الانحدار اللامعلمي

انحدارٌ بلا صيغة

كانت الوحدة 7 تبدأ دائماً بـافتراض شكلٍ للعلاقة — خطٌّ مستقيم، متعدّد حدود، منحنى لوجستي — ثم تقدّر مَعلماته. أما الانحدار اللامعلمي فيُسقط ذلك الافتراض. فبدل إجبار البيانات على شكلٍ مختار، يتركها ترسم منحناها بنفسها، مستعيناً بقيد نعومةٍ فقط. وهو ما تلجأ إليه حين لا تعرف الشكل الدالّي حقاً، أو حين تكون العلاقة أكثر تموّجاً من أي معادلةٍ أنيقة.

تقدير الكثافة بالنواة

تبدأ الفكرة خطوةً قبل الانحدار، بتقدير توزيع. وتقدير الكثافة بالنواة (KDE)، المشروح في الوحدة 2، الدرس 1، هو ابن العمّ الأملس للمدرّج التكراري — فنستذكر صيغته هنا لا نعيد اشتقاقها:

LOESS: الانحدار المحلي

يلائم LOESS (أو LOWESS، التنعيم المحلي الموزون للمخطط المبعثر) المنحنى نقطةً تلو الأخرى. فلإيجاد القيمة المُلائَمة عند موقع x، يُجري انحداراً محلياً صغيراً بالمربعات الصغرى الموزونة مستعملاً النقاط القريبة فقط، مُرجِّحاً كلاً منها بقربها:

المنحنيات المتعدّدة: متعدّدات حدود بالقطع

يسلك المنحنى المتعدّد (spline) طريقاً مختلفاً إلى الحرية نفسها: فيقسم محور x عند مجموعة عُقد ويلائم متعدّد حدودٍ منخفض الدرجة (تكعيبي عادةً) بين كل زوج، مخيطاً معاً بحيث تكون الوصلات ملساء — مطابقاً القيمة والميل عند كل عقدة. ومزيدٌ من العقد يعني مرونةً أكثر. أما المنحنى المُنعِّم فيؤتمت الاختيار بوضع عقدةٍ عند كل نقطة وإضافة جزاء خشونةٍ (قريبٍ من جزاء ريدج في الوحدة 7) يقايض الملاءمة بالتموّج. والمنحنيات المتعدّدة هي حصان العمل خلف الحدود المرنة في النماذج الجمعية المعمّمة.

انحدار العملية الغاوسية

انحدار العملية الغاوسية (GP) هو العضو البايزي في هذه العائلة — جسرٌ طبيعي إلى الوحدة التالية. فبدل ملاءمة منحنىً واحد، تضع العملية الغاوسية قبْلياً على الدوال وتُرجع توزيعاً بعْدياً على كل المنحنيات المتّسقة مع البيانات. ومُخرَجها ليس خطاً مُلائَماً فحسب بل شريط عدم يقينٍ كامل يتّسع حيث تندر البيانات ويضيق حيث تكثر — أشرطة خطأ أمينة لشكلٍ لم تُضطرّ قط إلى تحديده.

المفتاح الواحد: عرض النطاق ومقايضة التحيّز-التباين

لكل أسلوبٍ هنا قرصُ نعومةٍ واحد — عرض النطاق، أو المدى، أو عدد العقد، أو طول مقياس GP — وهو هو مقايضة التحيّز-التباين مجسَّدةً. فأنعم من اللازم (عرض نطاقٍ واسع) يُقصّر المنحنى في الملاءمة، فيفوّت بنيةً حقيقية: تحيّزٌ عالٍ. وأخشن من اللازم (عرض نطاقٍ ضيّق) يلاحق الضوضاء: تباينٌ عالٍ. واختيار ذلك القرص — بالتحقّق المتقاطع عادةً — هو كل فنّ الانحدار اللامعلمي. استعمل هذه الأساليب حين تهمّ المرونة أكثر من صيغةٍ نظيفة؛ واستعمل الانحدار المعلمي حين تريد معاملاتٍ قابلة للتفسير ولديك سببٌ للثقة بالشكل.