF) الاختبار الإحصائي المعياري لعدم الثبات. نتيجة ADF ذات دلالة (p-value < 0.05) تشير إلى أن السلسلة ثابتة؛ أما النتيجة غير الدالة فتشير إلى ضرورة تطبيق الفروق. بعد الفروق، أعِد الاختبار حتى يُؤكَّد الثبات.

نموذج ARIMA(p, d, q)

يطبّق نموذج ARIMA الكامل نموذج ARMA(p, q) على السلسلة بعد أخذ الفروق d مرة. في التطبيق، d تكون دائماً تقريباً 0 أو 1 أو 2؛ وتكفي معظم السلاسل الواقعية جولة واحدة من الفروق.

مواصفات ARIMA الشائعة

ARIMA(1,1,0): AR(1) على السلسلة المُفرَّقة — خيار بسيط وقوي لكثير من السلاسل الاقتصادية.

ARIMA(0,1,1): MA(1) على السلسلة المُفرَّقة — مكافئ لأسلوب التمهيد الأسي البسيط.

ARIMA(0,2,2): MA(2) على السلسلة المُفرَّقة مرتين — مكافئ لطريقة هولت للاتجاه الخطي.

ARIMA(1,0,0): عملية AR(1) ثابتة — مناسبة حين d=0 وتنقطع PACF بعد التأخر 1.

تحديد النموذج: منهجية بوكس-جنكينز

اقترح بوكس وجنكينز دورة منهجية ثلاثية المراحل لملاءمة نماذج ARIMA: التحديد، والتقدير، والفحص التشخيصي.

التحديد: استخدم مخططات ACF وPACF للسلسلة (المُفرَّقة) لتحديد p وq. PACF تنقطع بعد التأخر p مع ACF تتراجع تدريجياً يقترح AR(p). ACF تنقطع بعد التأخر q مع PACF تتراجع تدريجياً يقترح MA(q). كلتاهما تتراجعان تدريجياً يقترح ARMA. استخدم اختبار ADF لتحديد d.

التقدير: الملاءمة تُنجز بطريقة الإمكان الأعظمي. البرمجيات الحديثة (statsmodels في بايثون، forecast في R) تقوم بذلك تلقائياً. قارن النماذج المتنافسة بمعيارَي المعلومات — AIC وBIC كلاهما يُعاقب على تعقيد النموذج مما يُساعد على تجنب الإفراط في الملاءمة.

معيار أكايكي للمعلومات (AIC)

\text{AIC} = 2k - 2\ln(\hat{L})

k = عدد المعاملات؛ AIC أقل = توازن أفضل بين الملاءمة والتعقيد.

معيار بيز للمعلومات (BIC)

\text{BIC} = k\ln(n) - 2\ln(\hat{L})

n = حجم العيّنة؛ BIC يُعاقب على التعقيد بشكل أشد من AIC عند حجم عيّنة كبير.

الفحص التشخيصي: افحص بواقي النموذج المُلاءَم. يجب أن تبدو ضوضاء بيضاء: لا ارتباط ذاتي (تحقق باختبار لجونج-بوكس)، توزيع قريب من الطبيعي، وتباين ثابت. إذا ظلت أنماط ظاهرة، فالنموذج مُحدَّد بشكل خاطئ ويجب تكرار الدورة.

النموذج الموسمي SARIMA

كثير من السلاسل الواقعية تحمل أنماطاً موسمية — دورات شهرية أو ربع سنوية أو أسبوعية. يُوسّع نموذج SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_m نموذج ARIMA بمكوّن موسمي يعمل عند الفترة m. الأحرف الكبيرة (P, D, Q) تصف رتبة AR الموسمية والفروق الموسمية ورتبة MA الموسمية؛ والأحرف الصغيرة (p, d, q) تصف الجزء غير الموسمي.

رموز SARIMA

SARIMA(1,1,1)(1,1,1)₁₂ يعني: AR غير موسمي(1)، فرق واحد، MA(1)، زائد AR موسمي(1)، فرق موسمي واحد، MA موسمي(1)، كلها عند الفترة m=12 (بيانات شهرية).

الفرق الموسمي يُزيل الموسمية السنوية: ∇₁₂Yₜ = Yₜ − Yₜ₋₁₂.

يتبع تحديد نموذج SARIMA نفس منطق ARIMA، غير أنك تنظر إلى ACF وPACF عند التأخرات الموسمية (مضاعفات m) إضافةً إلى التأخرات غير الموسمية. القمم الموسمية في ACF عند التأخرات 12 و24 و36 في البيانات الشهرية دليل واضح على الحاجة إلى مكوّن موسمي.

في الدرس القادم نتحول من ملاءمة النماذج إلى الفن التطبيقي للتنبؤ: توليد توقعات نقطية وفترات تنبؤ، وقياس الدقة بـ MAE وRMSE وMAPE، ومقارنة ARIMA بأساليب التمهيد الأسي والبدائل الحديثة كـ Prophet.

النقاط الرئيسية

يجمع ARIMA(p, d, q) بين p حدٍّ انحدارياً ذاتياً، وd جولات من الفروق، وq حدٍّ للمتوسط المتحرك في نموذج موحّد واحد.
عمليات AR تتميز بـ ACF تتراجع تدريجياً وPACF تنقطع بعد التأخر p؛ وعمليات MA تعطي التوقيع المعكوس.
يُطبَّق الفروق (d) حتى يُؤكّد اختبار ADF الثبات؛ وd=1 يكفي لمعظم السلاسل الواقعية.
دورة بوكس-جنكينز — التحديد عبر ACF/PACF، التقدير بالإمكان الأعظمي، فحص البواقي للتحقق من الضوضاء البيضاء — هي الإجراء المعياري.
يوازن AIC وBIC بين جودة الملاءمة وتعقيد النموذج؛ افضّل دائماً النموذج الأبسط الذي يُفسّر البيانات بشكل كافٍ.
يُضيف SARIMA طبقةً موسمية (P, D, Q)_m للتعامل مع الأنماط الدورية كالدورات الشهرية والفصلية.