التوزيعات المستمرة الشائعة

من العدّ إلى القياس

في الدرس السابق درسنا توزيعات لعدّ الأشياء — النجاحات في التجارب، والوصول في فترة زمنية، والتجارب حتى النجاح. الآن ننتقل إلى المتغيرات العشوائية المستمرة التي تُنمذج كميات نقيسها لا نعدّها: الارتفاع، والزمن، ودرجة الحرارة، والسعر، والمسافة.

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر X، لا نُسند احتمالاً للقيم الفردية — احتمال أن يساوي X تماماً 3.14159 يساوي صفراً. بدلاً من ذلك تُسند الاحتمالات للـفترات عبر دالة كثافة الاحتمال (PDF). تحقق دالة الكثافة f(x) ≥ 0 و∫ f(x) dx = 1، وP(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx.

في هذا الدرس نستعرض ستة توزيعات مستمرة أساسية: المنتظم، والنظامي (الغاوسي)، والأسي، وغاما، وبيتا، واللوغاريتمي الطبيعي. تسند هذه التوزيعات مجتمعةً مجالاً واسعاً من مسائل الهندسة والعلوم وتحليل البيانات.

التوزيع المنتظم

أبسط توزيع مستمر يُسند كثافة احتمال متساوية لكل نقطة في الفترة [a, b]. هذا هو التوزيع المنتظم. إذا عرفت أن القيمة تقع بين a وb ولا يوجد سبب لتفضيل فترة جزئية على أخرى، فالتوزيع المنتظم هو الخيار الصادق.

أمثلة: موضع نقطة عشوائية على قطعة مستقيمة، زاوية الطور لموجة حاملة غير مُعدَّلة، خطأ التقريب عند تحويل رقم حقيقي إلى تمثيل عشري محدد.

التوزيع النظامي (الغاوسي)

لا توزيع في الإحصاء بأكمله أهم من التوزيع النظامي — منحنى الجرس الشهير. يظهر في كل مكان: أطوال الأفراد في مجتمع، وأخطاء القياس في الأجهزة العلمية، وعوائد الأصول المالية على فترات قصيرة، والضوضاء في الدوائر الإلكترونية، وظواهر لا حصر لها.

يتميز التوزيع النظامي بمعاملين: المتوسط μ (الذي يتحكم في المركز) والانحراف المعياري σ (الذي يتحكم في الانتشار). دالة كثافة احتماله على شكل جرس متماثل حول μ وتمتد في كلا الاتجاهين إلى ±∞.

لماذا يظهر التوزيع النظامي في كل مكان؟ الجواب هو نظرية النهاية المركزية (موضوع الدرس القادم): مجموع متغيرات عشوائية مستقلة متطابقة التوزيع يتقارب نحو التوزيع النظامي بغض النظر عن التوزيع الأصلي، شريطة أن يكون التباين منتهياً. أي كمية مقيسة تنشأ من مجموع كثير من التأثيرات المستقلة الصغيرة تميل إلى أن تكون موزعة نظامياً.

التوزيع النظامي القياسي ودرجات Z

التوزيع النظامي القياسي Z ~ N(0, 1) له متوسط 0 وتباين 1. وهو التوزيع النظامي المرجعي الذي تُشتق منه جميع التوزيعات النظامية الأخرى. يمكن تحويل أي متغير نظامي X ~ N(μ, σ²) إلى Z بالتحويل:

درجات Z قيّمة لمقارنة الملاحظات من توزيعات نظامية مختلفة. طالب يحصل على 75 في امتحان متوسطه 65 وانحرافه 10 لديه Z = 1.0. طالب يحصل على 120 في اختبار ذكاء متوسطه 100 وانحرافه 15 لديه Z = 1.33. الطالب الثاني أبعد عن المتوسط في مجتمعه رغم أن درجته المطلقة في مقياس الاختبار أقل.

دالة التوزيع التراكمي لـ Z، Φ(z) = P(Z ≤ z)، تعطي المساحة تحت دالة كثافة الاحتمال النظامية القياسية من −∞ إلى z. لأي متغير نظامي: P(X ≤ x) = Φ((x − μ) / σ).

