الإطار البايزي

طريقتان لقراءة الاحتمال

كان كل ما في هذه الدورة حتى الآن تكرارياً (frequentist): الاحتمال هو التواتر طويل المدى لحدث، والمَعلمة مثل متوسّط المجتمع ثابتٌ مجهول، وفترة الثقة 95% عبارةٌ عن الإجراء لا عن موضع المَعلمة. إطارٌ قويّ، لكن كمياته المركزية — قيم p وفترات الثقة — يسهل إساءة قراءتها، تحديداً لأنها لا تجيب السؤال الذي يطرحه الناس بطبيعتهم: بالنظر إلى بياناتي، ما احتمال فرضيّتي؟

يجيب الإحصاء البايزي هذا السؤال بالضبط، بمعاملة الاحتمال درجةَ اعتقاد يُحدّثها الدليل. فالمَعلمة ليست ثابتاً بل كمية غير متيقّنين منها، يصفها توزيع احتمالي. والبيانات لا تكشف المَعلمة بل تُحدّث توزيعنا عليها. وهذا التحوّل وحده — من «المَعلمة ثابتة والبيانات عشوائية» إلى «البيانات ثابتة واعتقادنا هو ما يتغيّر» — هو كل الفكرة البايزية.

المكوّنات الثلاثة

كل تحليل بايزي مبنيّ من ثلاثة توزيعات، وتسميتها معظمُ المعركة:

• القبْلي (prior) P(θ) — ما نعتقده عن المَعلمة θ قبل رؤية البيانات. قد يُرمّز معرفةً حقيقية أو يكون غامضاً عمداً.
• الأرجحيّة (likelihood) P(D∣θ) — مدى احتمال البيانات المشاهَدة D لكل قيمة ممكنة لـθ. وهي الأرجحيّة نفسها التي تقود تقدير الأرجحيّة العظمى.
• البعْدي (posterior) P(θ∣D) — ما نعتقده عن θ بعد دمج القبْلي بالبيانات. وهو مُخرَج التحليل، ومنه يأتي كل ما نُبلّغ عنه.

قاعدة بايز للتوزيعات

تربط المكوّنات الثلاثة نظرية بايز، مطبَّقةً لا على أحداث مفردة بل على توزيعات كاملة على θ:

ولأن P(D) لا تعتمد على θ، فهي تُعيد القياس فحسب. ولمعظم العمل تكفي الصيغة التناسبية، وتُقرأ جملةً: البعْدي هو القبْلي مُعاد ترجيحه بمدى تفسير كل قيمة لـθ للبيانات.

مثال محلول: بيتا-ذات الحدّين

لنفترض أننا نريد احتمال θ أن تنجح عملة (أو نقرة، أو علاج). قبْليٌّ طبيعيّ لاحتمالٍ هو توزيع بيتا، الذي يعيش على (0، 1) ويُشكّله عدّان، α وβ:

والآن لاحظ s نجاحاً وf إخفاقاً. اضرب أرجحيّة ذات الحدّين في قبْليّ بيتا، فالناتج توزيع بيتا آخر، بجمع العدّين ببساطة:

القبْليّات المترافقة

لزوج بيتا-ذات الحدّين خاصية مميّزة: البعْدي من عائلة القبْلي نفسها. ويُسمّى القبْلي بهذه الخاصية قبْلياً مترافقاً، وتحوّل الأزواج المترافقة (بيتا-ذات الحدّين، غاما-بواسون، طبيعي-طبيعي) التحديثَ البايزي إلى جبرٍ مغلق الصيغة بدل تكاملٍ صعب. وهي سبب صلاحية الإطار للاستعمال أصلاً قبل الحواسيب — وتبقى أوضح طريقة لرؤية الآلة، وإن كانت المسائل الحقيقية تحتاج عادةً الأساليب الحسابية التي كان درس هذه الوحدة الثالث المؤجَّل ليغطّيها.

ومن أين يأتي القبْلي هو أكثر ملامح الإطار جدلاً: ناقدٌ يسمّيه ذاتيّة، وممارسٌ يسمّيه الإدراج الأمين لما كان معروفاً. وأياً كان، يُبيّن الدرس التالي كيف تقرأ البعْدي حين تملكه — وكيف تعني الفترة الموثوقة البايزية أخيراً ما أراده الناس دوماً من فترة الثقة.