التقدير البايزي

البعْدي هو الإجابة كاملةً

أنتج الدرس السابق توزيعاً بعْدياً P(θ∣D) — توزيعاً احتمالياً كاملاً على المَعلمة بالنظر إلى البيانات. وذلك التوزيع هو الإجابة البايزية: فهو يحوي كل ما نعرفه عن θ، بما في ذلك عدم يقيننا. والتقدير في العالم البايزي ليس إيجاد قيمة «حقيقية» واحدة بل تلخيص ذلك البعْدي لإنسانٍ عليه أن يقرّر.

تقديرات نقطية من البعْدي

حين يلزم رقمٌ واحد، يقدّم البعْدي ثلاثةً طبيعية. المتوسّط البعْدي هو القيمة المتوقّعة لـθ تحت البعْدي — أشيع تقدير بايزي نقطي لأنه يُصغّر الخطأ التربيعي المتوقّع:

والمنوال البعْدي — أكثر القيم احتمالاً — يُسمّى تقدير الأقصى البعْدي (MAP). ومع قبْليٍّ مسطّح يطابق تماماً تقدير الأرجحيّة العظمى التكراري، وهو أنظف جسرٍ بين العالمين:

الفترة الموثوقة

لتقديرٍ فتري، يُبلّغ البايزي عن فترة موثوقة (credible interval): مدىً يحوي كسراً مذكوراً — عادةً 95% — من الاحتمال البعْدي.

الموثوقة مقابل الثقة — الفترة التي أرادها الناس

هذه هي الثمرة. في الوحدة 5 كنّا حذرين — ومؤكِّدين — أن فترة الثقة 95% لا تعني «ثمة احتمال 95% أن المَعلمة في هذه الفترة». ففي العالم التكراري المَعلمة ثابتة، فهي إمّا في فترةٍ معيّنة أو لا؛ و95% تصف السلوك طويل المدى لـالإجراء لا هذه الفترة. وذلك التحذير يُحبِط كل طالب، لأن القراءة الممنوعة هي بالضبط ما يريده الجميع.

والفترة الموثوقة البايزية تعني الشيء الممنوع بالضبط. فلأن لـθ توزيعاً احتمالياً، فإن العبارة «ثمة احتمال 95% أن θ بين θ_L وθ_U» ليست مسموحة فحسب — بل هي التعريف. الفترة التي حذّرتك الوحدة 5 من إساءة قراءتها هي التي يسلّمها لك هذا الإطار بأمانة. وذلك الفرق وحده — عبارةٌ احتمالية عن المَعلمة لا عن الإجراء — هو السبب العملي لتحوّل كثيرٍ من الحقول نحو التقرير البايزي.

اختيار قبْليّ

القبْليّ غير المُخبِر (المسطّح) يُعبّر عن جهلٍ متعمَّد ويترك البيانات تهيمن؛ ومعه تتطابق التقديرات النقطية البايزية والتكرارية غالباً. والقبْليّ المُخبِر يطوي معرفةً قبْلية حقيقية — قيداً فيزيائياً، أو دراسةً سابقة — ويشدّ البعْدي نحوها، وهو نافعٌ حين تندر البيانات وخطيرٌ حين يكون القبْليّ خاطئاً. ولأن قبْلياً قوياً قد يرجّح استنتاجاً، تشمل الممارسة البايزية الأمينة تحليل الحساسية: أعِد التحليل تحت عدّة قبْليّات معقولة وأبلغ كم يتحرّك الاستنتاج. إن بالكاد تحرّك فالبيانات تتكلّم؛ وإن تأرجح فالقبْليّ يتكلّم، ويستحقّ قارئك أن يعرف.

الانحدار الخطي البايزي

يتركّب كل هذا مع انحدار الوحدة 7. ففي الانحدار الخطي البايزي تأخذ المعاملات β قبْليّات ويكون المُخرَج توزيعاً بعْدياً على كل معامل — فبدل تقديرٍ نقطي وفترة ثقة تحصل على فترةٍ موثوقة كاملة لكل معامل، وتأتي التنبّؤات بأشرطة عدم يقين أمينة. والقبْليّ الغاوسي على β يستعيد انحدار ريدج تقديراً لـMAP، والقبْليّ اللابلاسي يستعيد لاسو: فتنظيم الوحدة 7 وقبْليّات الوحدة 9 وجهان لفكرة واحدة.