التوزيع الأسي

كما يُنمذج التوزيع الهندسي عدد التجارب المتقطعة حتى أول نجاح، يُعدّ التوزيع الأسي نظيره المستمر: يُنمذج وقت الانتظار حتى أول حدث في عملية بواسون. إذا وصلت الأحداث بمعدل λ في وحدة الزمن، فإن وقت الانتظار حتى الحدث الأول يتبع التوزيع الأسي(λ).

تطبيقاته كثيرة: عمر المكوّن الإلكتروني قبل العطب، الزمن بين وصول العملاء المتتاليين إلى نافذة خدمة، الفجوة بين الزلازل في منطقة نشطة، الزمن حتى تحلل ذرة مشعة.

مثل التوزيع الهندسي، التوزيع الأسي فاقد للذاكرة: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). إذا كان الجهاز يعمل منذ s ساعة دون عطل، فإن توزيع عمره المتبقي هو نفسه عند الجديد. بين التوزيعات المستمرة، التوزيع الأسي هو التوزيع الفريد الفاقد للذاكرة.

توزيع غاما

يُعمِّم توزيع غاما التوزيعَ الأسي بنفس الطريقة التي يُعمِّم بها الثنائي السالب التوزيعَ الهندسي: يُنمذج وقت الانتظار حتى الحدث الـk في عملية بواسون. يُحدَّد بمعامل شكل k > 0 ومعامل معدل λ > 0.

عائلة غاما مرنة للغاية. للأعداد الصحيحة k، هو مجموع k متغير أسي(λ) مستقل. الحالة الخاصة k = n/2 وλ = 1/2 تُنتج توزيع كاي تربيع بـ n درجة حرية، المنتشر في اختبارات الفرضيات وبناء فترات الثقة.

توزيع بيتا

يعيش توزيع بيتا على الفترة [0, 1] وهو التوزيع الطبيعي لنمذجة احتمالات الاحتمالات — أو بشكل أعم، أي كمية يجب أن تقع بين 0 و1، كالنسب ومعدلات النجاح والكسور.

إنه الأولوية المترافقة للتوزيع الثنائي في الإحصاء البايزي: إذا كانت قناعتك المسبقة عن احتمال نجاح p هي Beta(α, β)، ورصدت k نجاحاً في n تجربة، فإن التوزيع البعدي هو Beta(α + k, β + n − k). هذه القاعدة التحديثية الأنيقة تجعل بيتا لا غنى عنه في اختبار A/B البايزي.

شكل توزيع بيتا مرن للغاية. Beta(1, 1) هو التوزيع المنتظم. Beta(α, β) مع α < 1 وβ < 1 ينتج شكل U. مع α = β > 1 التوزيع متماثل وشبيه بالجرس. مع α > β ينحاز يساراً؛ مع α < β ينحاز يميناً.

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

إذا كان X موزعاً نظامياً، فإن Y = e^X يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. بالمعادلة المكافئة، Y لوغاريتمي طبيعي إذا كان log(Y) نظامياً. هذا التوزيع منحرف يمينياً ويعيش على (0, ∞)، مما يجعله مناسباً للكميات الموجبة دائماً التي تنشأ من العمليات الضربية.

أمثلة: أسعار الأسهم (العوائد اليومية بالنسبة المئوية تقريبياً نظامية، لذا الأسعار تُضرب ← لوغاريتمية طبيعية)، والدخول، وأحجام الكائنات الحية، وأحجام القطرات في الهباء الجوي، وأحجام الملفات في الحاسوب.

اختيار التوزيع المستمر المناسب

كل توزيع مستمر يُشفِّر قصة توليدية. تحديد القصة الصحيحة لبياناتك يُشير فوراً إلى النموذج المناسب.

التشخيص العملي: ارسم رسماً بيانياً لبياناتك وتحقق من الشكل. إذا كان متماثلاً وشبيهاً بالجرس، جرِّب النظامي. إذا كان منحرفاً يميناً ومحدوداً من الأسفل بالصفر، جرِّب الأسي أو غاما أو اللوغاريتمي الطبيعي — خذ اللوغاريتم وتحقق إذا كان يبدو نظامياً. إذا كانت البيانات في (0, 1)، جرِّب بيتا.